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安徽省2013届高三数学一轮复习 导数及其应用单元训练


安徽财经大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练: 导数及其应用
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设函数 f ( x ) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对于任意的 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则不等式

f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为(
A. (?1,1) 【答案】B 2.

) C. (??, ?1) D. (??, ??)

B. ? ?1, ?? ?

?

a

0

( 1 ? ( x ? 1)2 ? x 2 )dx 的值是(

) C.

A.

?
4

?

1 3

B.

?
4

?

1 3

?
2

?

1 3

D.

? ?1 2

【答案】A 3.

? ? (1 ? cos x)dx =(
2 ? 2

?

) C. ? ? 2 D. ? ? 2

A.

?

B. 2

【答案】D 4.由曲线 y ? x, y ? x 围成的封闭图形面积为(
3

)

A.

1 12

B.

1 4

C.

1 3
)

D.

7 12

【答案】A 5.函数 y ? cos 2 x 在点 ( A. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 C. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 【答案】D 6. .曲线 y ?

?
4

, 0) 处的切线方程是(

B. 4 x ? 4 y ? ? ? 0 D. 4 x ? 2 y ? ? ? 0

2 与直线 y ? x ? 1 及 x ? 4 所围成的封闭图形的面积为( ) x A. 4 ? 2 ln 2 B. 2 ? ln 2 C. 4 ? ln 2 D. 2 ln 2

【答案】A
2 7.一物体运动方程为 s ? 1 ? t ? t (其中 s 单位是米, t 单位是秒) ,那么物体在 3 秒末的瞬

时速度是 A. 7 米/秒

B. 6 米/秒

C. 5 米/秒

D. 8 米/秒
-1-

【答案】C 8.若 ? (2 x ? 3x 2 )dx ? 0 ,则 k=(
0 k

) C. 0 或 1 D.以上都不对

A. 1 【答案】C

B. 0

9.若函数 f ( x) ? x3 ? 2x2 ?1 ,则 f ?(?1) ? ( A.

) D. 7

1

B. ?1

C. ?7

【答案】B 10.若 f ( x) ? sin ? ? cos x ,则 f ' (? ) 等于( A. sin ? 【答案】A 11.函数 f ( x) ? A. x ? 1 【答案】C 12.函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? 1 在闭区间 [– 3,0] 上的最大值、最小值分别是( ) A.1,? 1 B.1,? 17 C.3,? 17 D.9,? 197 【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知 f ( x) 为偶函数,且 【答案】 8 14.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax(a ? R) ,若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 B. cos ? ) C. sin ? ? cos ? ) D. y ? ?1 D. 2 sin ?

1 ? ln x 在(1,1)处的切线方程是( x
B. y ? x ? 1 C. y ? 1

?

10

0

f ( x)dx ? 4 ,则 ?

10

?10

f ( x)dx ? _____________.

y ? f (x) 的切线,则 a 的取值范围为
【答案】 a ?

.

1 3


15.已知 f1 ( x) ? cos x ,且 f n ?1 ( x) ? f n? ( x ) (n ? N *) ,则 f 2012 ( x) ? 【答案】 sin x 16.曲线 y ?

1 ? 2 x 在 x ? 1 处切线的斜率是 x

.

【答案】1 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

3 (a ? 2) x 2 ? 6 x ? 3 . 2 (1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的极小值;
17.已知函数 f ( x ) ? ax ?
3

(2)试讨论函数 y ? f ( x ) 零点的个数.
-2-

【答案】 f ?( x) ? 3ax 2 ? 3(a ? 2) x ? 6 ? 3(ax ? 2)( x ? 1) ,(1)当 a ? 2 时, 0 ?

2 ?1 a

∴f

极小值

? f (1) ? ?

a 2

(2) 当 a=0 时,显然 f(x)只有一个零点; f ?( x ) ? 3a( x ? 2 )( x ? 1) a 当 a<0 时,f(x)在 ( ?? , ) , (1, ?? ) 递减;在 ( ,1) 递增, f (1) ? 0, f ( 2 ) ? 0
a

2 a

2 a

则 f(x)有三个零点

2 2 2 当 0<a<2 时,f(x)在 ( ?? ,1) , ( , ?? ) 递增;在 (1, ) 递减, f (1) ? 0, f ( ) ? 0 a a a
则 f(x)只有一个零点. 当 a=2 时,f(x)在 R 上是增函数, f (0) ? ?3 ? 0 ,∴f(x)只有一个零点 当 a>2 时,f(x)在 ( ?? , ) , (1, ?? ) 递减;在 ( ,1) 递增, f (1) ? 0, f ( 2 ) ? 0
a

2 a

2 a

则 f(x)只有一个零点 综上所述:当 a ? 0 时, f ( x ) 只有一个零点;当 a ? 0 时, f ( x ) 有三个零点 18.如图,实线部分的月牙形公园是由圆 P 上的一段优弧和圆 Q 上的一段劣弧围成,圆 P 和 圆 Q 的半径都是 2km,点 P 在圆 Q 上,现要在公园内建一块顶点都在圆 P 上的多边形活动 场地.

(1)如图甲,要建的活动场地为△RST,求场地的最大面积; (2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形 ABCD,求场地的最大面积.

-3-

【答案】 (1)如下图,过 S 作 SH⊥RT 于 H,

S△RST=

1 SH ? RT . 2

由题意,△RST 在月牙形公园里, RT 与圆 Q 只能相切或相离; RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形, 则有 RT≤4,SH≤2, 当且仅当 RT 切圆 Q 于 P 时(如下左图) ,上面两个不等式中等号同时成立.

1 2 此时,场地面积的最大值为 S△RST= ? 4 ? 2 =4(km ) . 2 (2)同(1)的分析,要使得场地面积最大,AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形, AD 必须切圆 Q 于 P,再设∠BPA= ? ,则有

S四边形ABCD ? 1 ? 2 ? 2 ? sin ? ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? sin(π ? 2? ) ? 4(sin ? ? sin ? cos? ) 0 ? ? ? π . 2 2 2
令 y ? sin? ? sin? cos ? ,则
y ? ? cos ? ? cos ? cos ? ? sin? (? sin? ) ? 2 cos 2 ? ? cos? ? 1 .

?

?

若 y ? ? 0 , cos? ? 1 ,? ? π , 2 3 又 ? ? 0,π 时, y ? ? 0 , ? ? π ,π 时, y ? ? 0 , 3 3 2 函数 y ? sin? ? sin? cos ? 在 ? ? π 处取到极大值也是最大值, 3
2 故 ? ? π 时,场地面积取得最大值为 3 3 (km ) . 3

? ?

?

?

19.外贸运动鞋的加工生产中,以美元为结算货币,依据数据统计分析,若加工产品订 单的金额为 x 万美元,可获得加工费近似地为

1 ln(2 x ? 1) 万美元,由于生产加工签约 2

和成品交付要经历一段时间,收益将因美元贬值而损失 mx 万美元,其中 m ? (0,1) 为
-4-

该时段美元的贬值指数,从而实际所得的加工费为 f ( x) ? (Ⅰ)若美元贬值指数 m ?

1 ln(2 x ? 1) ? mx 万美元. 2

1 ,为确保实际所得加工费随 x 的增加而增加,加工产品 200 1 x 万美元,已知 20

订单的金额 x 应在什么范围内? (Ⅱ)若加工产品订单的金额为 x 万美元时共需要的生产成本为 p ?

加工生产能力为 x ?[10, 20] (其中 x 为产品订单的金额) ,试问美元的贬值指数 m 为何 范围时,加工生产将不会出现亏损(即当 x ?[10, 20] 时,都有 f ( x) ? p 成立). 【答案】 (Ⅰ)由已知 m ?

1 , 200

f ( x) ?
'

1 1 ln(2 x ? 1) ? x ,其中 x ? 0 . 2 200

所以 f ( x) ?

1 1 199 ? 2 x ? ? . 2 x ? 1 200 200(2 x ? 1)

由 f ' ( x) ? 0 ,即 199 ? 2 x ? 0 , 解得 0 ? x ? 99.5 . 即加工产品订单的金额 x ? (0,99.5)(单位:万美元)时,实际所得加工费随 x 的增加而增加. (Ⅱ)依题意,企业加工生产不出现亏损,则当 x ?[10, 20] 时,都有

1 1 ln(2 x ? 1) ? mx ? x. 2 20 1 ln(2 x ? 1) ?m? 可得 . 20 2x ln(2 x ? 1) 令 g ( x) ? , x ?[10, 20] . 2x f ( x) ?

2 x ? ln(2 x ? 1) 2 x ? (2 x ? 1) ln(2 x ? 1) ' 2x ?1 ? 则 g ( x) ? . 2 2 x 2 (2 x ? 1) 2x
令 h( x) ? 2 x ? (2 x ? 1) ln(2 x ? 1) . 则 h ( x) ? 2 ? [2 ln(2 x ? 1) ? (2 x ? 1) ?
'

2 ] ? ?2ln(2 x ? 1) ? 0 . 2x ?1

可知 h( x) 在区间 [10, 20] 上单调递减, h( x) 最小值为 h(20) ? 40 ? 41ln 41 ? 0 ,最大值为

h(10) ? 20 ? 21ln 21 ? 0 ,所以当 x ?[10, 20] 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 在区间 [10, 20] 上单调递
减,

-5-

ln 41 ln 41 1 ? ,即 m ? . 40 40 20 ln 41 ? 2 ) 时,加工生产不会亏损. 故当美元的贬值指数 m ? (0, 40
因此 g ( x) min ? 20.已知 a 为实数,函数 f ( x) ? ( x2 ? 1)( x ? a) . (1) 若 f ?(?1) ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 在[-1,1]上的最大值和最小值; (2)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) a ? 2, f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ,

1 3 ' 2 (2) f ( x) ? 3x ? 2ax ? 1, ? ? 0 ? a ? ? 3, a ? 3

通过列表讨论得 f ( x) max ? f (1) ? 6, f ( x) min ? f (? ) ?

50 27

21. 某地有三家工厂, 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、 及 CD 的中点 P 处, B 已知 AB=20km, BC=10km, 为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界) ,且 A、B 与等距离的一 点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO、BO、OP,设排污管道的总长为 ykm。

(1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ (rad),将 y 表示成θ 的函数关系式; ②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最 短 【答案】 (Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则 OA ?

AQ 10 ? , 故 cos ? cos ?

10 ,又 OP= 10 ? 10 tan ? , cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? , 所以 y ? OA ? OB ? OP ? cos ? cos ? OB ?
所求函数关系式为 y ?

20 ? 10sin ? ?? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? cos ? 4? ?

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB=
2

?10 ? x ?

2

? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200

所求函数关系式为 y ? x ? 2 x ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ? (Ⅱ)选择函数模型①, y ?
'

?10cos ? ? ? ? ? 20 ? 10sin? ?? ? sin ? ? 10 ? 2sin ? ? 1? cos ? cos 2 ? cos 2 ?

令 y ' ? 0 得 sin ? ?

? 1 ? ,因为 0 ? ? ? ,所以 ? = , 6 2 4

-6-

当 ? ? ? 0, 所以当 ? =

? ?

??

?? ? ? ' ' ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的减函数;当 ? ? ? , ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的增函数, 6? 6 4? ?

? 时, ymin ? 10 ? 10 3 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,在矩形区域内且距 6

离 AB 边

10 3 km 处。 3

22. .计算下列定积分 (1) ? 2 (3 x 2
0

?

? sin x)dx
?3
8 ?1
(2)

(2) ?

3

?3

9 ? x 2 dx

【答案】(1)

9? 2

-7-


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