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(课堂设计)2014-2015高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解学案 新人教A版必修5


3.1.2

用二分法求方程的近似解
自主学习

理解求方程近似解的二分法的基本思想, 能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满 足一定精确度要求的近似解. 1.二分法的概念 对于在区间[a,b]上连续不断且________________的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间________________,使区间的两个端点________________________, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 由函数的零点与相应方程根的关系, 可用二分法来 求________________________. 2.用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤(给定精确度 ε ) (1)确定区间[a,b],使________________. (2)求区间(a,b)的中点,x1=________________. (3)计算 f(x1). ①若 f(x1)=0,则________________________; ②若 f(a)·f(x1)<0,则令 b=x1(此时零点 x0∈________________); ③若 f(x1)·f(b)<0,则令 a=x1(此时零点 x0∈________________). (4) 继 续 实 施 上 述 步 骤 , 直 到 区 间 ________________ , 函 数 的 零 点 总 位 于 区 间 ________________上,当 an 和 bn 按照给定的精确度所取的近似值相同时,这个相同的近似 值就是函数 y=f(x)的近似零点,计算终止.这时函数 y=f(x)的近似零点满足给定的精确 度. 对点讲练 能用二分法求零点的条件 【例 1】 下列函数中能用二分法求零点的是( )

规律方法 判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是: 其图象在零点附近是连续不 断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零 点适用,对函数的不变号零点不适用. 变式迁移 1 若 y=f(x)在区间[a, b]上的图象为连续不断的一条曲线, 则下列说法正确 的是( ) A.若 f(a)f(b)<0,不存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 B.若 f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 C.若 f(a)f(b)>0,不存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 D.若 f(a)f(b)>0,有可能存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 求函数的零点 【例 2】 判断函数 y=x -x-1 在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零 点(精确度 0.1).
3

1

规律方法 由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐, 因此用列表法往往能比较 清晰地表达.事实上,还可用二分法继续算下去,进而得到这个零点精确度更高的近似值. 3 2 变式迁移 2 求函数 f(x)=x +2x -3x-6 的一个正数零点(精确度 0.1).

二分法的综合运用 x 【例 3】 证明方程 6-3x=2 在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解(精 确度 0.1).

规律方法 用二分法解决实际问题时,应考虑两个方面,一是转化成函数的零点问题, 二是逐步缩小考察范围,逼近问题的解. 3 变式迁移 3 求 2的近似解(精确度为 0.01 并将结果精确到 0.01).

1.能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点 不适用. 2.二分法实质是一种逼近思想的应用.区间长度为 1 时,使用“二分法”n 次后,精 1 确度为 n. 2 3.求函数零点的近似值时,所要求的精确度不同,得到的结果也不相同.精确度为 ε , 是指在计算过程中得到某个区间(a,b)后,若其长度小于 ε ,即认为已达到所要求的精确 度,可停止计算,否则应继续计算,直到|a-b|<ε 为止. 课时作业 一、选择题 1.下列函数图象与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是(

)

2

?1?x-2 3 2.设函数 y=x 与 y=? ? 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( ) ?2? A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) x x 3.设 f(x)=3 +3x-8,用二分法求方程 3 +3x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中 得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( ) A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 x-1 4.方程 2 +x=5 的解所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 3 5.用二分法研究函数 f(x)=x +3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0, 可得其中一个零点 x0∈________, 第二次应计算________. 以上横线上应填的内容为( ) A.(0,0.5) f(0.25) B.(0,1) f(0.25) C.(0.5,1) f(0.25) D.(0,0.5) f(0.125) 二、填空题 6. 在用二分法求方程 f(x)=0 在[0,1]上的近似解时, 经计算, f(0.625)<0, f(0.75)>0, f(0.687 5)<0,即可得出方程的一个近似解为________________(精确度为 0.1). 2 7.用二分法求方程 x -5=0 在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达 到 0.01. 三、解答题 3 2 8.求函数 f(x)=x +x -2x-2 的一个正实数零点(精确度为 0.1).

9.利用计算器,求方程 lg x=2-x 的近似解(精确度为 0.1).

3.1.2

用二分法求方程的近似解 答案

自学导引 1.f(a)·f(b)<0 一分为二 逐步逼近零点 方程的近似解 a+b 2 . (1)f(a)·f(b)<0 (2) (3) ① x1 就是函数的零点 ② (a , x1) ③ (x1 , b) 2 (4)[an,bn] [an,bn] 对点讲练 【例 1】 C [在 A 中,函数无零点.在 B 和 D 中,函数有零点,但它们均是不变号零 点,因此它们都不能用二分法来求零点.而在 C 中,函数图象是连续不断的,且图象与 x 轴有交点,并且其零点为变号零点,∴C 中的函数能用二分法求其零点.] 变式迁移 1 D [由零点存在性定理可知选项 A 不正确;
3

对于选项 B 可通过反例“f(x)=x(x-1)(x+1)在区间[-2,2]上满足 f(-2)f(2)<0, 但其存在三个零点:-1,0,1”推翻; 选项 C 可通过反例“f(x)=(x-1)(x+1)在区间[-2,2]上满足 f(-2)f(2)>0,但其存 在两个零点:-1,1”推翻.] 3 【例 2】 解 因为 f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函数 y=x -x-1 的图象是连 续的曲线,所以它在区间[1,1.5]内有零点,用二分法逐次计算,列表如下: 区间 中点值 中点函数近似值 (1,1.5) 1.25 -0.3 (1.25,1.5) 1.375 0.22 (1.25,1.375) 1.312 5 -0.05 (1.312 5,1.375) 1.343 75 0.08 由于|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1, 所以函数的一个近似零点为 1.312 5. 变式迁移 2 解 由于 f(1)=-6<0, f(2)=4>0, 可取区间(1,2)作为计算的初始区间, 用二分法逐次计算,列表如下: 区间 中点 中点函数值 (1,2) 1.5 -2.625 (1.5,2) 1.75 0.234 4 (1.5,1.75) 1.625 -1.302 7 (1.625,1.75) 1.687 5 -0.561 8 (1.687 5,1.75) 1.718 75 -0.170 7 由于|1.75-1.687 5|=0.062 5<0.1, 所以可将 1.687 5 作为函数零点的近似值. x 【例 3】 证明 设函数 f(x)=2 +3x-6, ∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0, x 又∵f(x)是增函数,∴函数 f(x)=2 +3x-6 在区间[1,2]内有唯一的零点, x 则方程 6-3x=2 在区间[1,2]内有唯一一个实数解. 设该解为 x0,则 x0∈[1,2], 取 x1=1.5,f(1.5)=1.33>0,f(1)·f(1.5)<0, ∴x0∈(1,1.5), 取 x2=1.25,f(1.25)=0.128>0, f(1)·f(1.25)<0, ∴x0∈(1,1.25), 取 x3=1.125,f(1.125)=-0.444<0, f(1.125)·f(1.25)<0, ∴x0∈(1.125,1.25), 取 x4=1.187 5,f(1.187 5)=-0.16<0, f(1.187 5)·f(1.25)<0, ∴x0∈(1.187 5,1.25). ∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1, ∴1.187 5 可以作为这个方程的实数解. 3 3 变式迁移 3 解 设 x= 2,则 x -2=0. 3 3 令 f(x)=x -2,则函数 f(x)的零点的近似值就是 2的近似值,以下用二分法求其零 点的近似值. 由于 f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间. 用二分法逐步计算,列表如下: 区间 中点 中点函数值 [1,2] 1.5 1.375

4

[1,1.5] 1.25 [1.25,1.5] 1.375 [1.25,1.375] 1.312 5 [1.25,1.312 5] 1.281 25 [1.25,1.281 25] 1.265 625 [1.25,1.265 625] 1.257 812 5 [1.257 812 5, 1.261 718 75 1.265 625] 由于|1.265 625-1.257 812 5| =0.007 81<0.01, 所以函数 f(x)零点的近似值是 1.26, 3 即 2的近似值是 1.26. 课时作业 1.B 2.B [数形结合可知,交点横坐标在(1,2)内.

-0.046 9 0.599 6 0.261 0 0.103 3 0.027 3 -0.01 0.008 6

] 3.B [1.5 为区间(1,2)的中点,且 f(1)<0,f(1.5)>0, ∴方程的根 x0∈(1,1.5), 又 1.25 是(1,1.5)的中点且 f(1.5)>0, f(1.25)<0,∴x0∈(1.25,1.5).] x-1 4.C [令 f(x)=2 +x-5, 则 f(2)=-1<0,f(3)=2>0, ∴f(2)f(3)<0,故选 C.] 5.A [∵f(0)<0,f(0.5)>0,∴f(0)·f(0.5)<0,故 f(x)在(0,0.5)必有零点,利用 二分法, ?0+0.5?=f(0.25).] 则第二次计算应为 f? ? ? 2 ? 6.0.75 或 0.687 5 解析 因为|0.75-0.687 5|=0.062 5<0.1, 所以 0.75 或 0.687 5 都可作为方程的近似解. 7.7 1 1 1 解析 区间(2,3)的长度为 1,当 7 次二分后区间长度为 7= < =0.01. 2 128 100 8.解 由于 f(1)=-2<0,f(2)=6>0, 所以函数在(1,2)内存在零点. 取(1,2)的中点 1.5,经计算 f(1.5)=0.625>0, 故函数在(1,1.5)内存在零点,如此继续下去,得到函数的一个零点所在的区间. (a,b) ?a+b? (a,b) f(a) f(b) f? ? 的中点 ? 2 ? (1,2) 1.5 f(1)<0 f(2)>0 f(1.5)>0 (1,1.5) 1.25 f(1)<0 f(1.5)>0 f(1.25)<0 (1.25,1.5) 1.375 f(1.5)>0 f(1.25)<0 f(1.375)<0 (1.375,1.5) 1.437 5 f(1.5)>0 f(1.375) <0 f(1.437 5)>0
5

(1.375, 1.437 5) |1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1 所以原函数的一个正实数零点的近似解可取为 1.437 5. 9.解

作出 y=lg x,y=2-x 的图象,可以发现,方程 lg x=2-x 有唯一解,记为 x0,并且 解在区间(1,2)内. 设 f(x)=lg x+x-2,用计算器计算得 f(1)<0, f(2)>0? x∈(1,2); f(1.5)<0,f(2)>0? x∈(1.5,2); f(1.75)<0,f(2)>0? x∈(1.75,2); f(1.75)<0,f(1.875)>0? x∈(1.75,1.875); f(1.75)<0,f(1.812 5)>0? x∈(1.75,1.812 5). ∵|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1, ∴方程的近似解可取为 1.812 5.

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