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构造法求数列通项公式


求数列的通项公式(二)—构造法(待定系数法)
刘高峰 2016.10.12 【教学目标】 知识与技能:求形如 an?1 ? qan ? f (n) 的数列通项公式; 过程与方法:通过阶梯性练习,提高学生观察、分析、归纳、推理的能力。 情感态度与价值观:培养善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 【重点与难点】 从已知的等差数列、等比数列到求形如 an?1 ? q

an ? f (n) 通项公式的过渡,通过观察、分析 找到它们之间的内在联系,最后归纳出一般方法,重点讲解待定系数法求通项公式。 【教学过程】 第一阶段: (复习回顾,提出问题) (设计目的: 通过回顾已学过的求数列通项公式的方法, 归纳这些方法所能解决问题的类型, 从而引出本节课所要解决的问题, 这一部分主要以 PPT 的形式展示, 板书本节课要解决的问 题) PPT1: (5 分钟) 一、观察法:如数列 1, , , , , ? 二、公式法: 1、等差数列: an ? a1 ? (n ?1)d , 2、等比数列: an ? a1q n?1 , 3、 an ? Sn ? Sn?1 , (n ? 2) ————(作差法) 三、累加法: 形如 an ? an?1 ? f (n) ,也可以表示为: an ? an?1 ? f (n) 四、累乘法: 形如:

1 1 1 1 3 5 7 9



an ?

1 2n ? 1

an ( f ( n) 有一定的形式要求) ? f ( n) , an?1

P1

(对以上方法作一定的归纳, 重点强调等差数列和等比数列通项公式的形式, 为后面提出的 问题作铺垫)
1/4

遇到的问题: PPT2: (2 分钟) 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 an?1 ? 3an ? 2 ,求 an . 等差数列: an?1 ? an ? 2 等比数列: an?1 ? 3an

P2

(引导学生观察此递推公式的特点, 与等差数列和等比数列进行形式上的比较, 在黑板上板 书这个问题,因为之后需要解决这个问题)

第二阶段: (探讨问题解决之道) PPT3: (5 分钟) 例 1、已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 ,且 an?1 ? 2an ? 1 , (1)证明:数列 {an ? 1} 是等比数列; (2)求 an . (1)证明:

an?1 ? 1 2an ? 1 ? 1 ? ? 2 ,且 a1 ? 1 ? 2 , an ? 1 an ? 1

所以数列 {an ?1} 是首项为 2,且公比为 2 的等比数列; (2)由(1)可得 an ? 1 ? 2n ,所以 an ? 2n ? 1. 结论: 可以通过构造等比数列来解决问题.

P3

(设计目的:通过这个问题告诉学生类似这样形式的数列可以转化为等比数列来求通项公 式,从而建立了与等比数列的内在联系,为待定系数法求通项公式作铺垫) (遇到新的问题:该题中的第(1)问已经给出了提示,如果没有提示如何求通项公式?可 能一些同学通过观察可以得出, 但遇到非整数呢?比如分数, 有没有一般的方法?过渡到待 定系数法)
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第三阶段: (归纳一般方法:待定系数法) PPT4: (8 分钟)

an?1 ? can ? d
(详细板书推导过程) 结论: an ?1 ?

an?1 ? ? ? c(an ? ? )

? ??

??

d c ?1

d d ? c(an ? ) c ?1 c ?1

(回到前面的问题,解决问题) 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 an?1 ? 3an ? 2 ,求数列的通项公式 an .

P4

PPT5: (5 分钟) 练习 1:已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ?

1 1 an ? ,求数列的通项 an . 2 2

(解答过程 PPT 展示) P5

第四阶段: (方法拓展) PPT6: (5 分钟) 例 2、已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2n ,求 an . (解答过程详细板书)

P6

(分析此题中递推公式与之前递推公式的内在联系, 找到解决问题的突破口, 注意 n 的变化 及其含义) (用待定系数法解决,强调应用待定系数法的一般性) PPT7: (3 分钟)

an?1 ? pan ? kn ? b
(详细板书推导过程) (对该类型进行归纳总结)

an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y)
P7

3/4

PPT8: (5 分钟) 练习 2:已知数列 {an } 中, a1 ? (解答过程 PPT 展示) P8

3 , 2an ? an?1 ? 6n ? 3 ,求 an . 2

第五阶段: (课堂总结) (2 分钟) (这部分不需要 PPT, 只需强调待定系数法的重要性以及应用的条件——确定构造数列的类 型,同时把黑板上的两种类型的结论进行强调)

第六阶段: (课后思考) PPT9: (1 分钟) 课后思考: 1、形如 an?1 ? pan ? an2 ? bn ? c 如何求通项公式? 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 ,求 an . 2、形如 an?1 ? pan ? qn 如何求通项公式? 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2n ,求 an .

P9

第七阶段: (课后作业) PPT10: 作业: 1、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . .

2、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ? 4an?1 ? n ? 1,(n ? 2) ,求 an

P10

第八阶段: (课后反思)——上完课才知道!
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