当前位置:首页 >> 数学 >>

新课程人教A版选修1-1(2-1)“双曲线”单元测试题


彭山一中高二 9 和 12 班复习资料

双曲线
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为( 10 2
B.4 2



A.3 2

C.3 3



D.4 3

9 x2 y 2 ? ? 1 ”是“双曲线的准线方程为 x ? ? ”的( 2.“双曲线的方程为 5 9 16



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知双曲线 9 y 2 ? m2 x2 ? 1(m ? 0) 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 A.1 4.双曲线 B.2 C.3 D.4

1 ,则 m ? ( 5



x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角为 30? 的直线交双曲线 2 a b


右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为(

A. 6

B. 3

C. 2

D.

3 3


5.与曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 共焦点,而与曲线 ? ? 1 共渐近线的双曲线方程为( 24 49 36 64

A.

y2 x2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 16 9 16 9 9 16 9 16 x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线为 y=kx(k>0),离心率 e= 5k ,则双曲线方程为( a 2 b2 x2 y 2 B. 2 ? 2 ? 1 a 5a x2 y 2 C. 2 ? 2 ? 1 4b b x2 y 2 D. 2 ? 2 ? 1 5b b
) )

6.已知双曲线

x2 y2 A. 2 - 2 =1 4a a
7.如果双曲线
4 6 3

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离是( 4 2
B.
2 6 3

A.

C. 2 6

D. 2 3

8. (理)若双曲线

3a x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则 2 2 a b
) C.(1,5)
1

双曲线离心率的取值范围是( A.(1,2)

B.(2,+ ? )

D.(5,+ ? )

彭山一中高二 9 和 12 班复习资料

(文)双曲线

x2 a2

?

y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离 b2
) B. [ 2, ??) C. (1, 2 ? 1] D. [ 2 ? 1, ??)

心率的取值范围是( A. (1, 2]

9.已知双曲线 C : 的面积等于( A. 24 10.连接双曲线 )

x2 y 2 ? ? 1的左右焦点分别为 F1 , F2 ,P 为 C 的右支上一点, PF2 ? F1F2 , ?PF1 F2 且 则 9 16

B. 36

C. 48

D. 96

y2 x2 x2 y2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 1的四个顶点构成的四边形的面积为 S1,连接它们 a2 b b a
) D.

的的四个焦点构成的四边形的面积为 S2,则 S1:S2 的最大值是 ( A.2 B. 1 C.

1 2

1 4

11.设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的 13
) C.

差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( A.

x2 y2 ? ?1 4 2 32

B.

x2 y2 ? 2 ?1 132 5

x2 y2 ? ?1 32 4 2

D.

x2 y2 ? 2 ?1 132 12

12. P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右支上一点, M , N 分别是圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 和 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上的点, 9 16


则 PM ? PN 的最大值为(

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上) 13.若曲线

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

14.已知双曲线 双曲线方程为

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线方程为 y ? ? x ,若顶点到渐近线的距离为 1,则 2 a b 3


x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A,右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于 15.过双曲线 9 16
点 B,则△AFB 的面积为_______。 16.方程

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线为 C,有下列命题: 4?t t ?2
2

彭山一中高二 9 和 12 班复习资料

①若曲线 C 为椭圆,则 2 ? t ? 4 ;②若曲线 C 为双曲线,则 t ? 4 或 t ? 2 ;③曲线 C 不可能为圆; ④若曲线 C 表示焦点在 y 上的双曲线,则 t ? 4 。 以上命题正确的是 。 (填上所有正确命题的序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分)已知双曲线经过点 M( 6 , 6 ) ,且以直线 x= 1 为右准线. (1)如果 F(3,0)为此双曲线的右焦点,求双曲线方程; (2)如果离心率 e=2,求双曲线方程. (12 分)

18. (本题满分 12 分)设双曲线 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,A、B 为其左、右两个顶点,P 是双 a 2 b2

曲线 C1 上的任一点,引 QB ? PB, QA ? PA ,AQ 与 BQ 相交于点 Q。 (1)求 Q 点的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹为 C2 , C1 、 C2 的离心率分别为 e1 、 e2 ,当 e1 ? 2 时,求 e2 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分)如图,在以点 O 为圆心,| AB |? 4 为直径的半圆 ADB 中, OD ? AB , P 是半圆弧 上一点, ?POB ? 30? ,曲线 C 是满足 || MA | ? | MB ||为定 点 M 的轨迹,且曲线 C 过点 P . (Ⅰ )建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ )设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E 、 F . 若△ OEF 的面积等于 2 2 ,求直线 l 的方程。. 值的动

3

彭山一中高二 9 和 12 班复习资料

20 (本小题满分 12 分)双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂

AB OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. 直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A, B 两点.已知 OA 、 、
(Ⅰ )求双曲线的离心率; (Ⅱ )设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

??? ?

x2 y 2 21. (本题满分 12 分)如图,F 为双曲线 C: 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点。P 为双曲线 C 右支上一点, a b 且位于 x 轴上方,M 为左准线上一点, O 为坐标原点。已知四边形 OFPM 为平行四边形, PF ? ? OF 。 (Ⅰ)写出双曲线 C 的离心率 e 与 ? 的关系式; y (Ⅱ)当 ? ? 1 时,经过焦点 F 且平行于 OP 的直线 交 双曲线于 A、B 点,若 AB ? 12 ,求此时的双曲线方程。
M O H P x F

第 21 题图

22. (本小题满分 14 分) 已知双曲线 x ? y ? 2 的右焦点为 F , 过点 F 的动直线与双曲线相交于 A,B 两点,
2 2

, 点 C 的坐标是 (1 0) .
(I)证明 CA ? CB 为常数; (II)若动点 M 满足 CM ? CA ? CB ? CO (其中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨迹方程.

??? ??? ? ?

???? ?

??? ??? ??? ? ? ?

4

彭山一中高二 9 和 12 班复习资料

参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.D 解:由双曲线方程得 a2 ? 10, b2 ? 2?c2 ? 12 ,于是 c ? 2 3, 2c ? 4 3 ,故选D。

2.A 解: “双曲线的方程为

9 x2 y 2 ? ? 1 ” ? “双曲线的准线方程为 x ? ? ” 5 9 16 9 x2 y 2 ? ?1” ” ? “双曲线的方程 , 5 9 16

但是“准线方程为 x ? ?

反例:

x2 y 2 ? ? 1 。故选 A。 18 82
1 3

2 2 2 3.D 解: 9 y ? m x ? 1(m ? 0) ? a ? , b ?

1 1 , 取顶点 (0, ) , 一条渐近线为 mx ? 3 y ? 0, 3 m

1 | ?3 ? | 1 3 ? m 2 ? 9 ? 25 ? m ? 4. 故选D。 ? ? 2 5 m ?9
4.B 解:如图在 Rt? MF1F2 中, ?MF F2 ? 30? , F F2 ? 2c 1 1

2c 4 2 ? 3c , MF2 ? 2c ? tan 30? ? 3c ? cos 30 3 3 4 2 2 c ∴ 2a ? MF1 ? MF2 ? 3c ? 3c ? 3c ? e ? ? 3 ,故选 B。 3 3 3 a ∴ MF1 ?

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 共焦点知焦点在 y 轴上,可排除 B、D,与曲线 ? ? 1 共渐近 5.A 解:由双曲线与曲线 24 49 36 64
线可排除 C,故选 A。

? b ? a ?k ? c ? c ? 5k , 所以 a 2 ? 4b2 ,故选 C。 6.C 解: e ? ? 5k ? ? a ? 2a 2 ?a ? b ? c 2 ? ?
7.A 解:由点 P 到双曲线右焦点 ( 6,0) 的距离是 2 知 P 在双曲线右支上.又由双曲线的

第二定义知点 P 到双曲线右准线的距离是

2 6 2 6 ,双曲线的右准线方程是 x ? , 3 3

5

彭山一中高二 9 和 12 班复习资料

故点 P 到 y 轴的距离是

4 6 .选 A. 3
3 a2 3 a ? a ? ? a, ? 3e2 ? 5e ? 2 ? 0, 2 c 2

8. (理)B 解:? ex0 ? a ? e ?

1 ? e ? 2 或 e ? ? (舍去),? e ? (2, ??], 故选 B. 3

a2 a2 a2 ? (e ? 1) x0 ? ? a ? ? a ? (e ? 1)a, (文)C 解:? ex0 ? a ? x0 ? c c c
?e ?1 ? 1? a 1 ? 1 ? , ? e2 ? 2e ?1 ? 0, ? 1 ? 2 ? e ? 1 ? 2, c e

而双曲线的离心率 e ? 1, ?e ? (1, 2 ? 1], 故选C.

9.C

解法一:∵双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1中 a ? 3, b ? 4, c ? 5 9 16

∴ F ? ?5,0? , F2 ?5,0? 1

∵ PF2 ? F F2 1

∴ PF ? 2a ? PF2 ? 6 ? 10 ? 16 1

作 PF1 边上的高 AF2 ,则 AF ? 8 1
2 2 ∴ AF2 ? 10 ? 8 ? 6

∴ ?PF1 F2 的面积为 解法二:∵双曲线 C :

1 1 PF1 ? PF2 ? ?16 ? 6 ? 48 2 2

故选 C。 ∴ F ? ?5,0? , F2 ?5,0? 1
2

x2 y 2 ? ? 1中 a ? 3, b ? 4, c ? 5 9 16

2 2 设 P ? x0,y0 ? , ? x0 ? 0? , 则由 PF2 ? F F2 得 ? x0 ? 5 ? ? y0 ? 10 1

又∵ P 为 C 的右支上一点 ∴

?x2 ? x0 2 y0 2 ? ? 1 ∴ y0 2 ? 16 ? 0 ? 1? 9 16 ? 9 ?

? x0 2 ? ∴ ? x0 ? 5 ? ? 16 ? ? 1? ? 100 即 25x02 ? 90x0 ? 819 ? 0 ? 9 ?
2

解得 x0 ?

21 39 ? 0 (舍去) 或 x0 ? ? 5 5

?? 21 ?2 1 ? 48 ? x0 2 ? ? 1? ? 16 ?? ? ? ? 1? ? ?? 5 ? 9 ? 5 ? 9 ? ? ? 1 1 48 ? 48 ∴ ?PF1 F2 的面积为 F1 F2 ? y0 ? ? 10 ? 2 2 5
∴ y0 ? 16 ?

故选 C。

6

彭山一中高二 9 和 12 班复习资料

10.C

1 1 S 2ab ab 1 S1 ? ?2a?2b ? 2ab, S 2 ? ?(2c) 2 ? 2c 2 ,∴ 1 ? 2 ? 2 ? ,故选 C。 2 2 2 S2 2c a ?b 2

11.A 解:对于椭圆 C1 , a ? 13, c ? 5 ,曲线 C2 为双曲线, c ? 5, a ? 4 ,标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1 。故 42 32

选 A。 12.B 解:设双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0) ,则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当 点 P 与 M、F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大,此时 |PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9,故选 B。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上) 13
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(? ?, ?4 ? )
x2 3 y 2 ? ?1 4 4

( 1? ? 解: (4 ? k )(1 ? k ) ? 0 ? (k ? 4)(k ?1) ? 0 ? k ? 1, 或k ? ?4 。 , )
? 解:如图由题设 AP ? 1 , ?AOP ? 30 ? a ? OA ? 2

14.

? b ? 2?
15.

3 2 3 x2 3 y 2 ,所以双曲线方程为 ? ? ?1 4 4 3 3
解:双曲线的右顶点坐标 A(3, 0) ,右焦点坐标

32 15

F (5, 0) ,设一条渐近线方程为 y ?

4 x, 3

4 ? ? y ? 3 ( x ? 5) 32 1 32 32 ? ? 建立方程组 ? 2 ,得交点纵坐标 y ? ? ,从而 S? AFB ? ? 2 ? 。 2 15 2 15 15 ?x ? y ?1 ? 9 16 ?

? 4?t ? 0 ? 16.②④ 解:若曲线 C 为椭圆,则 ? t ? 2 ? 0 ? 2 ? t ? 4且t ? 3 ,∴①错误; ?4 ? t ? t ? 2 ?
若曲线 C 为双曲线,则 (4 ? t )(t ? 2) ? 0 ? t ? 2或t ? 4 ,∴②正确;
2 2 当 t ? 3 时曲线 C 方程为 x ? y ? 1,表示圆,∴③错误;

若曲线 C 表示焦点在 y 上的双曲线,则 ?

?4 ? t ? 0 ? t ? 4 ,∴④正确。 ?t ? 2 ? 0

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.解: (1)设 P(x,y)为所求曲线上任意一点,由双曲线定义得

e?

PF x ?1

?

MF ( x ? 3) 2 ? ( y ? 0) 2 ( 6 ? 3) 2 ? ( 6 ? 0) 2 = ? ? x ?1 6 ?1 6 ?1

3

7

彭山一中高二 9 和 12 班复习资料

化简整理得

x2 y2 ? ?1 3 6
c ? 2 ? c ? 2a, 又 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ,? b ? 3a a

(2)? e ?

因此,不妨设双曲线方程为

x2 y2 ? 2 ? 1, a 2 3a
6 6 ? 2 ? 1 ,得 a 2 ? 4 , b 2 ? 12 2 a 3a
Q

因为点 M( 6 , 6 )在双曲线上,所以

故所求双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 4 12

y
P

18.解: (1)设 P( x0 , y0 ), Q( x, y) ∵ A(?a,0), B(a,0), QB ? PB, QA ? PA

A

O

B

x

y ? y0 ? x ? a ?x ? a ? ?1 x2 y2 y2 b2 y2 y2 ? 0 ∴? ? 2 0 2? 2 ? 1 ,∵ 02 ? 02 ? 1 ,∴ 2 0 2 ? 2 , 2 a b x0 ? a a ? y0 ? y ? ?1 x0 ? a x ? a ? x0 ? a x ? a ?


y2 a2 ? 2 ,化简得: a2 x2 ? b2 y 2 ? a4 , x2 ? a2 b

经检验,点 (?a,0), (a,0) 不合题意,∴点 Q 的轨迹方程为 a2 x2 ? b2 y2 ? a4 , ( y ? 0)

x2 y 2 (2) 由(1)得 C2 的方程为 2 ? 4 ? 1 , a a b2

e2 2 ?

a2 ?

a4 2 2 1 b2 ? 1 ? a ? 1 ? a ? 1? 2 , 2 2 2 2 a b c ?a e1 ? 1
2

∵ e1 ? 2 ,∴ e2 ? 1 ?

1 ? 2 ,∴ 1 ? e2 ? 2 。 ( 2)2 ? 1

19.解: (Ⅰ)解法 1:以 O 为原点, AB, OD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴,建立平面直角坐标系,则

A(?2,0), B(2,0) , D(0, 2), P( 3,1) ,依题意得
2 MA ? MB ? PA ? PB ? (2 ? 3)2 ? 12 ? (2 ? 3) ? 12=2 2 ? AB ? 4

∴曲线 C 是以原点为中心, A, B 为焦点的双曲线.
8

彭山一中高二 9 和 12 班复习资料

设实半轴长为 a ,虚半轴长为 b ,半焦距为 c , 则 c ? 2 , 2a ? 2 2 ? a2 ? 2, b2 ? c2 ? a2 ? 2 ,∴曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 2 2

解法 2:同解法 1 建立平面直角坐标系,则依题意可得 MA ? MB ? PA ? PB ? AB ? 4 . ∴曲线 C 是以原点为中心, A, B 为焦点的双曲线.

x2 y2 设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1( a >0,b>0). a b
? ( 3) 2 12 ? 2 ?1 x2 y2 ? 2 2 ? ? 1. 则由 ? a 2 解得 a ? b ? 2 , ∴曲线 C 的方程为 b 2 2 ? a 2 ? b 2 ? 4. ?
(Ⅱ)解法 1:依题意,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入双曲线 C 的方程并整理, 得 (1 ? k ) x ? 4kx ? 6 ? 0 .
2 2

∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E , F , ∴?

?k ? ?1, ?? ?? ? (?4k ) 2 ? 4 ? 6(1 ? k ) 2 >0, ?? 3<k< 3, ?
2 ? ?1 ? k ? 0,

∴ k ? (? 3, ?1) ? (1, 3) . 设 E( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则由①式得 x1 ? x2 ?

4k 6 , x1 x2 ? , 于是 2 1? k 1? k 2

EF ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2
= 1? k
2

?

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 1 ? k 2

?

2 2 3?k2 |1? k 2 |

而原点 O 到直线 l 的距离 d ?

2 1? k 2
?

,

∴ S? OEF

1 1 2 ? d ? | EF |? ? 2 2 1? k 2

2 2 3? k2 2 2 3? k2 1? k ? ? . |1 ? k 2 | |1 ? k 2 |
2

若 S? OEF ? 2 2 ,即

2 2 3?k2 ? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ? 0, 解得 k ? ? 2 , 2 |1? k |

满足②.故满足条件的直线 l 有两条,其方程分别为 y ? 2 x ? 2 和 y ? ? 2 x ? 2. 解法 2:依题意,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入双曲线 C 的方程并整理,
9

彭山一中高二 9 和 12 班复习资料

得 (1 ? k 2 ) x2 ? 4kx ? 6 ? 0 . ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E , F ,



?1 ? k 2 ? 0, ?k ? ?1, ? ?? ∴? ?? ? (?4k ) 2 ? 4 ? 6(1 ? k 2 )>0, ?? 3<k< 3. ?
∴ k ? (? 3, ?1) ? (1, 3) 设 E( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则由①式得 ②

x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?

? 2 2 3? k2 . ? |1 ? k 2 | |1 ? k 2 |



当 E , F 在同一支上时(如图 1 所示) ,

S? OEF ?| S? OQF ? S? OQE |?

1 1 | OQ | ? || x1 | ? | x2 ||? | OQ | ? | x1 ? x2 | ; 2 2

当 E , F 在不同支上时(如图 2 所示) ,

S? OEF ? S? OQF ? S? OQE ?
综上得 S? OEF ?

1 1 | OQ | ?(| x1 | ? | x2 |) ? | OQ | ? | x1 ? x2 | . 2 2

1 | OQ | ? | x1 ? x2 | ,于是 2
2 2 3? k2 . |1 ? k 2 |

由 OQ ? 2 及③式,得 S? OEF ?

若 S? OEF ? 2 2 ,即

2 2 3? k2 ? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ? 0 ,解得 k ? ? 2 ,满足②. 2 |1? k |

故满足条件的直线 l 有两条,方程分别为 y ? 2 x ? 2 和 y ? ? 2 x ? 2. 20.解: (Ⅰ)设 OA ? m ? d , AB ? m , OB ? m ? d 由勾股定理可得: (m ? d ) ? m ? (m ? d )
2 2 2

得: d ?

1 b AB 4 m , tan ?AOF ? , tan ?AOB ? tan 2?AOF ? ? 4 a OA 3
10

彭山一中高二 9 和 12 班复习资料

b a ? 4 ,解得 b ? 1 ,则离心率 e ? 5 . 由倍角公式? 2 a 2 3 2 ?b? 1? ? ? ?a? 2
(Ⅱ)过 F 直线方程为 y ? ?

a x2 y 2 ( x ? c ) ,与双曲线方程 2 ? 2 ? 1 联立 b a b

将 a ? 2b , c ? 5b 代入,化简有

15 2 8 5 x ? x ? 21 ? 0 4b2 b

2 ? ? a ?2 ? ?a? 4 ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? ? ?( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?b? ? ?b? ? ? ?

?? 32 5b ?2 28b2 ? ? ,解得 b ? 3 将数值代入,有 4 ? 5 ?? ? ?4 5 ? ?? 15 ? ? ? ? ?
x2 y 2 ? ? 1。 故所求的双曲线方程为 36 9
21 . 解 : ∵ 四 边 形 OFPM 是 平 行 四 边 形 , ∴ | OF |?| PM |? c , 作 双 曲 线 的 右 准 线 交 PM 于 H , 则

| PF | ? | OF | ?c ?c 2 ?e2 a2 2 ? ? ? 2 ? 2 | PM |? | PH |? 2 ,又 e ? , e ? ?e ? 2 ? 0 。 a2 a 2 c ? 2a 2 e ? 2 | PH | c c?2 c?2 c c

x2 y2 ? 2 ? 1 四边形 OFPM 是菱形,所以直 4a 2 3a 2 2 线 OP 的斜率为 3 ,则直线 AB 的方程为 y ? 3( x ? 2a) ,代入到双曲线方程得: 9 x ? 48ax ? 60a ? 0 ,
2 2 (Ⅱ)当 ? ? 1 时, e ? 2 , c ? 2a , b ? 3a ,双曲线为

又 AB ? 12 ,由 AB ? 1 ? k

2

9 48a 2 60a 2 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 得: 12 ? 2 ( ,解得 a ? ,则 ) ?4 4 9 9
2

b2 ?

27 x2 y 2 ? ? 1 为所求。 ,所以 4 9 27 4

0) 22.解:由条件知 F (2, ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) .
(I)当 AB 与 x 轴垂直时,可设点 A,B 的坐标分别为 (2,2) , (2, 2) , ? 此时 CA? ? (1 2)? , 2) ? ?1. CB , (1 ? 当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x ? y ? 2 ,有 (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0 .
2 2 2 2 2 2

??? ??? ? ?

11

彭山一中高二 9 和 12 班复习资料

则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ?

4k 2 4k 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 , k 2 ?1 k ?1

于是 CA? ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) CB

??? ??? ? ?

? (k 2 ?1) x1x2 ? (2k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ?1
? (k 2 ? 1)(4k 2 ? 2) 4k 2 (2k 2 ? 1) ? ? 4k 2 ? 1 2 2 k ?1 k ?1

? (?4k 2 ? 2) ? 4k 2 ? 1 ? ?1.
综上所述, CA? 为常数 ?1 . CB (II)解法一:设 M ( x,y) ,则 CM ? ( x ?1 y) , CA ? ( x1 ?1 y1 ) , , ,

??? ??? ? ?

???? ?

??? ?

???? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? ??? ? 0) CB ? ( x2 ?1 y2 ) , CO ? (?1, ,由 CM ? CA ? CB ? CO 得: ,

? x ? 1 ? x1 ? x2 ? 3, ? x1 ? x2 ? x ? 2, 即? ? ? y ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? y
于是 AB 的中点坐标为 ?

? x?2 y? , ?. ? 2 2?

y y y ? y2 y 2 ( x1 ? x2 ) . 当 AB 不与 x 轴垂直时, 1 ,即 y1 ? y2 ? ? ? x?2 x1 ? x2 x ? 2 ? 2 x ? 2 2
2 2 2 2 又因为 A,B 两点在双曲线上,所以 x1 ? y1 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 2) ? ( y1 ? y2 ) y .
将 y1 ? y2 ?

y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 x2 ? y 2 ? 4 . x?2

0) 当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (2, ,也满足上述方程.
所以点 M 的轨迹方程是 x ? y ? 4 .
2 2

解法二:同解法一得 ?

? x1 ? x2 ? x ? 2, ??????????????① ? y1 ? y2 ? y
4k 2 .???????② k 2 ?1

当 AB 不与 x 轴垂直时,由(I) 有 x1 ? x2 ?

12

彭山一中高二 9 和 12 班复习资料

? 4k 2 ? 4k y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ? k ? ? 4? ? 2 .?????????③ ? k ?1 ? k ?1
由①、②、③得 x ? 2 ?

4k 2 . ????????????????④ k 2 ?1

y?

4k .??????????????????????????⑤ k 2 ?1

当 k ? 0 时, y ? 0 ,由④、⑤得,

x?2 ? k ,将其代入⑤有 y

x?2 4 y ( x ? 2) y y? ? .整理得 x2 ? y 2 ? 4 . 2 2 2 ( x ? 2) ( x ? 2) ? y ?1 2 y 4?
0) 当 k ? 0 时,点 M 的坐标为 (?2, ,满足上述方程. 0) 当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (2, ,也满足上述方程.
故点 M 的轨迹方程是 x ? y ? 4 .
2 2

13


相关文章:
选修1-1双曲线单元测试题
选修1-1双曲线单元测试题_文学_高等教育_教育专区。数学双曲线单元测试题 双曲线...新课程人教A版选修1-1(2... 14页 1下载券 新课程人教A版选修1-1(2......
(拔高)双曲线单元检测题
新课程人教A版选修1-1(2-1... 14页 1财富值 双曲线测试题 精华版 2页 ...双曲线单元检测题一、选择题 1.双曲线 x2 y 2 ? ? 1 的焦距为( 10 2...
河北定兴中学2010选修1-1(2-1)双曲线单元测试题
河北定兴中学2010选修1-1(2-1)双曲线单元测试题_理化生_高中教育_教育专区。中小学教育资源站(http://www.edudown.net),百万资源免费下载,无须注册! 河北定兴...
2011选修1-1(2-1)抛物线单元测试题
抛物线单元测试题 7页 2财富值 选修1-1双曲线单元测试题 13页 免费 河北定兴...10x 的焦点到准线的距离是( A 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@...
人教版选修2-1双曲线测试题(2)
人教版选修2-1双曲线测试题(2)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。双曲线测试...2 B.3 y 9 2 C.2 2 D.1 y 9 2 x ? 1(a ? 0)? ∴双曲线...
高中数学人教A版第选修1-1同步练习: 2.2 第1课时双曲线...
高中数学人教A版选修1-1同步练习: 2.2 第1课时双曲线及其标准方程_数学_...A [解析] 由题意得(1+k)(1-k)>0,∴(k-1)(k+1)<0,∴-1<k<1....
高中数学(人教A版)选修1-1全册综合测试题(含详解)
高中数学(人教A版)选修1-1全册综合测试题(含详解)_高二数学_数学_高中教育_...(a>b>0)的离心率为 2 ,则双曲线a2-b2=1 的渐近线方程为( 1 A.y=± ...
选修1-1 椭圆和双曲线测试题(含答案)
选修1-1 椭圆和双曲线测试题(含答案)_高二数学_数学...( A. 1 4 B. 1 2 C. 2 D.4 8、如图:...
选修1-1(2-1)椭圆单元测试题
新人教版数学选修2-1:第二... 5页 5财富值 选修2-1_椭圆、双曲线测试.....椭圆期末复习单元测试题一、选择题 1.设 p 是椭圆 A.4 2 新疆 源头学子小屋...
人教版高二数学选修1-1第二章测试题
人教版高二数学选修1-1测试题_数学_高中教育_教育专区。高二数学选修 1...? 1 的渐近线方程是 ( 3.双曲线 4 9 A. y ? ? A. 3 x 2 B. y ...
更多相关标签:
人教版新课程能力培养 | 双曲线测试题 | 椭圆与双曲线测试题 | 选修1 2数学测试题 | 高中生物选修三测试题 | 高中生物选修一测试题 | 数学选修2 2测试题 | 高中数学选修12测试题 |