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11.1直线方程


11.1 直线方程
一、教学目标
1、理解直线方程的意义,掌握直线的点方向式、点法向式方程与其他各种形式的方程; 2、加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养;

二、教学重点及难点
重点 1.理解直线的方向向量与法向量的概念; 2.能根据已知条件求出直线的方程 难点 1、理解直线方程的定义; 2、通过对直线与二元一次方程

关系的分析,初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想, 从而培养学生用坐标法对平面直线(和以后的圆锥曲线)的研究能力。

三、教学过程
回顾 在初中平面几何里,我们定性的研究直线的平行,垂直或直线相交所成角是否相等。在函数教学中, 直线是一次函数的图像。在本章中,我们进一步用定量的方法来研究直线。 讲授新课 (一)直线方程的含义 定义:对于坐标平面内的一条直线 l ,如果存在一个方程 f ( x, y) ? 0 ,满足 (1)直线 l 上的点的坐标 ( x, y ) 都满足方程 f ( x, y) ? 0 ; (2)以方程 f ( x, y) ? 0 的解 ( x, y ) 为坐标的点都在直线 l 上。 那么我们把方程 f ( x, y) ? 0 叫做直线 l 的方程。 从上述定义可见,满足(1) 、 (2) ,直线 l 上的点的集合与方程 f ( x, y) ? 0 的解的集合就建立了对应 关系,点与其坐标之间的一一对应关系。 (二)直线的点方向式方程 1、概念引入 在几何上,要确定一条直线需要一些条件,如两个不重合的点(不重合的两点确定一条直线) ,又如
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一个点和一个平行方向(原因是过已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条)等等。我们将这些条件 用代数形式描述出来,从而建立方程。若此方程满足直线方程定义中的(1) 、 (2) ,就找到了直线的方程。 2、概念形成 (1)直线的点方向式方程的定义 在平面上过一已知点 P ,且与某一方向平行的直线 l 是惟一确定的,我们在直角坐标平面中求该直线 的方程。 (2)直线的点方向式方程的推导 建立平面直角坐标系,设 P 的坐标是 ( x0 , y0 ) ,方向用非零向量 d ? (u, v) 表示。 设直线 l 上任意一点 Q 的坐标为 ( x, y ) ,由直线平行于非零向量 d ,故 PQ // d 。根据 PQ // d 的充要 条件,得 v( x ? x0 ) ? u( y ? y0 ) ① ;反之,若 ( x1 , y1 ) 为方程① 的任意一解,即 v( x1 ? x0 ) ? u( y1 ? y0 ) ,记 是直线 ( x1 , y1 ) 为坐标的点为 Q1 ,可知 PQ1 // d ,即 Q1 在直线 l 上。综上,根据直线方程的定义知,方程①

l 的方程。
当 u ? 0且v ? 0 时,方程① 可化为

x ? x0 y ? y0 ? ② .值得注意的是:方程② 不能表示过 P( x0 , y0 ) 且与坐 u v

标轴垂直的直线。事实上当 u ? 0 时 v ? 0 ,方程① 可化为 x ? x0 ? 0 ③ ,表示过 P( x0 , y0 ) 且与 x 轴垂直的直 线;当 v ? 0 时 u ? 0 ,方程① 可化为 y ? y0 ? 0 ④ ,表示过 P( x0 , y0 ) 且与 y 轴垂直的直线。 我们把方程

x ? x0 y ? y0 ? 叫做直线 l 的点方向式方程,非零向量 d 叫做直线 l 的方向向量。 u v

(三)直线的点法向式方程 1、概念引入 从上一堂课的教学中, 我们知道, 在平面上过一已知点 P , 且与某一方向平行的直线 l 是惟一确定的. 同 样在平面上过一已知点 P ,且与某一方向垂直的直线 l 也是惟一确定的. 2、概念形成 (1)直线的点法向式方程 在平面上过一已知点 P ,且与某一方向垂直的直线 l 是惟一确定的.建立直角坐标平面,设 P 的坐标是

( x0 , y0 ) ,方向用非零向量 n ? (a, b) 表示.
(2)直线的点法向式方程的推导 设直线 l 上任意一点 Q 的坐标为 ( x, y ) , 由直线垂直于非零向量 n , 故P Q? n .根据 PQ ? n 的充要条 件 知 PQ ? n ? 0 , 即 : a( x ? x0 ) ? b( y ? y0 ) ? 0 ① ; 反 之 , 若 ( x1 , y1 ) 为 方 程 ⑤ 的任意一解,即
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a( x1 ? x0 ) ? b( y1 ? y0 ) ? 0 ,记 ( x1 , y1 ) 为坐标的点为 Q1 ,可知 PQ1 ? n ,即 Q1 在直线 l 上.综上,根据直
线方程的定义知,方程⑤ 是直线 l 的方程,直线 l 是方程① 的直线. 我们把方程 a( x ? x0 ) ? b( y ? y0 ) ? 0 叫做直线 l 的点法向式方程,非零向量 n 叫做直线 l 的法向量. (3) 、概念深化 从上面的推导看,法向量 n 是不唯一的,与直线垂直的非零向量都可以作为法向量.若直线的一个方向 向量是 (u , v ) ,则它的一个法向量是 (v,?u ) . (四)直线的一般式方程 1、概念引入 由直线的点方向式方程和点法向式方程,我们可以发现,平面直角坐标系中的每一条直线都可以用 一个关于 x, y 的二元一次方程表示;那么每一个关于 x, y 的二元一次方程 ax ? by ? c ? 0 ( a , b 不同 时为 0)是否都表示一条直线呢? 2、概念形成 直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理,成为 x, y 的二元一次方程 ax ? by ? c ? 0 . 反之, 任意二元一次方程 ax ? by ? c ? 0 (a, b不全为0) 都是直线方程么?回答是肯定的.首先, 当 b ? 0 时, 方程可化为 ax ? b( y ? ) ? 0 ,根据直线点法向式方程可知,这是过点 (0, ? ) ,以 ( a, b) 为一个法向量的 直线;当 b ? 0 时,方程为 ax ? c ? 0 ,由于 a ? 0 ,方程化为 x ? ?

c b

c b

c c ,表示过点 (? , 0) 且垂直于 x 轴的 a a

直线。所以二元一次方程 ax ? by ? c ? 0 (a, b不全为0) 是直线的方程,叫做直线的一般式方程. 小结: (1)已知坐标平面上经过点 P(x0,y0),且与已知的非零向量 d ? (u, v) 平行的直线 l 的点方向式方程 为: .
? ?

(2)已知坐标平面上经过点 P(x0,y0),且与已知的非零向量 n ? (a, b) 垂直的直线 l 的点法向式方程 为: . .

(3)若直线的一个方向向量是 (u , v ) ,则它的一个法向量是 四、例题解析 例 1 观察下列直线方程,并指出各直线必过的点和它的一个方向向量。 ①

x?3 y ?5 ? ; 3 4

x ? 1; ② ? 4?x ? 4? ? 7? y ? 6? ; ③
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y ? ?2 。 ④

解: ① 经过点 ?3,?5? ,它的一个方向向量是 d ? ?3,4 ? ; ② 化简得到:
? x?4 y?6 ? ,从中可见该直线经过点 ?4,6? ,一个方向向量是 d ? ?7,?4 ? ; 7 ?4 ?

?

③ 经过点 ?1,0? ,它的一个方向向量是 d ? ?0,1? ; ④ 经过点(0,-2),它的一个方向向量是 d ? ?1, 0 ? 。 [说明]通过直线的点方向式方程,可以判断一条直线经过的一个点和它的方向向量。 例 2 已知点 A?4, 6?,B?? 3, ? 1? 和 C ?4, ? 5? ,求经过点 A 且与 BC 平行的直线 l 的点方向式方程? 解: BC ? ?7,?4 ? ,所以过点 A 且与 BC 平行的直线 l 的点方向式方程是 变式 1 求经过点 B 、C 两点的直线 l 的点方向式方程。
?? ?

?

x?4 y?6 ? 。 7 ?4

x ? 3 y ?1 ? 。 7 ?4 x?4 y?5 ? 思考:有没有别的表达方式? 是否一样呢?不妨化简,得到的都是: 4 x ? 7 y ? 19 ? 0 7 ?4
解:

BC ? ?7,?4 ? ,

?? ?

变式 2 在 ?ABC 中,求平行于 BC 边的中位线 MN 所在直线的点方向方程。 解
? ? ?? ?1 5? ? 1? ?7 ? AB 的中点为 M ? , ? , AC 的中点为 N ? 4, ? ,则 MN ? ? ,?2 ? , ?2 ? ?2 2? ? 2?

x?
所以 MN 所在直线的点方向方程是

1 5 y? 2 ? 2。 7 ?2 2

例 3:已知点 A?? 1 , 2?,B?3, 4? ,求 AB 的垂直平分线 l 的点法向式方程. 解:由中点公式,可以得到 AB 的中点坐标为 ?1,3? , AB ? ?4,2 ?是直线 l 的法向量, 所以, AB 的垂直平分线 l 的点法向式方程. 4?x ? 1? ? 2? y ? 3? ? 0 [说明]关键在于找点和法向量! 例 4:已知点 A(1,6), B(?1,?2) 和点 C (6,3) 是三角形的三个顶点,求 (1) BC 边所在直线方程; (2) BC 边上的高 AD 所在直线方程. 解(1)因为 BC 边所在直线的一个方向向量 BC =(7,5) ,且该直线经过点 B(?1,?2) ,所以 BC 边所在 直线的点方向式方程为
?? ?

x ?1 y ? 2 ? 7 5

(2)因为 BC 边上的高 AD 所在的直线的一个法向量为 BC =(7,5) ,且该直线经过点 A(1,6) ,所以

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高 AD 所在直线的点法向式方程为 7( x ? 1) ? 5( y ? 6) ? 0 例 5: ?ABC 中,已知 A(?1,2) 、 B(3,4) ,求 AB 边的中垂线的一般式方程. 解:直线过 AB 中点 D(1,3) , n ? AB ? (4, 2) ,则其点法向式方程为 4( x ? 1) ? 2( y ? 3) ? 0 ,整理为一般 式方程 2 x ? y ? 5 ? 0 . 例 6(1)求过点 A(?2,5) 且平行于直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 9 ? 0 的直线方程; (2)求过点 B(3, ?4) 且垂直于直线 l2 : 3x ? 7 y ? 6 ? 0 的直线方程. 解 (1)解一: n ? (4, ?3), d ? (3, 4) ,又直线过点 A(?2,5) ,故直线的方程为 4( x ? 2) ? 3( y ? 5) 化简 得 4 x ? 3 y ? 23 ? 0 . 解二: n ? (4, ?3), 又直线过点 A(?2,5) ,故直线的点法向式方程为 4( x ? 2) ? 3( y ? 5) ? 0 化简 得 4 x ? 3 y ? 23 ? 0 . 解 三 : 设 与 l1 : 4 x ? 3 y ? 9 ? 0 平 行 的 直 线 方 程 为 4 x ? 3 y ? c ? 0 , 又 直 线 过 点 A(?2,5) 故

4(?2) ? 3 ? 5 ? c ? 0 , c ? 23 ,所以直线的方程是 4 x ? 3 y ? 23 ? 0 .
( 2 )解一: l1 的法向量 n1 ? (3,7) 为所求直线的方向向量,又直线过点 B(3, ?4) ,故直线的方程为

7( x ? 3) ? 3( y ? 4) 化简得 7 x ? 3 y ? 33 ? 0 .
解 二 : 设 与 l2 : 3x ? 7 y ? 6 ? 0 垂 直 的 直 线 方 程 为 7 x ? 3 y ? c ? 0 , 又 直 线 过 点 B(3, ?4) 故

7 ? 3 ? 3 ? (?4) ? c ? 0 , c ? ?33 ,所以直线的方程是 7 x ? 3 y ? 33 ? 0 .
[ 说 明 ] 一 般 地 , 与 直 线 ax ? by ? c ? 0 平 行 的 直 线 可 设 为 ax ? by ? c? ? 0 (其中c? ? c) ; 而 与 直 线

ax ? by ? c ? 0 垂直的直线可设为 bx ? ay ? c?? ? 0 .

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