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广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷(文科)


广东省广州市执信中学 2015 届高三上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则 M∩N=() A.(﹣2,1) B.(﹣1,1) C.(1,3) D.(﹣2,3) 2. (5 分) A.1+2i =() B.﹣1+2i C.1﹣2i D.﹣1﹣2i

3. (5 分)若 a∈R,则 a=0 是 a(a﹣1)=0 的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 4. (5 分)等比数列{an}中,a4=4,则 a2?a6 等于() A.4 B. 8 C.16 5. (5 分)在△ ABC 中,a =b +c ﹣bc,则 A 的值为() A.30° B.60° C.30°或 150°
2 2 2

D.32

D.60°或 120°

6. (5 分)若向量 A.(5,7)

=(1,2) ,

=(4,5) ,则

=() D.(﹣5,﹣7) ,D 为 BC 中点,则三棱锥 D.

B.(﹣3,﹣3)

C.(3,3)

7. (5 分)正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 A﹣B1DC1 的体积为() A.3 B. C. 1

8. (5 分)已知数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 S4=20,S6﹣S2=36,则该等差数列 的公差 d=() A.﹣2 B. 2 C . ﹣4 D.4

9. (5 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 ,则 C 的方程为() + =1 D. + =1

,过 F2

的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△ AF1B 的周长为 4 A. + =1 B. +y =1
2

C.

10. (5 分)奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9) =() A.﹣2 B . ﹣1 C. 0 D.1

二.填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答卷的相应位置. 11. (5 分)双曲线 C 的两个焦点为(﹣ ,0) , ( ,0) ,一个顶点为(1.0) ,则 C 的方程 为. 12. (5 分)曲线 y=5e ﹣3 在点(0,2)处的切线方程为.
x

13. (5 分)若实数 x,y 满足

,则 x+y 的最大值为.

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (3 分)在极坐标系中,已知两点 A(5, ) 、B(8, ) ,则|AB|=.

15. (3 分) (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆 O 的直径,BC 是圆 O 的切线,切点为 B, OC 平行于弦 AD,若 OB=3,OC=5,则 CD=.

三、解答题(共 6 小题,满分 79 分) 16. (12 分)设平面向量 =(cosx,sinx) , =( , ) ,函数 f(x)= +1.

(Ⅰ)求函数 f(x)的值域和函数的单调递增区间; (Ⅱ)当 f(a)= ,且 时,求 sin(2a )的值.

17. (12 分) 在某次体检中, 有 6 位同学的平均体重为 65 公斤. 用 xn 表示编号为 n (n=1, 2, …, 6)的同学的体重,且前 5 位同学的体重如下: 编号 n 1 2 3 4 5

体重 xn 60 66 62 60 62 (Ⅰ)求第 6 位同学的体重 x6 及这 6 位同学体重的标准差 s; (Ⅱ)从前 5 位同学中随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学的体重在区间(58,65)中的概 率. 18. (14 分)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求证:CF⊥B1E; (3)求三棱锥 VC﹣B1FE 的体积.

19. (14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1, (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 .

,n∈N .

*

20. (14 分)设抛物线 C 的方程为 x =4y,M(x0,y0)为直线 l:y=﹣m(m>0)上任意一点, 过点 M 作抛物线 C 的两条切线 MA,MB,切点分别为 A,B. (1)当 M 的坐标为(0,﹣1)时,求过 M,A,B 三点的圆的方程,并判断直线 l 与此圆的 位置关系; (2)求证:直线 AB 恒过定点(0,m) .

2

21. (13 分)已知 f(x)=

+lnx(a 为正实数) .

(1)若函数 f(x)在[1,x)上为增函数,求 a 的取值范围; (2)当 a=1 时,求函数 f(x)在[ ,e]上的最大值与最小值; (3)当 a=1 时,求证:对于大于 1 的任意正整数 n,都有 lnn> + +…+ .

广东省广州市执信中学 2015 届高三上学期期中数学试卷 (文科)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则 M∩N=() A.(﹣2,1) B.(﹣1,1) C.(1,3) D.(﹣2,3) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算即可得到结论. 解答: 解:M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1}, 则 M∩N={x|﹣1<x<1}, 故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分) A.1+2i =() B.﹣1+2i C.1﹣2i D.﹣1﹣2i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 分子分母同乘以分母的共轭复数 1+i 化简即可. 解答: 解:化简可得 = = = =﹣1+2i

故选:B 点评: 本题考查复数代数形式的化简,分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键, 属基础题. 3. (5 分)若 a∈R,则 a=0 是 a(a﹣1)=0 的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 由 a(a﹣1)=0 解得 a=0 或 1.即可判断出. 解答: 解:由 a(a﹣1)=0 解得 a=0 或 1. ∴a=0 是 a(a﹣1)=0 的充分而不必要条件. 故选:A. 点评: 本题考查了充要条件的判定方法,属于基础题. 4. (5 分)等比数列{an}中,a4=4,则 a2?a6 等于() A.4 B. 8 C.16

D.32

考点: 等比数列. 分析: 由 a4=4 是 a2、a6 的等比中项,求得 a2?a6 2 解答: 解:a2?a6=a4 =16 故选 C. 点评: 本题主要考查等比中项. 5. (5 分)在△ ABC 中,a =b +c ﹣bc,则 A 的值为() A.30° B.60° C.30°或 150°
2 2 2

D.60°或 120°

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理表示出 cosA,把已知等式变形后代入求出 cosA 的值,即可确定出 A 的度数. 2 2 2 2 2 2 解答: 解:∵在△ ABC 中,a =b +c ﹣bc,即 b +c ﹣a =bc, ∴cosA= = = ,

则 A=60°. 故选:B. 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关 键.

6. (5 分)若向量 A.(5,7)

=(1,2) ,

=(4,5) ,则

=() D.(﹣5,﹣7)

B.(﹣3,﹣3)

C.(3,3)

考点: 向量的减法及其几何意义;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的减法运算法则求解即可. 解答: 解:∵向量 ∴ = =(1,2) , =(4,5) ,

=(1,2)﹣(4,5)=(﹣3,﹣3) ;

故选:B. 点评: 本题考查向量的减法运算以及减法的几何意义,基本知识的考查. 7. (5 分)正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 A﹣B1DC1 的体积为() A.3 B. C. 1 ,D 为 BC 中点,则三棱锥 D.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由题意求出底面 B1DC1 的面积,求出 A 到底面的距离,即可求解三棱锥的体积.

解答: 解:∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 ∴底面 B1DC1 的面积: = , . =1.

,D 为 BC 中点,

A 到底面的距离就是底面正三角形的高: 三棱锥 A﹣B1DC1 的体积为:

故选:C. 点评: 本题考查几何体的体积的求法,求解几何体的底面面积与高是解题的关键. 8. (5 分)已知数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 S4=20,S6﹣S2=36,则该等差数列 的公差 d=() A.﹣2 B. 2 C . ﹣4 D.4 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由题意,a1+a2+a3+a4=20,a3+a4+a5+a6=36,作差可得结论. 解答: 解:由题意,a1+a2+a3+a4=20,a3+a4+a5+a6=36, 作差可得 8d=16,即 d=2. 故选:B. 点评: 本题考查数列基本量的求法.

9. (5 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 ,则 C 的方程为() + =1 D. + =1

,过 F2

的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△ AF1B 的周长为 4 A. + =1 B. +y =1
2

C.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用△ AF1B 的周长为 4 ,求出 a= ,根据离心率为 ,可得 c=1,求出 b,即

可得出椭圆的方程. 解答: 解:∵△AF1B 的周长为 4 , ∵△AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a, ∴4a=4 , ∴a= , ∵离心率为 ∴ ∴b= ,

,c=1, = ,

∴椭圆 C 的方程为

+

=1.

故选:A. 点评: 本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基 础题. 10. (5 分)奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9) =() A.﹣2 B . ﹣1 C. 0 D.1 考点: 函数的值;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性的性质,得到 f(x+8)=f(x) ,即可得到结论. 解答: 解:∵f(x+2)为偶函数,f(x)是奇函数, ∴设 g(x)=f(x+2) , 则 g(﹣x)=g(x) , 即 f(﹣x+2)=f(x+2) , ∵f(x)是奇函数, ∴f(﹣x+2)=f(x+2)=﹣f(x﹣2) , 即 f(x+4)=﹣f(x) , f(x+8)=f(x+4+4)=﹣f(x+4)=f(x) , 则 f(8)=f(0)=0,f(9)=f(1)=1, ∴f(8)+f(9)=0+1=1, 故选:D. 点评: 本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性的性质,得到函数的对称轴是解决本 题的关键. 二.填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答卷的相应位置. 11. (5 分)双曲线 C 的两个焦点为(﹣ ,0) , ( ,0) ,一个顶点为(1.0) ,则 C 的方程 2 2 为 x ﹣y =1. 考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设双曲线方程为 , (a>0,b>0) ,由已知得 ,由此能求出 C

的方程. 解答: 解:∵双曲线 C 的两个焦点为(﹣ 一个顶点为(1.0) , ∴设双曲线方程为 且 ,

,0) , (

,0) ,

, (a>0,b>0) ,

∴b =2﹣1=1, 2 2 ∴C 的方程为 x ﹣y =1. 2 2 故答案为:x ﹣y =1. 点评: 本题考查双曲线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线性质的合 理运用. 12. (5 分)曲线 y=5e ﹣3 在点(0,2)处的切线方程为 5x﹣y+2=0. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出函数导数,利用导数的几何意义即可求得切线方程. 解答: 解:∵y=f(x)=5e ﹣3, x ∴∴f′(x)=5e , 0 则 f′(0)=5e =5, 即 f(x)在点(0,2)处的切线斜率 k=5, 则对应的切线方程为 y﹣2=5(x﹣0) , 即 5x﹣y+2=0, 故答案为:5x﹣y+2=0. 点评: 本题主要考查函数切线的求解,利用导数的几何意义是解决本题的关键.
x x

2

13. (5 分)若实数 x,y 满足

,则 x+y 的最大值为 2.5.

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出其平面区域,令 z=x+y,可化为 y=﹣x+z,z 相当于直线 y=﹣x+z 的纵截 距,由几何意义可得. 解答: 解:由题意作出其平面区域,

令 z=x+y,可化为 y=﹣x+z,z 相当于直线 y=﹣x+z 的纵截距, 故过点 A(1,1.5)时有最大值, 最大值为 1+1.5=2.5, 故答案为:2.5. 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (3 分)在极坐标系中,已知两点 A(5, ) 、B(8, ) ,则|AB|=7.

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 利用余弦定理即可得出. 解答: 解:∵∠AOB= ∴AB =
2

, =49,

∴AB=7. 故答案为:7. 点评: 本题考查了极坐标的意义、余弦定理的应用,属于基础题. 15. (3 分) (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆 O 的直径,BC 是圆 O 的切线,切点为 B, OC 平行于弦 AD,若 OB=3,OC=5,则 CD=4.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 立体几何. 分析: 利用圆的切线的性质和勾股定理可得 BC,再利用平行线的性质和全等三角形的性质 可得 CD=CB.即可得出. 解答: 解:∵AB 是圆 O 的直径,BC 是圆 O 的切线, ∴OB⊥BC. 在 Rt△ OBC 中, =4.

∵AD∥OC,∴∠A=∠BOC,∠ADO=∠COD. ∵∠A=∠ADO,∴∠BOC=∠DOC. 又∵OB=OD,OC 为公共边. ∴△BOC≌△DOC. ∴CD=CB=4. 点评: 本题考查了圆的切线的性质和勾股定理、平行线的性质和全等三角形的性质,属于 基础题. 三、解答题(共 6 小题,满分 79 分) 16. (12 分)设平面向量 =(cosx,sinx) , =( , ) ,函数 f(x)= +1.

(Ⅰ)求函数 f(x)的值域和函数的单调递增区间; (Ⅱ)当 f(a)= ,且 时,求 sin(2a )的值.

考点: 平面向量数量积的运算;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)根据数量积的坐标运算,求出函数 f(x)的表达式,然后利用三角函数的图 象和性质求函数 f(x)的值域和函数的单调递增区间; (Ⅱ)根据正弦函数的二倍角公式进行计算即可. 解答: 解:依题意 f(x)= +1, (Ⅰ)∵sin(x+ )∈[﹣1,1], +1=(cosx,sinx)?( , )= cosx+ sinx+1=sin(x+ )

∴sin(x+

)+1∈[0,2],

即函数 f(x)的值域是[0,2]. 令 解得 ∴函数 f(x)的单调增区间为 (Ⅱ)由 f(a)= 得 sin(a+ ∵ ∴ 得 cos(a+ ∴sin(2a , , )=﹣ , )=sin2(a+ )=2sin(a+ )cos(a+ )= . )+1= ,得 sin(a+ , , (k∈Z) . )= ,

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,利用数量积的坐标公式求出函数 f(x)的表 达式是解决本题的关键,要求熟练掌握三角函数的公式. 17. (12 分) 在某次体检中, 有 6 位同学的平均体重为 65 公斤. 用 xn 表示编号为 n (n=1, 2, …, 6)的同学的体重,且前 5 位同学的体重如下: 编号 n 1 2 3 4 5 体重 xn 60 66 62 60 62 (Ⅰ)求第 6 位同学的体重 x6 及这 6 位同学体重的标准差 s; (Ⅱ)从前 5 位同学中随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学的体重在区间(58,65)中的概 率. 考点: 古典概型及其概率计算公式;极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 由平均数和标准差的计算公式可得出 x6 和 s, 然后由古典概型计算公式可算出所求概 率. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得 则 6 位同学体重的标准差 s= =65 解得 x6=80 …(2 分)

=7 …(4 分) 所以第 6 位同学的体重 x6=80,这 6 位同学体重的标准差为 s=7 (Ⅱ)从前 5 位同学中任意选出 2 位同学的基本事件个数有 10 个,

…(5 分)

它们是(601,66) , (601,623) , (601,604) , (601,625) , (66,623) , (66,604) , (66,625) , (623,604) , (623,625) , (604,625)…(8 分) 其中恰有 1 位同学的体重在(58,65)之间的基本事件有 4 个, 它们是(601,66) , (66,623) , (66,604) , (66,625)…(10 分) 所以恰有 1 位同学的体重在(58,65)之间的概率 P= = …(12 分)

点评: 本题考查统计中的一些数字特征,如平均数和方差,以及古典概型,要对概念有足 够的重视. 18. (14 分)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求证:CF⊥B1E; (3)求三棱锥 VC﹣B1FE 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)欲证 EF∥平面 ABC1D1,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 EF 与平 面 ABC1D1 内一直线平行即可,连接 BD1,在△ DD1B 中,E、F 分别为 D1D,DB 的中点,则 EF∥D1B,而 D1B?平面 ABC1D1,EF?平面 ABC1D1,满足定理所需条件; (2) 由题意, 欲证线线垂直, 可先证出 CF⊥平面 BB1D1D, 再由线面垂直的性质证明 CF⊥B1E 即可; (3)由题意,可先证明出 CF⊥平面 BDD1B1,由此得出三棱锥的高,再求出底面△ B1EF 的 面积,然后再由棱锥的体积公式即可求得体积. 解答: (1)证明:连接 BD1, ∵E、F 分别为 DD1、DB 的中点, ∴EF 是三角形 BD1D 的中位线,即 EF∥BD1;…(3 分) 又 EF?平面 ABC1D1,BD1?平面 ABC1D1, ∴EF∥平面 ABC1D1…(4 分) (2)证明:E、F 分别为 D1D,DB 的中点, 则 CF⊥BD,又 CF⊥D1D ∴CF⊥平面 BB1D1D,∴CF⊥B1E…(8 分) (3)解:由(2)可知 CF⊥平面 BB1D1D,∴CF 为高,CF=BF= ∵EF= BD1= ∴ ,B1F= ,B1E=3

即∠EFB1=90°

∴ ∴

= = = =1…(12 分)

点评: 本题考查直线与平面平行的判定,考查线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理 及锥体的体积的求法, 考查了空间感知能力及判断推理的能力, 解题的关键是熟练掌握相关的 定理及公式.
*

19. (14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1, (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 .

,n∈N .

考点: 数列与不等式的综合;等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用已知 a1=1, ,n∈N .令 n=1 即可求出; ,
*

(2)利用 an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)即可得到 nan+1=(n+1)an+n(n+1) ,可化为 .再利用等差数列的通项公式即可得出; (3)利用(2) ,通过放缩法 解答: 解: (1)当 n=1 时, (2) 当 n≥2 时, ①﹣②得 整理得 nan+1=(n+1)an+n(n+1) ,即 当 n=1 时, , ① ② (n≥2)即可证明. ,解得 a2=4

所以数列{ 所以

}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列 ,即 ,n∈N
*

所以数列{an}的通项公式为 (3)因为 所以

(n≥2)

= 当 n=1,2 时,也成立.



点评: 熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前 n 项和的关系 an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2) 、 裂项求和及其放缩法等是解题的关键. 20. (14 分)设抛物线 C 的方程为 x =4y,M(x0,y0)为直线 l:y=﹣m(m>0)上任意一点, 过点 M 作抛物线 C 的两条切线 MA,MB,切点分别为 A,B. (1)当 M 的坐标为(0,﹣1)时,求过 M,A,B 三点的圆的方程,并判断直线 l 与此圆的 位置关系; (2)求证:直线 AB 恒过定点(0,m) . 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;直线与圆的位置关系. 分析: (1)设过 M 点的切线方程,代入 x =4y,整理得 x ﹣4kx+4=0,令△ =0,可得 A, B 的坐标,利用 M 到 AB 的中点(0,1)的距离为 2,可得过 M,A,B 三点的圆的方程,从 而可判断圆与直线 l:y=﹣1 相切; (2)证法一:设切点分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,过抛物线上点 A(x1,y1)的切线方 程为 ,代入 x =4y,消元,利用△ =0,即可确定
2 2 2 2

,利用切线

过点 M(x0,y0) ,所以可得 的方程,从而可得结论;

,同理可得

,由此可得直线 AB

证法二:设过 M(x0,y0)的抛物线的切线方程为

(k≠0) ,代入 x =4y,

2

消去 y,利用韦达定理,确定直线 AB 的方程,从而可得结论; 证法三:利用导数法,确定切线的斜率,得切线方程,由此可得直线 AB 的方程,从而可得结 论. 2 解答: (1) 解: 当 M 的坐标为 (0, ﹣1) 时, 设过 M 点的切线方程为 y=kx﹣1, 代入 x =4y, 2 整理得 x ﹣4kx+4=0, 2 令△ =(4k) ﹣4×4=0,解得 k=±1, 代入方程得 x=±2,故得 A(2,1) ,B(﹣2,1) ,…(2 分) 因为 M 到 AB 的中点(0,1)的距离为 2,

从而过 M,A,B 三点的圆的方程为 x +(y﹣1) =4. ∵圆心坐标为(0,1) ,半径为 2,∴圆与直线 l:y=﹣1 相切…(4 分) (2)证法一:设切点分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,过抛物线上点 A(x1, y1)的切线方 程为 ﹣4×4(kx1﹣y1)=0,又因为 ,代入 x =4y,整理得 x ﹣4kx+4(kx1﹣y1)=0△ =(4k) ,所以 …(6 分)
2 2 2

2

2

从而过抛物线上点 A(x1,y1)的切线方程为



又切线过点 M(x0,y0) ,所以得

①即

…(8 分)

同理可得过点 B(x2,y2)的切线为



又切线过点 M(x0,y0) ,所以得 即 …(6 分)

②…(10 分)

即点 A (x1, y1) , B (x2, y2) 均满足

即 x0x=2 (y0+y) , 故直线 AB 的方程为 x0x=2

(y0+y)…(12 分) 又 M(x0,y0)为直线 l:y=﹣m(m>0)上任意一点,故 x0x=2(y﹣m)对任意 x0 成立,所 以 x=0,y=m,从而直线 AB 恒过定点(0,m)…(14 分) 证法二:设过 M(x0,y0)的抛物线的切线方程为
2 2

(k≠0) ,代入 x =4y,
2

2

消去 y,得 x ﹣4kx﹣4(y0﹣kx0)=0△ =(4k) +4×4(y0﹣kx0)=0 即:k +x0k+y0=0…(6 分) 从而 , 此时 ,

所以切点 A,B 的坐标分别为



…(8 分)

因为







所以 AB 的中点坐标为

…(11 分)

故直线 AB 的方程为

,即 x0x=2(y0+y)…(12 分)

又 M(x0,y0)为直线 l:y=﹣m(m>0)上任意一点,故 x0x=2(y﹣m)对任意 x0 成立,所 以 x=0,y=m,从而直线 AB 恒过定点(0,m)…(14 分) 证法三:由已知得 ,求导得 ,切点分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,故过点 A(x1,

y1)的切线斜率为 …(7 分)

,从而切线方程为



又切线过点 M(x0,y0) ,所以得

①即

…(8 分)

同理可得过点 B(x2,y2)的切线为



又切线过点 M(x0,y0) ,所以得 即点 A (x1, y1) , B (x2, y2) 均满足

②即

…(10 分)

即 x0x=2 (y0+y) , 故直线 AB 的方程为 x0x=2

(y0+y)…(12 分) 又 M(x0,y0)为直线 l:y=﹣m(m>0)上任意一点,故 x0x=2(y﹣m)对任意 x0 成立,所 以 x=0,y=m,从而直线 AB 恒过定点(0,m)…(14 分) 点评: 本题考查圆的方程,考查抛物线的切线,考查直线恒过定点,确定切线方程,及直 线 AB 的方程是关键.

21. (13 分)已知 f(x)=

+lnx(a 为正实数) .

(1)若函数 f(x)在[1,x)上为增函数,求 a 的取值范围; (2)当 a=1 时,求函数 f(x)在[ ,e]上的最大值与最小值; (3)当 a=1 时,求证:对于大于 1 的任意正整数 n,都有 lnn> + +…+ .

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)由题意可得 f′(x)≥0 对 x∈[1,+∞)恒成立,解得即可; (2)利用导数判断函数的单调性,进而求得最值;

(3) 由 (1) 知: f (x) 即 ln

+lnx 在[1, +∞) 上为增函数, 可得 lnx≥

, n≥2 时, 令 x=



> ,即可得证.

解答: 解: (1)由已知:f′(x)= 立. ∴ax﹣1≥0,x∈[1,+∞)恒成立 又 a 为正实数∴a﹣1≥0,即:a≥1 (2)∵a=1∴f(x)= +lnx,f′(x)

(a>0) ,依题意得:

≥0 对 x∈[1,+∞)恒成



x∈( ,1)时,f′(x)<0,f(x)在( ,1)上单调减, x∈(1,e)时,f′(x)>0,f(x)在(1,e)上单调增, f( )=e﹣2,f(1)=0,f(e)= , 又 f( )>f(e) 所以 f(x)在[ ,e]上的最大值为 f( )=e﹣2 与最小值为 f(1)=0 (3)∵a=1∴由(1)知:f(x) ∴对任意 x≥1 时,f(x)≥f(1)=0, ∴lnx≥ ∴n≥2 时,令 x= lnn=ln +ln ,即 ln > +…+ + +lnx 在[1,+∞)上为增函数,

+…+ln +ln > +

即 n≥2 时,lnn> + +…+ 点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识,考查不等式的证明的转化 思想的运用能力及运算求解能力,属于难题.


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