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p应用5-空间向量在立体几何中的应用


空间向量 在立体几何中的应用5

复习空间向量(一)
一、空间向量的运算及其坐标运算的掌握

是平面向量的推广, 有关运算方法几 乎一样,只是 “二维的”变成 “三维的”了.
二、立体几何问题的解决──向量是很好的工具

(一)平行与垂直的判断
(二)夹角与距离的计算

> (一)平行与垂直的判断 (1)平行

设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,平面

? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 线线平行 l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ;
线面平行

l ∥? ? a ? u ? a ? u ? 0 ;

面面平行

? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv .

注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行
包括直线在平面内,面面平行包括面面重合.

(一)平行与垂直的判断 (1)垂直

设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,平面

? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
线线垂直
线面垂直
面面垂直

l ⊥m ? a ⊥b ? a?b ? 0; l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ;

? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.
画出图形意会结论

(二)夹角与距离的计算
(1)夹角 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,平面 ? , ?

? cos ? ? ①两直线 l , m 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), ; 2 ab

的法向量分别为 u, v ,则

a?b

a?u ? ②直线 l 与平面 ? 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), sin ? ? ; 2 a u
③二面角 ? ─l ─ ? 的大小为 ? ( 0 ≤? ≤ ? ), cos ? ?

u?v uv

.

(2)空间距离

点、直线、平面间的距离有七种.点到平面的距离是重点,

两异面直线间的距离是难点.

七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离的最小值.

①点到平面的距离 h ( :定理)如图,设 n 是平面 ? 的法向量, ? P AP 是平面 ? 的一条斜线, 其中 A ? ? , n h | AP ? n | 则点 P 到平面 ? 的距离 h ? . ?O |n| A? (实质是 AP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值) ? ②异面直线 l1 , l2 间的距离 d :

d ? AB ?

| CD ? n | |n|

( l1 , l2 的公垂向量为 n , C、D 分别是 l1 , l2 上任一点). (实质是 CD 在公垂向量 n 方向上的投影的绝对值)

例 1. 已知在四边形 ABCD 中, AD//BC , AD=AB=1 , ,将△ABD 沿对角线 BD 折起 ?BCD ? 45 , ?BAD ? 90° 到如图所示 PBD 的位置,使平面 PBD ? 平面BCD . ⑴求证: CD ? PB ; ⑵求二面角 P ? BC ? D 的余弦值大小; ⑶求点 D 到平面 PBC 的距离.

分析:⑴第一问用几何法(线线垂直转化为证线面垂直)
⑵ 第二问用几何法就要找角 , 注意到由第一问的结 论可知坐标系容易建立 , 用坐标法处理好 , 而且第三问也 是顺手牵羊.

解:⑴ ?BAD ? 90 , AD ? AB ??ADB ? ?ABD ? 45° AD // BC ??BCD ? 45° ??BDC ? 90° ? BD ? DC 又 平面PBD ? 平面BCD,CD ? 平面BCD , ? CD ? 平面PBD , PB ? 平面PBD ? CD ? PB
⑵过 P 作 PE ? BD于E, 由平面PBD ? 平面BCD得 PE ? 平面BCD, 过 E 作 EF ? BC 于 F ,连接 PF ,由三垂线定理可证 PF ? BC . ∴ ? PFE 为二面角 P ? BC ? D 的平面角, PB ? PD ? 1

2 PE 3 ? tan ?PFE ? ? 2 ,? 二面角P ? BC ? D 的余弦值大小为 EF 3 ⑶设 D 到平面 PBC 的距离为 h,由 PB ? 1 可求出 BD ? DC ? 2 ,

? PE ? BE ?

1

,EF ?

2 1 , BE ? , 在Rt ?PEF中,?PEF ? 90° 2 2

BC=2, PC ? 3 . PB ? PD, PB ? CD, PD CD ? D ? PB ? 平面PCD 1 1 1 1 PC ? 平面PCD? PB ? PC VC ? PBD ? VD? PBC ? ? ? PB ? PD ? DC ? ? ? PB ? PC ? h 3 2 3 2 PD ? DC 6 ? PD ? DC ? PC ? h ? h ? ? PC 3

解: ?BAD ? 90 , AD ? AB ??ADB ? ?ABD ? 45° AD // BC ??BCD ? 45° ??BDC ? 90° ? BD ? DC ,如图所示建立空间直角坐标系 D ? xyz
? 2 2? 0, 0), B 2, 0, 0 , C 0, 2 , 0 , P? 0, 则 D(0, ? ? 2 , 2 ? ? ? ? ? ? 2 2? 0 ,PB ? ? 0,? ⑴ CD ? 0,? 2, , ? ? 2 , ? 2 ? ?

?

? ?

?

?

?

CD ? PB ? 0,?CD ? PB,?CD ? PB

? ? 2 ?x ? z ? 0 2? ? ? 2 2? ? ? m ? PB ? 0 PB ? ? 0? ? , PC ? ? ? , 2, ? ? , 令x ? z ? 1, ?? ,即 ? ?y ?1 ? 2 ,, ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?x ? 2y ? z ? 0 ? ? 2 ? m ? PC ? 0 ?? 3 n? m 1 3 ? m ? (111) , , ? cos ? n , m ?? ? ? ? 二面角P ? BC ? D的大小 为 arccos 3 | n || m | 1? 3 3 ? ? DC ? m 3 ⑶过 D 做 DM ? 平面PBC于 点 M ? cos ? DC , m ?? ? 3 | DC || m |

⑵取平面 BDC 的法向量 n ? (0, 0, 1) 设平面 PBC 的法向量为 m ? ( x, y, z)

6 ? D到平面PBC的距离 | DM |?| DC | ? cos ? DC, m ?? 3

练习 1: 如图, 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2, M、N 分别为 AA1、BB1 的中点,求: ⑴CM 与 D1N 所成角的余弦值; ⑵异面直线 CM 与 D1N 的距离.

练习 1: 如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,M、 N 分别为 AA1、BB1 的中点,求: ⑴CM 与 D1N 所成角的余弦值; ⑵异面直线 CM 与 D1N 的距离.
解:⑴如图,以 D 为原点,DA、DC、DD1 分别为 x、y、z 轴,建立空间 直角坐标系, 则 C(0,2,0) 、D1(0,0,2) 、M(2,0,1) 、N (2,2,1) , ∴ CM =(2,-2,1) , D1M =(2, 2,-1) ,设 CM 与 D1N 所成的角为θ ,

|CM D1 N | | 2 2 ? (?2) 2 ? 1 (?1) | 1 则 cosθ = = ? 9 33 |CM | | D1 N |
⑵设 CM , D1 N 的法向量为 n =(x,y,z)

?2 x ? 2 y ? z ? 0 ? x ? 0 则? ,取 n =(0,1,2) ?? ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ? z ? 2 y

| D1M n | 2 2 5 ? ? ∴异面直线 CM 与 D1N 的距离 d= |n| 5 5

练习2.(2004年高考题)如图, 直三棱柱ABC ? A1 B1C1中, ?ACB ? 900 AC ? 1, CB ? 2, 侧棱AA1 ? 1, 侧面AA1 B1 B的两条对角线交点为D, B1C1的中点为M .(?)求证CD ? 平面BDM ; (??)求面B1 BD与面CBD所成二面角的大小.
Z A

A1 B, DM 为平面BDM内的两条相交直线, ? CD ? 平面BDM .

B1

解 : (?)如图以 , C为原点建立空间直角坐标系. 2 1 1 B( 2 ,0,0), B1 ( 2,1,0), A1 (0,1,1), D( , , ), 2 2 2 2 2 1 1 M ( ,1,0), CD ? ( , , ), A1B ? ( 2, ?1, ?1) 2 2 2 2 1 1 DM ? (0, , ? ), 则CD ? A1B ? 0, CD ? DM ? B 0. 2 2 X ? CD ? A1B, CD ? DM .

A1
D
C

C1
M

Y

3 2 1 1 (??)设BD的中点为G,连结B1G, 则G ( , , ). 4 4 4A 2 1 1 2 3 1 BD ? (? , , ), B1G ? (? , ? , ) 2 2 2 4 4 4 G ? BD ? B1G ? 0,? BD ? B1G. 又CD ? BD,? CD与B1G的夹角? 等于 所求二面角的平面角.
X
B

Z

A1
D

C

C1
B1

M Y

CD ? B1G 3 ? cos ? ? ?? . 3 | CD | ? | B1G | 3 所求二面角的大小等于? -arc cos . 3

例2
已知 ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AD=2. ⑴求 PC 与平面 PBD 所成的角; ⑵求点 D 到平面 PAC 的距离; ⑶在线段 PB 上是否存在一点 E, 使 PC⊥平面 ADE?若存在, 确定 E 点的位置,若不存在,说明理由.

解:如图建立空间直角坐标系 D—xyz,∵PD=AD=2,
则 D(0,0,0),A(2,0,0),O(1,1,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2) ⑴∵正方形 ABCD,∴OC⊥DB. ∵PD⊥平面 ABCD,OC ? 平面 ABCD, ∴PD⊥OC.又∵DB∩PD=D,∴OC⊥平面 PBD. ∴∠CPO 为 PC 与平面 PBD 所成的角. ∵ PC ? (0,2, ?2), PO ? (1,1, ?2),
∴ cos ? PC , PO ?? PC ? PO ? 3 . ∴PC 与平面 PBD 所成的角为 30°.
⑵过 D 做 DF⊥平面 PAC 于点 F, 设平面 PAC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ? n ? PA ? 0 ? x ? z ? 0 ∴? 令 x=1,则 y=1,z=1.∴ n ? (1,1,1). 即? ? ? ? n ? PC ? 0 ? y ? z ? 0
| PC || PO | 2

∴ cos ? n, DA ?? n ? DA ?
| n | ? | DA |

∴D 到平面 PAC 的距离 | DF |?| DA | cos ? n, DA ?? 2 3 .
3

3 ? . 3 3?2

2

(Ⅲ)假设在 PB 上存在 E 点,使 PC⊥平面 ADE, 则 PE ? ? PB. PB ? (2, 2, ?2),

? PE ? (2? , 2? , ?2? ). ? E (2? , 2? , 2 ? 2? ).

? AE ? (2? ? 2, 2? , 2 ? 2? .) 要证 PC⊥平面 ADE,即证 PC⊥AE. 1 即证 PC ? AE ? 8? ? 4 ? 0 .即证 ? ? . 2 ∴E(1,1,1), ∴存在 E 点且 E 为 PB 的中点时 PC⊥平面 ADE.

注:这类探索问题用向量法来分析容易发现结论.

练习 3.已知正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,E 为棱 CC1 上 的动点, (Ⅰ)求证: A1 E ⊥ BD ; (Ⅱ)当 E 恰为棱 CC1 的中点时, 求证:平面 A1 BD ⊥平面 EBD .

练习3
解 : 以 DA, DC , DD1 所在直线为 x , y , z 轴 , 建立空间直角坐标 系 ,( Ⅰ ) A? a,0,0? , B ? a, a,0? , C ? 0, a,0? , A1 ? a,0, a ? , C1 ? 0, a, a ? 设

E ?0, a, e?,则 A1 E ? ? ?a, a, e ? a ? ,

BD ? ? ?a, ?a,0 ? , A1 E ? BD ? ?a ? a ? a ? a ? ? e ? a ? ? 0 ? 0 ,
? A1E ? BD ,即 A1 E ? BD.
a? ? a a ? (Ⅱ)由题设, E ? 0, a , ? ,设 BD 的中点为 O, 则O ? , ,0? , ? 2? ? ?2 2 ? ? a a a? OE ? ? ? , , ? , BD ? ? ?a, ?a,0 ? , 则OE ? BD ? 0,? OE ? BD . ? 2 2 2? ?a a ? OA1 ? ? , ? , a ? , 则OA1 ? BD ? 0,? OA1 ? BD ,??A1OE 为二 ?2 2 ? 面角 A1 ? BD ? E 的平面角.
∵ OA1 ? OE ? 0 ,则 ?A1OE ? 90?, ? 平面A1 BD ? 平面EBD .

练习 3 : 如图直三棱柱ABC ? A1 B1C1中,底面是以 练习4 ?ABC为直角的等腰直角三角形,AC ? 2, BB1 ? 2, D为A1C1的中点, E为B1C的中点. 否存在点F , 使CF ? B1 DF , 若存在,求出AF的长, 若不存在,请说明理由;(3)若F 为AA1的中点, 求C Z 到面B1 FD距离.

(1)求直线BE与DC 所成的角; (2)在线段AA1上是

B1

A1
F A X

D B

C1
E
Y

C

建立空间直角坐标系, AC ? 2, AB ? BC ? 2 2 ? B (0, 0, 0), B1 (0, 0, 2), C (0, 2, 0), E (0, ,1) 2 Z 2 2 A1 ( 2, 0, 2), C1 (0, 2, 2), D( , , 2) B1 2 2 2 2 2 C1 ? BE ? (0, ,1), DC ? ( ? , , 2) D A1 2 2 2 E 1 ?2 F 30 B 2 ? COS ? BE , DC ?? ?? 10 3 ? 5 C 2 A X 30 ? BE与DC所成的角为 arccos . 10

练习 4 以B为原点, BA, BC , BB1分别为x轴, y轴, z轴, 解 : (1)

(2)假设存在使CF ? 面B1 DF , 令 | AF |? z , B1 F ? ( 2, 0, z ? 2)
2

Z D

B1
C1
E

? F ( 2, 0, z ),? CF ? ( 2, ? 2, z ),

A1
F A

由CF ? B1 F ? 0 ? z ? 2 z ? 2 ? 0 ? ? 0,? 方程无实根

B
C Y

? 不存在.

2 2 (3). F 为中点,? F ( 2, 0,1), CF ? ( 2, ? 2,1), B1 D ? ( , , 0) 2 2 ? 2 2 n ? B D ? x ? y?0 ? 1 设面B1 FD的法向量为n ? ( x, y , z ), 则:? 2 2 ?n ? B F ? 2 x ? z ? 0 ? 1 则 : n ? ( x, ? x, 2 x), 令x ? 1, 则n ? (1, ?1, 2)

X

3 10 3 2 ? 5? . 10 2 3 2 ? C到面B1 FD的距离为 . 2

? d ?| CF | COS ? n, CF ??

小结:
利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题,是 近年来很“热”的话题,其原因是它把有关的“证明” 转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几 何中的证明“线面平行、垂直”的一些例子,结合我们 以前讲述立体几何的其他问题(如:求角、求距离等), 大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系 及写出有关点的坐标。 用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展 趋势,而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主 要工具,故学会用向量法解立体几何问题是学好立体 几何的基础。

作业
如图,四面体 ABCD 中,O、 E 分别是 BD、BC 的中点,
CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2.

⑴求证: AO ? 平面 BCD; ⑵求异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小; ⑶求点 E 到平面 ACD 的距离.


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