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面对高考初、高中数学衔接教学建议


初、高中数学衔接教学建议
尤溪七中高中数学教研组 尤溪七中高中数学教研组 教研
是高中学生普遍反映的问题,一些在初中数学成绩较好的学生, “数学难学”是高中学生普遍反映的问题 一些在初中数学成绩较好的学生, 数学难学 是高中学生普遍反映的问题 一些在初中数学成绩较好的学生 甚至在中考中数学取得优秀成绩的学生, 经过高一第一次月考就有很多的同学不 甚至在中考中数

学取得优秀成绩的学生, 经过高一第一次月考就有很多的同学不 及格, 为什么呢?这是高中数学教师十分头痛的问题。 及格, 为什么呢? 高中数学教师十分头痛的问题。 数学教师十分头痛的问题 我校高中数学组全体老师 我校高中数学组全体老师 针对这个问题进行研讨提出以下几个看法: 针对这个问题进行研讨提出以下几个看法 以下几个看法 一、必须做好初高中数学教学衔接的工作 必须做好初高中数学教学衔接的工作 初高中数学教学衔接的

年开始进入新课程实验, 我省普通高中从 2006 年开始进入新课程实验,高中数学使用人教新教 材,进行国家数学新课程标准的实验教学。新教材融进了近代、现代数学内 进行国家数学新课程标准的实验教学。新教材融进了近代、 容,精简整合了传统高中数学内容。与旧教材相比,教学内容增多,与初中 精简整合了传统高中数学内容。与旧教材相比,教学内容增多, 阶段的课程相比,其教学容量和教学难度大为提高。我们认为高中数学是对 阶段的课程相比,其教学容量和教学难度大为提高。我们认为高中数学是对 初中的数学知识推广和引申,也是对初中数学知识的完善和升华。 初中的数学知识推广和引申,也是对初中数学知识的完善和升华。在学习方 法上、自学能力上、思维习惯上,都对高中学生有了较高的要求。 法上、自学能力上、思维习惯上,都对高中学生有了较高的要求。且数学内 容变得抽象,台阶太高,缺少一个缓冲过渡,所以高一学生一时难以适应。 变得抽象,台阶太高,缺少一个缓冲过渡,所以高一学生一时难以适应。 高一学生一时难以适应 九年义务教育阶段的要求是普及教育, 《初中课程标准 九年义务教育阶段的要求是普及教育, 初中课程标准 》在某些知识点的要 《 求只是一般的要求,目前各校都忙于应付中考, 求只是一般的要求,目前各校都忙于应付中考,极少有学校在初中阶段补充 或渗透非中考内容与方法,而一些基础知识对高中学习又极为重要。 或渗透非中考内容与方法,而一些基础知识对高中学习又极为重要。且在高
必须做好初 中阶段课时紧,每一学段进行一次结业考试, 中阶段课时紧,每一学段进行一次结业考试,我们认为必须做好必须做好初 课时紧 次结业考试 高中数学教学衔接的工作。 高中数学教学衔接的工作。 工作 二、对现行初中数学教学内容的分析 《九年义务教育数学课程标准》在初中阶段安排了“数与式”、“空间与图 九年义务教育数学课程标准》在初中阶段安排了“数与式 形”、“概率与统计”、“实践与综合应用”四个学习领域。 概率与统计” 实践与综合应用”四个学习领域。 1.数与式 数与式 ⑴运算能力:难度大大降低,对有理数“+、—、×、÷”混合运算不超过 运算能力:难度大大降低,对有理数“+、— ÷”混合运算不超过 三步,可以借助计算器 二次根式运算不要求分母有理化, 三步,可以借助计算器,二次根式运算不要求分母有理化,因式分解仅限提公因
1

式和公式法(而且用公式不超过二次),而十字相乘法、分组分解法不作要求, 式和公式法(而且用公式不超过二次),而十字相乘法、分组分解法不作要求, ), 而且每项指数是正整数。 而且每项指数是正整数。 三元一次方程组不作要求 已知三点求抛物线解析式也属超纲内 (已知三点求抛物线解析式也属超纲内 ⑵方程组: 方程组: 容),二元二次方程组不作要求,分式方程限可化为一元一次方程(且分式不超 ),二元二次方程组不作要求,分式方程限可化为一元一次方程( 二元二次方程组不作要求 过两个),解一元二次方程不涉及十字相乘法,根的判别式Δ 过两个),解一元二次方程不涉及十字相乘法,根的判别式Δ,韦达定理不作要 ),解一元二次方程不涉及十字相乘法 求。 ⑶不等式:限一元一式不等式(组)。 不等式:限一元一式不等式( ⑷函数、解直角三角形、一次函数、反比例函数、二次函数(统称为初中四 函数、 直角三角形 一次函数、反比例函数、二次函数( 大函数):抽象题要求较 大函数):抽象题要求较低,函数与几何结合题要求也较低。 ):抽象题要求 函数与几何结合题要求也较低 也较 2.空间与图形 ⑴强调借助于材料动手操作,题目大多来源于实际,灵活性大,比以前难度 强调借助于材料动手操作,题目大多来源于实际,灵活性大, 增加。但几何抽象证明题要求不高, 化证明。 增加。但几何抽象证明题要求不高,淡化证明。 要求不高 ⑵尺规作图只限最简单,考试中较少涉及。 尺规作图只限最简单,考试中较少涉及。 ⑶圆只限于点、线与圆关系,难度下降。 圆只限于点、线与圆关系,难度下降。 3.统计与概率 ⑴淡化“术语”的记忆,不考概念; 术语”的记忆,不考概念; ⑵强调从统计观念解决实际题目; 强调从统计观念解决实际题目; ⑶内容比以前增加(如方差、极差等),但难度下降较大。 内容比以前增加(如方差、极差等),但难度下降较大。 ),但难度下降较大 从上述教材内容的要求,不难看出高中与初中教材单一、直观相比, 从上述教材内容的要求,不难看出高中与初中教材单一、直观相比,有较大的差 别,自然形成了一个“台阶”。 自然形成了一个“台阶” 三、高中阶段出现的主要问题 1.关于计算能力 .

2

(1)运算能力差。由于初中生比较普遍地使用计算器计算,中考中也可以 运算能力差。由于初中生比较普遍地使用计算器计算, 使用,导致学生进入高中后在数字运算上依然依赖计算器,笔算或心算能力差。 使用,导致学生进入高中后在数字运算上依然依赖计算器,笔算或心算能力差。 而高中(包括高考)又不允许使用计算器; 而高中(包括高考)又不允许使用计算器; (2)符号(字母)运算错误率高。 符号(字母)运算错误率高。 错误率高 2.关于二次方程 .关于二次方程 (1)因式分解方法掌握不全。进入高中后的第一章内容就有“解一元二次 因式分解方法掌握不全。进入高中后的第一章内容就有“ 方法掌握不全 不等式” 而求一元二次方程的根是其前提,学生不习惯用因式分解求根, 不等式”,而求一元二次方程的根是其前提,学生不习惯用因式分解求根,大多 用求根公式求(套公式),这样就增加了教学的难度,影响了教学进度; 用求根公式求(套公式),这样就增加了教学的难度,影响了教学进度; ),这样就增加了教学的难度 (2)根与系数的关系(韦达定理)没有掌握。高中数学中经常用到不求一 根与系数的关系(韦达定理)没有掌握。 元二次方程的根(尤其当方程很复杂或出现字母系数方程时),只需借助两根的 元二次方程的根(尤其当方程很复杂或出现字母系数方程时),只需借助两根的 ), 关系进行整体代换解题的问题, 关系进行整体代换解题的问题,如“求两根的平方和” 解几中求线段长的“设 求两根的平方和”(解几中求线段长的“ 而不求” 而不求”)等,但学生不懂的应用相关知识解题,影响了解题速度。 但学生不懂的应用相关知识解题,影响了解题速度。 3.关于二次函数 . (1)只知道二次函数的一般式,顶点式学生掌握不牢,应用不熟练。这样 只知道二次函数的一般式,顶点式学生掌握不牢,应用不熟练。 次函数的一般式 学生掌握不牢 导致在区间上处理二次函数问题时(这样的问题在高一年级教学中经常出现), 导致在区间上处理二次函数问题时(这样的问题在高一年级教学中经常出现), 不习惯于借助对称轴的位置进行研究,分类讨论能力差; 不习惯于借助对称轴的位置进行研究,分类讨论能力差; (2)不会配方。造成应用配方求一元二次方程的根、找一元二次函数的顶 不会配方。造成应用配方求一元二次方程的根、 配方求一元二次方程的根 点、求二次函数的最值等问题就无法解决; 求二次函数的最值等问题就无法解决; 问题就无法解决 (3)画图方法停留在“列表、描点、连线”作图(有学生作直线时也用此 画图方法停留在“列表、描点、连线” 法)阶段,不会借助关键点作函数的示意图,这样学生就很难应用数形结合进行 阶段,不会借助关键点作函数的示意图, 解题。 解题。 4.关于推理论证能力 . (1)书写格式不规范; 书写格式不规范; 不规范
3

(2)逻辑推理论证不严密、不清晰。 逻辑推理论证不严密、不清晰。 不严密 四、衔接教学建议 (一)需要补充或强化的内容 内 容 具体要求 补充

1.( .(a+b+c) 2 的展开式 .( )

2.因式分解中的十字相乘法、分组分 强化 .因式分解中的十字相乘法、 解法 3.立方和、差公式的推导及应用 .立方和、 代 4.二次三项式的分解与配方与解方程 补充 . 数 部 6.一元二次方程的根与系数的关系 . 分 补充 7.数形结合对一次函数、二次函数图 强化 .数形结合对一次函数、 象的分析 8. . 一元二次方程的根的分布(区间根) 补充 ( 一元二次方程的根的分布 区间根 9.区间上的二次函数 . 补充 的关系 5.一元二次方程的判别式及应用 . 补充 补充

10. . 解简单的二元二次方程组(其中一 补充 ( 解简单的二元二次方程组 个为一次或可分解为一次) 个为一次或可分解为一次)

4

几 何 部

1.平行线分线段成比例定理 . 2.弦切角定理 . 3.相交弦定理 . 4.切割线定理、割线定理 .切割线定理、 5.直角三角形中的射影定理 .

补充 补充 补充 补充 强化

6.三角形的“心”的定义及几何性质 强化 .三角形的“ 7.正多边形的边长、半径、边心距和 补充 .正多边形的边长、半径、 中心角的关系 8.梯形的中位线性质 . 9.等比定理、合比定理 .等比定理、 强化 补充

(二)、平时的教学有意识地渗透思想方法和能力 平时的教学有意识地渗透思想方法和能力
1、有意识地渗透数学思想和方法 2、加强学法指导,培养良好学习习惯 、加强学法指导, 3、培养学生的准确计算能力 、 4、培养学生独立学习的能力 、

附:补充内容
A、代数部分 、 1. a + b + c) 2 的展开式, ( 的展开式, 要求补充在七年级下册第一章整式的运算第 8 节 完全平方公式》 《完全平方公式》 。 (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ( 例: x ? 3 y ? 4 z ) 2 = x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 ? 6 xy + 12 yz ? 8 xz 练习
1 (1) x 2 ? 2 x + ) 2 ( 3

(2) 2a + 1 ? b) 2 ? (a ? b)(a + 2b) ( (4) a ? 2b + 3c) 2 (

(3) x 2 ? xy + y 2 ) 2 ( (5) 3 x + y ? 2 z ) 2 ? ( x ? 2 y ? z ) 2 (

实数》之后。 2、分母有理化要求补充在 8 年级上册第二章实数的第 6 节《实数》之后。
5

例:

3 2+ 3

=

(2 ? 3 ) 3 (2 + 3 )(2 ? 3 )

= 6?3 3

练习: 练习: (1) 1? 3 1+ 3 1 1 2 + ? 2 3+ 2 3 ?1 (2) a a ? ab (4) + a a + ab

(3)

4 ab a b ?b a

3、 、 立方和 差) ( 公式 a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 m ab + b 2 ) 要求补充在 8 年级下册第一章分解因式, 年级下册第一章分解因式, 第三节运用公式法之后。 第三节运用公式法之后。 例: (4 + m)(16 - 4m + m 2 ) = 64 + m 3

1 的值 x3 1 1 1 1 1 解 x 3 + 3 = ( x + )( x 2 ? 1 ? 2 ) = ( x + )[( x + ) 2 ? 3] x x x x x 1 又 x 2 ? 3x + 1 = 0 且 x ≠ 0 ∴ ( x + ) = 3 x 1 ∴ x 3 + 3 = 3(3 2 ? 3) = 18 x

(2)已知 x 2 ? 3 x + 1 = 0 求 x 3 + 已知

练习: 练习:① (a + 2)(a - 2)(a 4 + 4a + 16) ③设 x =
1 3?2 y= 1 3+2

1 ② (a ? 4b)( a 2 ? 4b 2 + ab) 4

求代数式

x 2 + xy + y 2 的值 x+ y

④设 x = 7 + 4 3 y = 7 ? 4 3 求代数式 x 3 + y 3 的值 4.因式分解中的十字相乘法、分组分解法,要求补充在八年级下册第二章分解因式第三节 因式分解中的十字相乘法、分组分解法, 因式分解中的十字相乘法 《运用公式法》之后 运用公式法》 例(1)把 2ax-10ay+5by-bx 分解因式 把 解:=(2ax-10ay)+(5by-bx) =2a(x-5y)-b(x-5y) =(x-5y)(2a-b) (2)把 x 2 + 13 x + 36 分解因式 把 解:=(x+4)(x+9) 练习: 练习:① 8 x 3 + 4 x 2 ? 2 x ? 1 ③
x 2 + 37 x + 36

(3)把 6 x 2 ? 7 x ? 3 分解因式 把 分解因式 解:=(2x-3)(3x+1) ② 4 xy + 1 ? 4 x 2 ? y 2 ( ④ 6 x 2 ? 7 x) 2 ? 25 ⑥ 8 x 2 + 26 xy ? 15 y 2
6

⑤ ab(c 2 ? d 2 ) + cd (a 2 ? b 2 )

5 . 一元二次方程的判别式及应用及根与系数关系 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) ? = b 2 ? 4ac
x1 + x 2 = ? b c x1 x 2 = 要求补充在 9 年级上册第二册一元二次方程第 5 节 为什么是 0.168》 《 》 a a

之后 根据下列条件, 例(1)已知关于 X 的一元二次方程 3 x 2 ? 2 x + k = 0 根据下列条件,分别求出 k 的范围 ) ①方程有两个不相等的实数根②方程有两个相等的实数根③方程没有实数根 方程有两个不相等的实数根②方程有两个相等的实数根③ 解: ? = 4 ? 12k 1 1 1 ① ? = 4 ? 12k > 0 k < ②? = 0 ∴k = ③? < 0 ∴k > 3 3 3 (2)若 x1 , x 2 是方程 x 2 ? 2 x + ?2006 = 0 的两个根试求下列个式的值 若
2 ① x12 + x 2



1 1 + x1 x 2

解依题意及 x1 + x 2 = ?2 x 1 x 2 = ? 2006
2 Q ① x12 + x 2 = ( x1 + x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 = 4016



x + x2 1 1 1 + = 1 = x1 x 2 x1 x 2 1003

练习: 的根的情况_______ 练习:①判断方程 4 x 2 ? 9+ = 12 x 的根的情况 的取值范围是______ ②一元二次方程 (1 ? k ) x 2 ? 2 x ? 120 有两个不相等的实数根则 k 的取值范围是 的值是_____ ③若方程 2 x 2 ? (k + 1)) x + k + 3 = 0 的两根之差为 1 则 k 的值是 ④已知关于 X 的方程的一元二次方程 x 2 ? (4m + 1) x + 2m ? 1 = 0 (a)求证:不论 m 为何值,方程总有两个不相等的实数根 求证: 为何值, 求证 (b)若方程两根为 x1 , x 2 且满足 若方程两根为
1 1 1 + = ? 求 m 的值 x1 x 2 2

6. . 二次函数区间的最值问题及配方问题要求补充在 9 年级下册第二章二次函数第 8 节 二 《 次函数与一元二次方程》 次函数与一元二次方程》 例①当 1 ≤ x ≤ 2 时求函数 y = ? x 2 ? x + 1 的最大值与最小值
1 4 ∴ 当 x = 1 时 y大 = ?1 解: y = ?( x + ) 2 + 当 x = 2 时 y 小 = ?5 2 5 1 5 ② 求 函 数 y = x 2 ? x ? 在 区 间 [t , t+1] 上 的 最 小 值 ( 其 中 t 为 常 数 ) 解 : 配 方 得 2 2 1 y = ( x + 1) 2 ? 3 2
7

∴ 当 t > 2 时 y小 =

1 2 1 t ? t ? 此时 x=t 2 2

当 0 ≤ t ≤ 1 时 y小 = ?3 此时 x=1 当 t < 0 时 y小 = 1 2 t ? 3 此时 x=t+1 2

1 ?1 2 ?2 t ? t ? 2 ? ?3 ∴ y小 = ? ? 1t2 ?3 ? 2 ?

t >1 0 ≤ t ≤1 t <0

练习: 练习:①求函数 y = 5 x ? 3 x 2 ? 2 的最大值与最小值 在闭区间内[-2,2]上的最大值和最小值并求对应的 x 值 ②求二次函数 y = 2 x 2 ? 3 x + 5 在闭区间内 上的最大值和最小值并求对应的 ③已知函数 y = x 2 + 2ax + 1 在[-1,2]上的最大值为 4 求 a 的值 上的最大值为 的最小值是-4 的值。 ④设 a>0 ,-1≤x≤1 时函数 y = ? x 2 ? ax + b + 1 的最小值是 最大值是 0 求 a,b 的值。 - ≤ ≤ 7.解简单的二元二次方程组(其中一个为一次的)要求补充在九年级上册第二章一元二 .解简单的二元二次方程组(其中一个为一次的) 次方程之后

① ? 2x ? y = 0 例解方程组 ? 2 2 ?x ? y + 3 = 0 ②
解由① 解由①得 y=2x ③ 把③代入②得 x 2 = 1 ∴ x1 = 1,x 2 = ?1 代入②
∴ y1 = 2 y 2 = ?2

? x1 = 1 ? x 2 = ?1 ∴ 方程组的解为 ? ? ? y1 = 2 ? y 2 = ?2
练习: 练习:解方程组

?x 2 + 2 y 2 = 8 ①? ? x+ y =2

? x ? 2y = 0 ②? 2 ?3 x ? 2 xy = 10

?x 2 + y 2 = 6 ③? ? y = x +1

8.分式方程和无理方程的解法要求补充在 . 1 4x 2 + 2 + =1 例(1)解方程 解方程 x+2 x ?4 2? x 解:去分母得 x 2 ? 3 x + 2 = 0
∴ x1 = 1,x 2 = 2

经检验 x=2 是原方程的增根

∴ 原方程的根 x=1

(2)解方程 x + 7 ? x = 1 解方程
8

解: x + 7 = x + 1
∴ x1 = ?3,x 2 = 2

平方得 x + 7 = ( x + 1) 2

展开得

x2 + x ? 6 = 0

经检验 x=-3 是原方程的增根 15 4x 练习: + =1 练习:(1) 2 x ?4 2? x (3)
2x ? 4 ? x + 5 = 1

∴ 原方程的根 x=2 4 (2) x 2 + 2 = 4 x

(4)

x?5 + x = 7

B、几何部分 、 等比性质、合比性质要求补充在八年级下第四章相似形第一节《线段的比》 一、等比性质、合比性质要求补充在八年级下第四章相似形第一节《线段的比》 a b b a?b E D 练习: . =_______ 练习:1.若 = ,则 =_______ 5 2 a b A AE AD BC 2 CE 2.如图, = = = 。(1) = _______ .如图, AC AB DE 3 AE C B (2)若 BD=10cm,则 AD= ________cm 若 , 的周长为_________ (3)若△ADE 的周长为 16CM,则△ABC 的周长为 若 , 3.若 .
x x y z x+ y+z =________ = = ,则 =_____, , 2 3 4 y x

4.若(a-b):(a+b)=3:7,则 a:b= . , 。 a?b 2 a 3a + 2b 5.已知 = ,求(1) . ,(2) b 3 b ? 3a 2a ? 3b 6.已知: .已知:
a c e 2 = = = ,且 2b-d+5f=18,求 2a-c+5e 的值 的值. , b d f 3

二、评分线分线段成比例定理要求补充在八年级下册第四章相似第一节《线段的比》之后 评分线分线段成比例定理要求补充在八年级下册第四章相似第一节《线段的比》 AB 1 = ,则 A'C '=6CM,则 B'C'=______ 练习: .如图, 练习:1.如图,l1∥l2∥l3, , BC 2 2.如图△ABC 中,DE∥BC, .如图△ ∥ A
AE ( = 则 AC ( ) ) CE ( = , AC ( ) ) BC ( = DE ( ) ( = ) ( ) )

l1 l2

B C'

A' B' C

3.D、E 分别是△ABC 的边 AB,AC 上的点, 分别是△ 上的点, l3 的比例式是( 则不能判定 DE∥BC 的比例式是( ) AB AC BD AD BC AC AB AD = = = = (A) ( B) (C) (D) BD CE CE AE DE AE AC AE 4.如图,已知:E 是?ABCD 的边 AB 延长上一点 ED 交 BC 于 F。求证 如图,已知:

BC AE = BF BE 5.已知,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC、BD 交于点 O,E 是 BC 延长线上的一点,点 F 已知, 延长线上的一点 的一点, DF OA = 在 DE 上,且 ,求证 OF∥BC EF OC
D

E

B

A

9

三、直角三角形中射影定理补充在八年级下册第四章相似形第 6 节。 ∠c=90°,CD⊥AB 于 D 则 CD 2 =AD·BD ° ⊥ · AC 2 =AD·AB ·

在 Rt△ABC 中 △

AC 2 =AD·AB ·

练习: 练习: 1.如图,已知:AD 是△ABC 的高,DE⊥AC 于 E,DF⊥AB 于 F。求证:∠AEF=∠B 的高, ⊥ .如图,已知: , ⊥ 。求证: ∠
A

C
E F

A

D

B

B

D

C

四、与圆有关的切线长定理,弦切角定理,相交弦定理,切割线定理,割线定理,要求补 与圆有关的切线长定理,弦切角定理,相交弦定理,切割线定理,割线定理, 直线与圆的位置关系》 充在九年级下册第三章圆第 5 节《直线与圆的位置关系》 切线定理练习: 切线定理练习: 的两条切线长为______cm,这两 1.已知⊙O 的半径为 4cm,PO=8cm,则过点 P 的⊙O 的两条切线长为 .已知⊙ , , , 条切线的夹角是_______。 条切线的夹角是 。 2.已知⊙O 内切于等腰梯形 ABCD 圆的半径 r=5cm,等腰梯形的中位线长 12cm,这梯 .已知⊙ ,等腰梯形的中位线长 , 形的周长为_____面积为 面积为______。 形的周长为 面积为 。 分别与⊙ 相切, 、 、 3.如图 PA、PB、DE 分别与⊙O 相切,A、B、C 为切点 OP=13cm,⊙O 的半径 r=5cm, . 、 、 , , 的周长为____cm 则△PDE 的周长为 . 的直径, 、 、 都与⊙ 4.如图四边形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的直径,其余三边 BC、CD、DA 都与⊙O 相切 的长。 若 AB=12cm,四边形 ABCD 的面积为 90cm ,求 AC、BD 的长。 , 、
A
E C A B D
2

D P E O

P

A

Q

O

弦切角定理 习: 1.如图 PQ 切⊙O 于 A,PQ∥BC, . , ∥ , 则与∠ 相等的角有_____,△ABC 为_____三角形。 三角形。 则与∠PAB 相等的角有 , 三角形
A

B


A

B

C

B
O

C D

B E F C D

E

2.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 切⊙O 于 C,AE⊥CD,E 是垂足,BC 与 AE 的延长线 .如图, 的直径, , ⊥ , 是垂足, 是等腰三角形。 交于 F,且 AF=BF,求证:△AFB 是等腰三角形。 , ,求证: 3.如图,△ABC 的∠A 平分线交外接圆于 D,交圆的切线 BE 与 E。求证:(1)BD 平分 .如图, , 。求证: ∠CBE,(2)AB·CD=AE·DE , · · 相交弦,切割线, 相交弦,切割线,定理
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1.⊙O 的两弦 AB.CD 相较于 P,PA=6cm,PB=2cm,则 CD=______ . , , , 的弦, CD⊥ PA=6, PD=4, PB=___, 2. . 已知 CD 为⊙O 的弦, O 的直径 AB=10cm, ⊥AB 于 P, ⊙ , , , , 则 , PC=___,CD=___,BC=___。 , , 。 3.直径为 2cm 的圆外有一点 P,点 P 到圆上的的点最短距离为 3cm,则过点 P 的切线长 . , , 为________ P 4.如图,BC 是⊙O 的直径,PA、PB 与⊙O 相切于点 A、B,PC 交 的直径, 、 .如图, 、 , A D , 、 , , , , ⊙O 于点 D,若 PA=6、DC=4,则 PB=____,PC____,CD=_____, BC=_____。 。 B 5.如图,AEB、ADC 是⊙O 的割线,AT 切⊙O 于 T,AD=4、DE=2、 C 的割线, .如图, 、 , 、 、 O AE=3,AT=6,则 DC=_____、BC=________。 , , 、 。 6.如图,⊙O 1 与⊙O 2 相交于 A、B,直线 CD 分别交两圆于 C、F、E、 .如图, 、 , 、 、 、 D 交 AB 与点 P。求证 PC·PF=PD·PE 。 · · 7.如图,PA 与⊙O 相切于点 A,PC 是⊙O 的割线,AD 平分 的割线, .如图, , ,求证: · ∠BAC,求证:PD 2 =PC·PB 8.如图,AB 是⊙O 的直径,FB 是切线,弦 AC、AD 的延长线 的直径, 是切线, .如图, 、 分别交 BF 于点 F、E。求证:AC·AF=AD·AE 、 。求证: · ·
B O D T E A

C

F

C
A

D

E

C
A

A
O B

O B D C P

O1 B

E P F O2

D

五、三角形的“四心”的定义及几何性质 三角形的“四心” 1.重心是三角形三条中线的交点,重心把中线分成 2:1 两段。 .重心是三角形三条中线的交点, : 两段。 2.垂心是三角形三条高的交点。 .垂心是三角形三条高的交点。 3.外心是三角形三边垂直平分线的交点,外心到三个顶点的距离相等 .外心是三角形三边垂直平分线的交点, 4.内心是三角形三条角平分线的交点,内心到三角形三边的距离相等。 .内心是三角形三条角平分线的交点,内心到三角形三边的距离相等。
In the modern time, mainly in small and medium-sized enterprises, Foshan steel industry is the speed development by leaps and bounds, and have made remarkable achievements in upstream, but also face factors of production such as energy, raw material cost, continuously high indirectly lead to cost pressures in iron and steel

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