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必修1第一章第2节集合之间的运算






高一 丁学锋 李秀卿





数学





人教新课标 B 版

课程标题 编稿老师 一校

必修 1 第一章 第 2 节 集合之间的运算 二校 林卉 审核 吴华斌

一、学习目标:
1. 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; 2. 理解在给定集合中的一个子集的补集的含义,会求给定集合的子集的补集; 3. 能用韦恩(Venn)图表达简单集合间的关系与运算。

二、重点、难点:
1. 重点:并集、交集、全集、补集的概念及其表示方法 2. 难点:并集、交集、全集、补集的概念,符号之间的区别与联系及运算

三、考点分析:
本讲所涉及的考点是集合之间的有关运算。 这部分内容属于理解的内容, 同学们必须熟 练掌握。在考试中主要是以选择题、填空题的形式出现,属于较容易题。所以同学们应主要 掌握具体的概念和运算。

1. 并集: (1)定义:一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 集合 B 的并集,也就是由集合 A 与集合 B 的“所有”元素组成的集合。 (2)符号表示:A 与 B 的并集记作 A ? B, 即A ? B ? x x ? A或x ? B 。 (3)图示:Venn 图表示 A? B ,如图所示:

?

?

B B A A

A? B
2. 交集:

A? B

(1)定义:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合称为集合 A 与集合 B 的交集,也就是由集合 A 与集合 B“公共”元素组成的集合。 (2)符号表示:A 与 B 的交集记作 A ? B,即A ? B ? x x ? A且x ? B 。 (3)图示:用 Venn 图表示,如图所示:

?

?

A

B

A? B
2. 集合的运算性质:

(1) A ? A ? __________ ____;(2) A ? ? ? __________ ______; (3) A ? A ? __________ ____;(4) A ? ? ? __________ ______.

3. 全集: (1)定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称 这个集合为全集。 (2)符号表示:全集通常记作 U (3)图示:用 Venn 图表示全集 U,如图所示:
U

4. 补集: (1)定义:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集 合 A 相对集合 U 的补集,简称为集合 A 的补集。也就是从全集 U 中取出集合 A 的全部元 素之后,所有剩余的元素组成的集合。 (3)图示:用 Venn 图表示 CU A ,如图所示: (2)符号表示:集合 A 相对于全集的补集记作 CU A,即CU A ? x x ? U且x ? A 。

?

?

知识点一:集合间的运算:

例 1. (1)设集合 A ? ? ,2,3?, B ? ?2,3,4?, 则A ? B ? ( 1 A.

?2,3?

(2)设集合 M ? x x ? 2 , N ? x x ? ?1 , 则M ? N ? ( A.

1 1 (3)设集合 U ? ? ,2,3,4,5?, A ? ? ,2,3?, B ? ?2,5?, 则A ? (CU B) ? (
A.

?x x ? 2?

?

B. ? 2,2,3,3,4? 1,

B.

? ?x x ? ?1?

?

?

C. ? 2,3,4? 1,

)

D. ? ,4? 1

C.

?x ? 1 ? x ? 2? ?

)
D.

?x 2 ? x ? ?1?
)

?2?

B.

?2,3?

_ (4)已知全集 U ? R ,集合 A ? x 1 ? 2 x ? 1 ? 9 , 则CU A ? __________ .
思路分析: 题意分析:这一组习题主要考查交集、并集、全集、补集的基本概念和基本运算,以及 数轴和韦恩图的简单应用。 解题过程: (1)主要考查并集的概念和集合必须满足的条件。选 C。 (2)主要考查交集的概念。因为题设中的集合是用不等式的形式表示的,所以我们可 以借助数轴来求解。选 C。 ( 3 ) 主 要 是 考 查 补 集 和 交 集 的 有 关 概 念 , 可 借 助 Venn 图 法 , 先 求 出 (4)先解不等式 1 ? 2x ? 1 ? 9 ,这是一个连续不等式,可分为两个不等式

?

C. ?3?

D. ? ,3? 1

CU B ? ? ,3,4?, 再求A ? (C U B) ? ? ? 。选 D。 1 1,3

?2 x ? 1 ? 1 ?x ? 0 , 解得? , 再取交集得A ? ?x 0 ? x ? 4? ,然后应用数轴法求出 ? ?2 x ? 1 ? 9 ?x ? 4 CU A ? ?x x ? 0或x ? 4?也可直接解不等式 ? 2 x ? 1 ? 9 , . 1
①两边同时加-1,得 0 ? 2x ? 8 ,

1 , 得0 ? x ? 4 , 2 , 所以, A ? ?x 0 ? x ? 4? 则CU A ? ?x x ? 0, 或x ? 4?。
②两边同时乘以 在这里解不等式时,一定要注意不等式是否变号的问题。 题后思考:本组题考查集合的有关概念,注意概念要清晰,会用数形结合(数轴、Venn 图)来辅助解题。

合 合 例 2. (1)已知全集 U ? x x ? 4 , 集 A ? x ? 2 ? x ? 3 , 集 B ? x ? 3 ? x ? 3 ,
求 CU A, A ? B, CU ( A ? B), (CU A) ? B 。 思路分析: 题意分析:本题主要是求集合的交、并、全、补集的一道小综合题,并集中的元素是以 描述法定义的,以不等式的形式给出,解答此题可借助数轴求解。 解题过程:把全集 U和集合A, B 在数轴上表示出来,如图所示:

?

?

?

?

?

?

由图可知:

CU A ? ?x x ? ?2或3 ? x ? 4? CU ( A ? B) ? ?x x ? ?2或3 ? x ? 4? A ? B ? ?x ? 2 ? x ? 3?

(CU A) ? B ? ?x ? 3 ? x ? ?2或x ? 3?

题后思考:求解用不等式表示的数集间的集合运算时,一般要借助于数轴求解,此法的 特点是简单直观,同时要注意各个端点的画法及取到与否。 (2) U 为全集, , P, N是U 的三个子集, 设 则图中绿色阴影部分表示的集合是 ( M )

A.(M ? P) ? N B.(M ? P) ? N C.(M ? P) ? (C U N) D.(M ? P) ? (C U N)

思路分析: 题意分析:本题是给定集合求阴影部分所表示的集合问题,可先求出 M ? P ,再求它 与第三个集合 N 的关系。 解题过程:如图,阴影部分为 M ? P ,而题目要求的是在 M ? P 的基础上去掉被集合

N 覆 盖 的 部 分 , 换 句 话 说即 是 与 CU N 做 交 运 算 。 从 而图 中 阴 影 部 分 表 示 的 集合 为 ( M ? P) ? (CU N ) 。故选 C。
题后思考: 对于给定集合求阴影部分所表示的集合问题, 可先确定两个主要的集合运算, 对于去掉的部分可用与补集相交的方法来解决。 提分技巧:本组题主要考查了集合的交、并、补、全集的基本概念和基本运算。在解决 这类问题时要概念清晰,并会熟练应用数轴和 Venn 图解题。

知识点二:含参数的有关集合运算问题 , , 值 例 3. 设 U ? R , A ? ?x a ? x ? b? C U A ? ?x x ? 4或x ? 3? 求a , b的 .
思路分析: 题意分析:①可由 A, 求出 CU A, 再与题设相比较,求出 a, b ; ②也可由 CU A 求出 A, 再与题设相比较,求出 a, b 。 解题过程:由 A ? x a ? x ? b , 得 C U A ? x x ? a或x ? b , 与C U A ? x x ? 4或x ? 3 比较得 a ? 3, b ? 4 。 题后思考:掌握补集的基本概念,正确求解即可。 例 4. 已知集合 A ? x x ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 , B ? x x ? 0 .若A ? B ? ? , 求实数 m 的
2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

取值范围。

思路分析: 题意分析:A ? B ? ? , 说明集合 A 是由方程 x ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 的实根组成的非空
2

集合,并且方程的根有: (1)两负根; (2)一负根,一零根; (3)一负根,一正根三种情况。 分别求解十分麻烦,这时我们从求解问题的反面考虑,研究由 ? ? 0 ,求出全集 U ,然后 求方程的根均为非负时的 m 的取值范围,最后再利用“补集”求解。 解题过程:设全集 U ? m ? ? (?4m) ? 4(2m ? 6) ? 0 ? ?m m ? ?1或m ?
2

?

?

? ?

3? ?, 若方 2?
3 2

?m ? U ? 程 x ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 的两根 x 1 , x 2 均非负,则 ?x 1 ? x 2 ? 4m ? 0 ? x x ? 2m ? 6 ? 0 ? 1 2
2

?m?

3? ? ? ?m m ? ?在全集U中的补集为?m m ? ?1?,? 实数m的取值范围是?m m ? ?1?。 2? ?
题后思考:本题运用的是“正难则反”的解题策略,正是“补集思想”。对于难于从正面入 手的数学问题,在解题时调整思路,从问题的反面入手,探求已知和未知的关系,能起到化 难为易、化隐为显的作用,从而将问题解决。 例 5. 已知集合 A ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 , B ? x ( x ? a)( x ? 3a) ? 0 。
2

?

?

?

?

(1)若 A ? B, 求a 的取值范围; (2)若 A ? B ? ? , 求a 的取值范围; (3)若 A ? B ? x 3 ? x ? 4 , 求a 的取值范围。 思路分析: 题意分析:本题为集合在一定约束条件下求参数的问题,对于集合 A 是已知集合,集 合 B 与参数 a 有关,关键在于比较 a 与 3a 的大小,需要用分类的思想对 a 进行分类讨论, 从而求出 B,再根据子集、交集的定义及题意求解。 解题过程: (1)? A ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 ,? A ? x 2 ? x ? 4
2

?

?

?

?

对于集合 B ,有三种情况:① a ? 0时,B ? x a ? x ? 3a ② a ? 0时,B ? ? ③ a ? 0时,B ? x 3a ? x ? a

?

?

?

?

?

?

所以①当 a ? 0时,要使A ? B ,借助数轴,得

a

2

4

3a

应满足 ?

②当 a ? 0时,B ? ? (舍) ③当 a ? 0时, 得

?a ? 2 4 ? ?a?2 3 ?4 ? 3a

3a

a

2

4

? a ??

4 ? a ? 2。 3 (2)若 A ? B ? ? , ①当 a ? 0时, 借助数轴得
综上,
a 3a 2 4 a 3a

? 此时, B ? ?x 3 ? x ? 9?, 而A ? B ? ?x 3 ? x ? 4?,
故所求 a 的值为 3。

2 0 ? 3a ? 2或4 ? a 解得 0 ? a ? 或a ? 4 3 ②当 a ? 0时,B ? ? 显然满足 A ? B ? ? , ③当 a ? 0时, 显然满足 A ? B ? ? , 2 综上所述, a ? 或a ? 4时,A ? B ? ? 。 3 , (3)要满足 A ? B ? ?x 3 ? x ? 4? 显然a ? 0且a ? 3时成立.

这组例题为中上等难度题, 含参数的问题是高考中的重要问题, 其解决方法---分类解决 问题的方法也是高考中的一个重要的解题方法。 这一类习题一般在集合和其他知识的交汇点 处命题,在解题时应注意: ①分类要明确,做到不重不漏; ②解决问题时,结合数轴,应用数形结合的方法求解,尤其是端点问题应该仔细分析。

一、预习前知:
1. 要使以下函数有意义,则 x 必须满足的条件分别是什么: (1) y ?

x ?1 ;

(2) y ?

1 x ?1 2 ; x
(3) y ? x ? 2 x ? 2
2

2. 分析下列函数的定义域、值域: (1) y ? 2 x ; (2) y ?

二、预习导学:
反思探究: 探究任务一:函数的定义域、值域、对应法则的定义及简单习题的求法 反思:如何求解一次函数、正比例函数、反比例函数及二次函数的定义域、值域 探究任务二:预习课本上的函数的表示方法(图象法、列表法、解析式法) ,并比较其 异同和优劣。

(答题时间:45 分钟)
一、选择题

1. 已知集合 M ? x 1 ? x ? 0 , N ? ? x A.

?

?

1 2. 已知全集 U ? ? ,2,3,4,5?,且 A ? ?2,3,4?, B ? ? ,2?, 则A ? (C U B) 等于( 1
A.

?x ? 1 ? x ? 1?

1 ? ? ? 0?, 则M ? N ? ( ? 1? x ? B. ?x x ? 1? C. ?x ? 1 ? x ? 1?
B. ?5? C. ?3,4?

) D. x x ? ?1

?

?



?2?

3. 已知集合 M ? x x ? x ? 0 , N ? x x ? 2 , 则 (
2

?

?

?

?

D. )

?2,3,4,5 ?

A. M ? N ? ? C. M ? N ? M

B. M ? N ? M D. M ? N ? R

4. 已知 U ? R , A ? x x ? 0 , B ? x x ? ?1 ,则 ?A ? (C U B) ? ? ?B ? (C U A)? ? ( A. ? B. 5. 若 U=R, A 为全体正实数的集合, B ? ?? 2,?1,1,2?,则下列结论中正确的是( A. A ? B ? ?? 2,?1? C. A ? B ? (0,??) ) B. 4 个 C. 5 个 D. 9 个 ) B. (CU A) ? B ? (??,0) D. (C U A) ? B ? ?? 2,?1?

?

?

?

?x x ? 0?

? C. ?x x ? -1?



D.

?x x ? 0或x ? ?1?



6. 设集合 A ? ?4,5,7,9? , B ? ?3,4,7,8,9 ?, 全集U ? A ? B ,则集合 C U (A ? B) 中的 元素共有( A. 3 个

7. 设 U 为全集,集合 A,B 是其子集,则图中橘色阴影部分表示的集合为( A. A ? (CU B) B. A ? (CU B) C. CU B D. (C U A) ? (CU B)

*8. 设 I 为全集, S1 , S 2 , S 3 是 I 的三个非空子集,且 S1 ? S 2 ? S 3 ? I ,则下列判断正确 的是( ) A. (C I S 2 ) ? ( S 2 ? S 3 ) ? ? C. (C I S1 ) ? (C I S 2 ) ? (C I S 3 ) ? ? 二、填空题 B. S1 ? ??C I S 2 ? ? (C I S 3 )?

D. S1 ? ??C I S 2 ? ? (C I S 3 )?

9. 已知集合 M ? y y ? x ? 4x ? 1 , N ? x y ? ?2x ? 3 , M ? N =________。
2 2

?

A * B ? ?x 1 ? x ? 2?, 则B * A ? __________ 。
三、解答题

*10. 已知集合 A ? x 1 ? x ? 3 , B ? x 2 ? x ? 4 , 若两个集合之间有一种运算“*” ,使

?

?

?

?

?

?

?

11. 设 U ? x x ? 4, x ? Z , A ? x x ? x ? 6 ? 0 , B ? x x ? 1 ? 0 ,求 CU A ,CU B ,
2 2

?

?

?

?

?

?

(CU A) ? B , A ? (CU B) 。

1. C 2. C 3. B

∵ C U B ? ?3,4,5?,∴ A ? (C U B) ? {3,4}

? M ? {x | 0 ? x ? 1} , N ? {x | ?2 ? x ? 2} ? M ? N ? M

? ? ? ? ? ? B ? (C A) ? ?x x ? ?1?,? ( A ? C B) ? ( B ? C A) ? ?x x ? 0或x ? ?1? , 5. D。因为 C A ? ?x x ? 0? 所以 (C A) ? B ? ?? 2,?1? 。
4. D。? CU B ? x x ? ?1 , CU A ? x x ? 0 , 则A ? (C U B) ? x x ? 0 ,
U U U U

6. A。因为 A ? B ? ?3,4,5,7,8,9?, A ? B ? ?4,7,9?,所以, CU ( A ? B) ? ?3,5,8?。故有 3 个元素。 7. B 8. C。因为 S1 ? S 2 ? S 3 ? I ,所以 C I ( S1 ? S 2 ? S 3 ) ? ?

U

?y y ? ?5?。 ? y ? x ? 4 x ? 1 ? ( x ? 2) ? 5,? M ? ?y y ? ?5? , 又? N ? ?x x ? R? ? M ? N ? ?y y ? ?5?。 10. ?x 3 ? x ? 4?由题设易知A * B ? ?x x ? A且x ? B? 所以 B * A ? ?x x ? B且x ? A? ? ?x 3 ? x ? 4?。
9.
2 2

即 (C I S1 ) ? (C I S 2 ) ? (C I S 3 ) ? ? 。

2 11. 解:由 x ? 4, 且x ? Z, 得U ? {?3,?2,?1,0,1,2,3} ,方程 x ? x ? 6 ? 0 的解为

x ? ?2或x ? 3, 方 x 2 ? 1 ? 0的 为 x ? ?1 程 解 所以 A ? {-2,3}, B ? {?1,1} 。 所以 C U A ? {?3,?1,0,1,2},C U B ? {?3,?2,0,2,3} 。 所以 (CU A) ? B ? ?- 3,1,0,1,2 ? ? ?? 1,1? ? ?? 1,1?, A ? (C U B) ? {?3,?2,0,2,3} 。


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