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特级数学名师珍藏题第7讲 三角函数新题赏析 课后练习


第 7 讲 三角函数新题赏析
主讲教师:王春辉 北京数学特级教师 题一:在?ABC 中,tanA 是以?4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差,tanB 是以 项,9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角 题二:已知函数 f (x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,-π<φ≤π. π 若 f (x)的最小正周期为 6π,且当 x= 时,f (x)取得最大值,则( ) 2 A.f (x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f (x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f (x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f (x)在区间[4π,6π]上是减函数 题三:定义行列式运算
a1 a2 a3 a4

1 为第三 3

D.以上都不对

= a1 a 4 ? a 2 a3 .将函数 f ( x ) ? )

sin 2 x cos 2 x

3 1

的图象向左平移

? 6

个单位,以下是所得函数图象的一个对称中心是( A. ?

?? ? ,0? ?4 ?

B. ?

?? ? ,0? ?2 ?

C. ?

?? ? ,0? ?3 ?

D. ?

?? ? ,0? ? 12 ?

题四:将函数 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位,再将图像上每一点 4?


的横坐标缩短到原来的 A.

?
8

1 ? 倍,所得图像关于直线 x ? 对称,则 ? 的最小正值为( 2 4 3? 3? ? B. C. D. 8 4 2

题五:在△ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a,b,c ,已知 8b =5c , C =2 B , 则 cosC( A. ) B. ?

7 25

7 25
?
4

C. ?

7 25

D.

24 25

题六:在△ABC 中, ?ABC ? A.
10 10

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC =(
10 5

) D.
5 5

B.

C.

3 10 10

π 3π? 题七:已知 f (x)=cos x(cos x-3)+sin x(sin x-3),若 x∈? ?2, 4 ?且 f (x)=-1, 求 tan 2x 的值.

题八:已 知 函 数 f ( x) ? 3sin 2 x ? 2 3sin x cos x ? cos2 x, x∈R , 求 使 f ( x ) ≥3 成 立 的 x 的 集 合 . 题九:已知函数 f ( x) ? tan(2 x ?

?
4

)

(1)求 f ( x) 的定义域与最小正周期; (2)设 ? ? (0, ) ,若 f ( ) ? 2cos2? ,求 ? 的大小.

?

?

4

2

6 π 题十:在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A( ,0),P(cosα,sinα),其中 0≤ α ≤ . 5 2 5 (1)若 cosα= ,求证: PA ⊥ PO ; 6 π (2)若 PA ∥ PO ,求 sin(2α+ )的值 4
k k k 题十一:若对所有实数 x ,均有 sin x ? sin kx ? cos x ? cos kx ? cos 2 x ,则 k ? (

)

A.6

B.5

C.4

D.3

题十二:设 函 数 f ( x ) =sin ( ? x +φ ) , 其 中 |φ| < 对 任 意 x∈ R 恒 成 立 , 则 正 数 ? 的 最 小 值 为

? ? ? ,若 f (? ) ? f ( x) ? f ( ) 6 3 2
, 此 时 , φ= .

题 十 三 : 在 △ ABC 中 , 若 tan A , tan B 满 足 等 式 tan A tan B =tan A +tan B +3 , 则 tan C 的 取 值 范 围 是 . π π π 题十四:已知函数 f (x)=2cos(x+ )[sin(x+ )- 3cos(x+ )]. 3 3 3 (1)求 f (x)的值域和最小正周期; π (2)若对任意 x∈[0, ],m[f (x)+ 3]+2=0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 3

第7讲
题一:B. 详解:由题意知 a3 所以 tan

三角函数新题赏析

? ?4, a7 ? 4 ,所以 a7 ? a3 ? 4 tan A ,

a7 ? a3 1 ? 2 . b3 ? , a6 ? 9 ,所以 a6 ? b3 (tan B)3 ,即 tan 3 B ? 27 , 4 3 tan A ? tan B 2?3 ? ? ?1 ,即 tan C ? 1 , 所以 tan B ? 3 ,所以 tan( A ? B ) ? 1 ? tan A tan B 1 ? 2 ? 3 A?
因为 tan B

? 3 ? 0 ,所以最大值 B ? 90

,即三角形为锐角三角形.

题二:A 1 详解:∵f (x)的最小正周期为 6π,∴ω= , 3

π ∵当 x= 时,f (x)有最大值, 2 1 π π π ∴ × +φ= +2kπ(k∈Z),φ= +2kπ, 3 2 2 3 π ∵-π<φ≤π,∴φ= . 3 x π ∴f (x)=2sin 3+3 ,由此函数图象易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间 [-3π,-π]或[3π,5π]上均没单调性,在区间[4π,6π]上是单调增函数.

( )

题三:B. 详解:根据行列式的定义可知 向左平移

? ? ? 个单位得到 g ( x ) ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin 2 x , 6 6 3 ? ? ? 所以 g ( ) ? 2sin(2 ? ) ? 2sin ? ? 0 ,所以 ( , 0) 是函数的一个对称中心。 2 2 2
题四:B. 详解:函数

f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x =2sin(2 x ? ) , 3

?

?? ? f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位得到 4? ?

? ? 1 y ? 2sin[2( x ? ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ? 2? ) ,再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的 倍得到 4 4 2
y ? 2sin(4 x ?
即当 x

?

4 4 4 4 3? 3? k? 所以 2? ? ? k? , ? ? ? ,k ?Z , 4 8 2 3? 所以当 k ? 0 时, ? 的最小正值为 ? ? . 8
题五:A.

?

?

4

? 2? ) ,此时

关于直线 x

?

?

时, 4 x ?

?

? 2? ? 4 ?

?

?

?

4

对称,

? 2? ?

?
2

? k? , k ? Z ,

详解:∵ 8b =5c ,由正弦定理得 8sin B =5sin C ,又∵ C =2 B ,∴ 8sin B =5sin 2 B , 所以 8sin B =10sin B cos B , 易知 sin B

? 0 ,∴ cos B =

4 7 2 , cos C = cos 2 B=2cos B ? 1 = . 5 25

题六:C. 详解:由余弦定理得

AC 2 ? BA2 ? BC 2 ? 2BA ? BC cos ?ABC ? 5 ? AC ? 5 ,
.

由正弦定理得:

BC AC 3 10 ? ? sin ?BAC ? sin ?BAC sin ?ABC 10

5 14 题七: . 28

详解:由已知得, f (x)=cos2x-3cos x+sin2x-3sin x =1-3(cos x+sin x) π =1-3 2sin x+4 =-1,

( ) π 2 ∴sin (x+4)= . 3 π π 5 ∴cos 2(x+4)=1-2sin (x+4)= . 9
2

5 ∴sin 2x=- . 9 π 3π 3π ∵x∈ 2, 4 ,2x∈ π, 2 .

(

)

(

)

∴cos 2x=- 1-sin22x=- sin 2x 5 14 ∴tan 2x= = . cos 2x 28

2 14 . 9

? f ( x) ? 1+2sin 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x

? 2 ? 2(

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 ? 2sin(2 x ? ) 2 2 6

由 f ( x ) ≥3 可 得 , 2 ? 2sin(2 x ?

?

? 1 ) ? 3 ,即 sin(2 x ? ) ? , 6 6 2

? 2k? ?

?
6

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

5? ? ? , k ? Z ,解得 k? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 6 6 2

故 使 f ( x ) ≥3 成 立 的 x 的 集 合 为 {x | k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
2

, k ? Z} .

k? ? ? ; (2) ? ? . , k ? Z} ,最小正周期为 8 2 12 2 ? ? ? k? 详解: (1)由 2 x ? ? ? k? , k ? Z ,得 x ? ? ,k ?Z, 4 2 8 2 ? k? ? 所以 f ( x ) 的定义域为 {x | x ? ? , k ? Z} , f ( x) 的最小正周期为 . 8 2 2
题八:(1)定义域为 {x | x ?

?

?

sin(? ? ) ? ? 4 ? 2(cos 2 ? ? sin 2 ? ) , (2)由 f ( ) ? 2cos2? ,得 f (? + ) ? 2cos2? , ? 2 4 cos(? ? ) 4
整理得

?

sin ? ? cos? ? 2(cos? ? sin ? )(cos? ? sin ? ) sin ? ? cos?

因为 ? ? (0, 得 2? ? (0,

?
4

) ,所以 sin ? ? cos? ? 0 ,因此 (cos? ? sin? )2 ?

1 1 ? ,即 sin 2? ? , 由 ? ? (0, ) , 2 2 4

?
2

) ,所以 2? ?

?
6

,即 ?

?

?
12

.

题九: {x | k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
2

, k ? Z} .

详解:∵ 函 数 f ( x) ? 3sin x ? 2 3sin x cos x ? cos x, x∈R ,
2 2

题十:(1)省略; (2 )

2 . 2

6 详解:(1)法一:由题设,知 PA =( -cosα,-sinα), 5

PO =(-cosα,-sinα), 6 PO =(5 所以 PA · -cosα)(-cosα)+(-sinα)2
6 =- cosα+cos2α+sin2α 5 6 =- cosα+1. 5 5 因为 cosα= ,所以 PA · PO =0.故 PA ⊥ PO . 6 5 π 11 法二:因为 cosα= ,0≤ α ≤ ,所以 sinα= , 6 2 6 5 11 所以点 P 的坐标为( , ). 6 6 11 11 5 11 所以 PA =( ,- ), PO =(- ,- ). 30 6 6 6 11 5 11 PA ·PO =30×(-6)+(- 6 )2=0,故 PA ⊥ PO . 6 (2)由题设,知 PA =( -cosα,-sinα), 5

PO =(-cosα,-sinα). 6 因为 PA ∥ PO ,所以-sinα· ( -cosα)-sinαcosα=0,即 sinα=0. 5
π 因为 0≤ α ≤ ,所以 α=0. 2 2 π 从而 sin(2α+ )= . 4 2 题十一:D. 详解:记 f ( x ) =sin k x ?sink x +cos k x ?cosk x ? cos k 2 x ,

则 由 条 件 f( x) 恒 为 0, 取

x?

?
2

,得

k? sin 2

=(?1)k,

则 k 为奇数.

设 k =2 n ? 1 , 上 式 成 为 sin(nπ?

? 2

)=?1, 因 此 n 为 偶 数 ,

令 n =2 m , 则 k =4 m ? 1 , 故 选 择 项 中 只 有 k =3 满 足 题 意 。

题十二:2 ,

?

?
6



详解:因 为 函 数 f( x ) =sin ( ? x + φ ) , 其 中 |φ | < 恒成立,所以周期的最大值为 的最大值为

f ( ) ,所 以 2 ? ? ? ? , 所以 φ= ? 3 3 2 6

?

?

2? ( ? ) ? ? 6 3

?

?

? 2

,若

f (? ) ? f ( x) ? f ( ) 对 任 意 6 3

?

?

x∈ R

,所 以正 数

? 的 最 小 值 为 : ? =2 , 因 为 函 数

?

?



题十三: [

3 ,1) (1,3) . 4

详解:设 tan A tan B = m , 则 tan A +tan B = m ? 3 , ∴ tan A 、 tan B 是 方 程 x 2 ? ( m ? 3 ) x + m =0 的 两 个 实 数 根 , ∴ △ ≥0 , m ≤1 或 m ≥9 若 tan A 、 tan B 均 为 正 数 , 则 m ? 3 > 0 且 m > 0 , ∴ m > 3 , ∴ m ≥9 若 tan A 、 tan B 一 正 一 负 , 则 m < 0 ,∴ m < 0 或 m ≥9 ∵

tan C ? ? tan( A ? B) ?

m?3 2 ? 1? m ?1 m ?1

∴ tan C 的 取 值 范 围 是 [ 故答案为: [

3 ,1) (1,3) . 4

3 ,1) (1,3) . 4

题十四:(1)值域为[-2- 3,2- 3],最小正周期为 π; (2)(-∞,-1]. π π π 详解: (1)f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )-2 3cos2(x+ ) 3 3 3 2π 2π =sin(2x+ )- 3[cos(2x+ )+1] 3 3 2π 2π =sin(2x+ )- 3cos(2x+ )- 3 3 3 π =2sin(2x+ )- 3. 3 π ∵-1≤sin(2x+ )≤1, 3 π 2π ∴-2- 3≤ 2sin(2x+ )- 3≤ 2- 3,又 T= =π, 3 2 即 f (x)的值域为[-2- 3,2- 3],最小正周期为 π. π π π π (2)当 x∈[0, ]时,2x+ ∈[ ,π],∴sin(2x+ )∈[0,1], 3 3 3 3 π 此时 f (x)+ 3=2sin(2x+ )∈[0,2]. 3 2 由 m[f (x)+ 3]+2=0 知,m≠0,且 f (x)+ 3=- , m 2 ? ?m≤0 2 ∴0≤- ≤2,即? m 2 ? ?m+2≥0

,解得 m≤-1.

即实数 m 的取值范围是(-∞,-1].


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