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湖南省永州市祁阳县2016届九年级数学上学期期末考试试题(含解析) 湘教版


湖南省永州市祁阳县 2016 届九年级数学上学期期末考试试题
一、选择题(本大题共 8 小题,每题只有一个正确选项,每小题 3 分,共 24 分) 1.已知∠A 为锐角且 tanA= ,则∠A=( )

A.30° B.45° C.60° D.不能确定 2.一元二次方程 x =﹣2x 的根是( A.x=2 B.x=﹣2 C.x1=0,x2=2
2

) D.x1=0,x2=﹣2

3.下列各点中,在函数 y= 的图象上的点是( ) A. (1,0.5) B. (2,﹣1) C. (﹣1,﹣2) D. (﹣2,1) 4.为估计某地区黄羊的只数,先捕捉 20 只黄羊给它们分别作上标志,然后放回,待有标志的黄羊 完全混合于黄羊群后,第二次捕捉 60 只黄羊,发现其中 2 只有标志.由这些信息,我们可以估计该 地区有黄羊( ) A.400 只 B.600 只 C.800 只 D.1000 只 5.如图,△ABC 内接于⊙O,CD 是⊙O 的直径,∠A=35°,则∠BCD 的度数是( )

A.55° B.65° C.70° D.75° 6.两个相似三角形的对应边分别是 15cm 和 23cm,它们的周长相差 40cm,则这两个三角形的周长分 别是( ) A.75cm,115cm B.60cm,100cm C.85cm,125cm D.45cm,85cm

7.用配方法将函数 y= x ﹣2x+1 写成 y=a(x﹣h) +k 的形式是( A.y= (x﹣2) ﹣1
2

2

2

) D.y= (x﹣1) ﹣3
2

B.y= (x﹣1) ﹣1

2

C.y= (x﹣2) ﹣3

2

8.根据下列表格的对应值: x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 2 x +5x﹣3 ﹣3.00 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3.00 2 可得方程 x +5x﹣3=0 一个解 x 的范围是( ) A.0<x<25 B.0.25<x<0.50 C.0.50<x<0.75

D.0.75<x<1

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分)

1

9.如图,△ABC 中,D、E 分别为 AB、AC 的中点,则△ADE 与△ABC 的面积比为



10.某家用电器经过两次降价,每台零售价由 1000 元下降到 810 元.若两次降价的百分率相同,则 这个百分率为 . 11.某水果店一次购进苹果 200 箱,已经卖出 6 箱,质量分别是(单位:kg)15.5,16,14.5,13.5, 15,15.5.你估计该商店这次进货 kg. 12.已知抛物线 y=x ﹣4x+c 与 x 轴只有一个交点,则 c=
2 2



13.将二次函数 y=x 的图象向右平移 1 个单位,在向上平移 2 个单位后,所得图象的函数表达式 是 . 14.如图,已知梯形护坡坝 AB 的坡度为 i=1:4,坡高 BC=2m,则斜坡 AB 的长为 m.

15.一个圆锥的母线是 15cm,侧面积是 75π cm ,这个圆锥底面半径是

2

cm.

16.在函数 y= y1,y2,y3 的大小为

(k 为常数)的图象上有三个点(﹣2,y1) , (﹣1,y2) , ( ,y3) ,函数值 .

三、解答题(本题共 9 小题,共 72 分,解答题要求写出证明步骤或解答过程) 2 17.解方程: (x+2) ﹣10(x+2)=0. 18.已知:如图,∠1=∠2,AB?AC=AD?AE. 求证:∠C=∠E.

2

19.某校准备选出甲、乙两人中的一人参加县里的射击比赛,他们在相同条件下各射靶 5 次,成绩 统计如下: 命中环数/环 7 8 9 10 甲命中的频数/次 1 1 0 3 乙命中的频数/次 0 1 3 1 (1)求甲、乙两人射击成绩的方差分别是多少? (2)已知该校选手前三年都取得了县射击比赛的第一名,请问应选择谁去参加比赛? 20.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠A=45°,BD 是直径,且 BD=2,连接 CD,求 BC 的长.

21.已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 AB 分别与 x,y 轴交于点 B、A,与反比例函数的 图象分别交于点 C、D,CE⊥x 轴于点 E,tan∠ABO= ,OB=8,OE=4.求该反比例函数的解析式.

22.如图,某校数学兴趣小组的同学欲测量祁阳县文昌古塔 BD 的高度,他们先在 A 处测得古塔顶端 点 D 的仰角为 45°,再沿着 BA 的方向后退 12 米至 C 处,测得古塔顶端点 D 的仰角为 30°.求该古 塔 BD 的高度(结果保留根号) .

3

23.如图,已知 AB 为⊙O 的直径,PA 与⊙O 相切于点 A,线段 OP 与弦 AC 垂直并相交于点 D,OP 与 ⊙O 相交于点 E,连接 BC. (1)求证:△PAD∽△ABC; (2)若 PA=10,AD=6,求 AB 和 PE 的长.

24.如图所示,在△ABC 中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点 P 从点 A 出发,沿 AB 以 4cm/s 的速度向点 B 运动,同时点 Q 从 C 点出发,沿 CA 以 3cm/s 的速度向点 A 运动,设运动时间为 x 秒. (1)当 x 为何值时,BP=CQ; (2)以 A、P、Q 为顶点的三角形能否与以 C、Q、B 为顶点的三角形相似?若能,求出 x 的值;若不 能,请说明理由.

25.如图,抛物线 y=﹣x +2x+3 与 x 轴交于点 A、B,与 y 轴交于点 C,点 D 是抛物线的顶点,连接 BC、BD. (1)点 D 的坐标是 ; (2)在抛物线的对称轴上求一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小,并求出此时点 M 的坐标. (3)若点 P 在 x 轴上且位于点 B 右侧,且点 P 是线段 AQ 的中点,连接 QD,且∠BDQ=45°,求点 P 坐标(请利用备用图解决问题) .

2

4

5

湖南省永州市祁阳县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 8 小题,每题只有一个正确选项,每小题 3 分,共 24 分) 1.已知∠A 为锐角且 tanA= ,则∠A=( )

A.30° B.45° C.60° D.不能确定 【考点】特殊角的三角函数值. 【分析】根据特殊角的三角函数值求解. 【解答】解:∵∠A 为锐角,tanA= ,

∴∠A=60°. 故选 C. 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值. 2.一元二次方程 x =﹣2x 的根是( ) A.x=2 B.x=﹣2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=﹣2 【考点】解一元二次方程-因式分解法. 【专题】计算题. 【分析】先把方程化为一般式,然后利用因式分解法解方程. 2 【解答】解:x +2x=0, x(x+2)=0, x=0 或 x+2=0, 所以 x1=0,x2=﹣2. 故选 D. 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右边化为 0,再把左边通过因式分 解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为 0,这就能得到两个一元一次 方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数 学转化思想) .
2

3.下列各点中,在函数 y= 的图象上的点是( ) A. (1,0.5) B. (2,﹣1) C. (﹣1,﹣2) D. (﹣2,1) 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征. 【分析】需把所给点的横纵坐标相乘,结果是 2 的,就在此函数图象上. 【解答】解:∵反比例函数 y= 中,k=2, ∴只需把各点横纵坐标相乘,结果为 2 的点在函数图象上, 四个选项中只有 C 选项符合. 故选 C. 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征,所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积 应等于比例系数.

6

4.为估计某地区黄羊的只数,先捕捉 20 只黄羊给它们分别作上标志,然后放回,待有标志的黄羊 完全混合于黄羊群后,第二次捕捉 60 只黄羊,发现其中 2 只有标志.由这些信息,我们可以估计该 地区有黄羊( ) A.400 只 B.600 只 C.800 只 D.1000 只 【考点】用样本估计总体. 【专题】应用题. 【分析】捕捉 60 只黄羊,发现其中 2 只有标志.说明有标记的占到 据所占比例解得. ,而有标记的共有 20 只,根

【解答】解:20 =600(只) . 故选:B. 【点评】统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息,本题体现了统计思想,考查了用样本估 计总体. 5.如图,△ABC 内接于⊙O,CD 是⊙O 的直径,∠A=35°,则∠BCD 的度数是( )

A.55° B.65° C.70° D.75° 【考点】圆周角定理. 【分析】根据圆周角定理求出∠DBC、∠D 的度数,根据三角形内角和定理计算即可. 【解答】解:连接 BD, ∵CD 是⊙O 的直径, ∴∠DBC=90°, ∵∠A=35°, ∴∠D=∠A=35°, 则∠BCD=90°﹣∠A=55°. 故选:A.

【点评】本题考查的是圆周角定理,掌握直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等是解题 的关键. 6.两个相似三角形的对应边分别是 15cm 和 23cm,它们的周长相差 40cm,则这两个三角形的周长分 别是( ) A.75cm,115cm B.60cm,100cm C.85cm,125cm D.45cm,85cm 【考点】相似三角形的性质. 【分析】根据题意两个三角形的相似比是 15:23,可得周长比为 15:23,计算出周长相差 8 份及每

7

份的长,可得两三角形周长. 【解答】解:根据题意两个三角形的相似比是 15:23,周长比就是 15:23, 大小周长相差 8 份,所以每份的周长是 40÷8=5cm, 所以两个三角形的周长分别为 5×15=75cm,5×23=115cm.故选 A. 【点评】本题考查对相似三角形性质的理解: (1)相似三角形周长的比等于相似比; (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方; (3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

7.用配方法将函数 y= x ﹣2x+1 写成 y=a(x﹣h) +k 的形式是(
2 2 2

2

2


2

A.y= (x﹣2) ﹣1 B.y= (x﹣1) ﹣1 C.y= (x﹣2) ﹣3 D.y= (x﹣1) ﹣3 【考点】二次函数的三种形式. 【专题】配方法. 【分析】利用配方法先提出二次项系数,在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般 式转化为顶点式. 【解答】解:y= x ﹣2x+1= (x ﹣4x+4)﹣2+1= (x﹣2) ﹣1 故选 A. 【点评】二次函数的解析式有三种形式: 2 (1)一般式:y=ax +bx+c(a≠0,a、b、c 为常数) ; 2 (2)顶点式:y=a(x﹣h) +k; (3)交点式(与 x 轴) :y=a(x﹣x1) (x﹣x2) . 8.根据下列表格的对应值: x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 2 x +5x﹣3 ﹣3.00 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3.00 2 可得方程 x +5x﹣3=0 一个解 x 的范围是( ) A.0<x<25 B.0.25<x<0.50 C.0.50<x<0.75 D.0.75<x<1 【考点】估算一元二次方程的近似解. 2 2 【分析】由于 x=0.50 时,x +5x﹣3=﹣0.25;x=0.75 时,x +5x﹣3=1.31,则在 0.50 和 0.75 之间有 2 2 一个值能使 x +5x﹣3 的值为 0,于是可判断方程 x +5x﹣3=0 一个解 x 的范围为 0.50<x<0.75. 2 2 【解答】解:∵x=0.50 时,x +5x﹣3=﹣0.25;x=0.75 时,x +5x﹣3=1.31, 2 ∴方程 x +5x﹣3=0 一个解 x 的范围为 0.50<x<0.75. 故选 C. 【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解:用列举法估算一元二次方程的近似解,具体方法 是:给出一些未知数的值,计算方程两边结果,当两边结果愈接近时,说明未知数的值愈接近方程 的根. 二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 9.如图,△ABC 中,D、E 分别为 AB、AC 的中点,则△ADE 与△ABC 的面积比为 1:4 .
2 2 2

8

【考点】相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理. 【分析】根据三角形的中位线得出 DE= BC,DE∥BC,推出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质得 出即可. 【解答】解:∵D、E 分别为 AB、AC 的中点, ∴DE= BC,DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC,



=(

)= ,

2

故答案为:1:4. 【点评】本题考查了三角形的性质和判定,三角形的中位线的应用,注意:相似三角形的面积比等 于相似比的平方. 10.某家用电器经过两次降价,每台零售价由 1000 元下降到 810 元.若两次降价的百分率相同,则 这个百分率为 10% . 【考点】一元二次方程的应用. 【专题】增长率问题. 【分析】设家用电器平均每次降价的百分率为 x,根据降价后的价格=降价前的价格(1﹣降价的百 2 分率) ,则第一次降价后的价格是 1000(1﹣x) ,第二次后的价格是 1000(1﹣x) ,据此即可列方 程求解. 【解答】解:设这个百分率为 x,根据题意得: 2 1000×(1﹣x) =810, 解得:x1=0.1=10%或 x2=﹣1.9(舍去) , 则这个百分率为 10%. 故答案为:10%. 【点评】此题考查了一元二次方程的应用,找到关键描述语,找出等量关系准确的列出方程是解决 问题的关键.注意判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解. 11.某水果店一次购进苹果 200 箱,已经卖出 6 箱,质量分别是(单位:kg)15.5,16,14.5,13.5, 15,15.5.你估计该商店这次进货 3000 kg. 【考点】用样本估计总体. 【分析】首先求出 6 箱苹果的平均质量,然后利用样本估计总体的思想就可以求出 200 箱苹果的总 质量. 【解答】解:抽取 6 箱苹果的平均质量为 所以估计 200 箱苹果的总质量为 200×15=3000 千克. =15 千克,

9

故答案为 3000. 【点评】此题考查了用样本估计总体,首先利用平均数的计算公式求出抽取苹果质量的平均数,然 后利用样本估计总体的思想求出所有苹果的质量. 12.已知抛物线 y=x ﹣4x+c 与 x 轴只有一个交点,则 c= 4 . 【考点】抛物线与 x 轴的交点. 2 【分析】利用抛物线与 x 轴只有一个交点,则 b ﹣4ac=0 进而求出 c 的值即可. 2 【解答】解:∵函数 y=x ﹣4x+c 抛物线与 x 轴只有一个交点, 2 ∴b ﹣4ac=16﹣4c=0, 解得:c=4, 故答案为 4. 【点评】此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点,正确把握抛物线与 x 轴交点个数确定方法是解题关 键. 13.将二次函数 y=x 的图象向右平移 1 个单位,在向上平移 2 个单位后,所得图象的函数表达式是 2 y=(x﹣1) +2 . 【考点】二次函数图象与几何变换. 【分析】抛物线平移不改变 a 的值. 【解答】解:原抛物线的顶点为(0,0) ,向右平移 1 个单位,在向上平移 2 个单位后,那么新抛物 2 2 线的顶点为(1,2) .可设新抛物线的解析式为:y=(x﹣h) +k,代入得:y=(x﹣1) +2.故所得 2 图象的函数表达式是:y=(x﹣1) +2. 【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标.
2 2

14.如图,已知梯形护坡坝 AB 的坡度为 i=1:4,坡高 BC=2m,则斜坡 AB 的长为 2

m.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 【专题】推理填空题. 【分析】根据梯形护坡坝 AB 的坡度为 i=1:4,坡高 BC=2m,可以得到 AC 的长,然后根据勾股定理 可以得到 AB 的长,从而可以解答本题. 【解答】解:∵梯形护坡坝 AB 的坡度为 i=1:4,坡高 BC=2m, ∴ , ∴AC=8m, 根据勾股定理,得 AB= 故答案为:2 . m.

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解题的关键是明确什么是坡度,根据坡度 可以计算所求边的长.

10

15.一个圆锥的母线是 15cm,侧面积是 75π cm ,这个圆锥底面半径是 5 cm. 【考点】圆锥的计算. 【专题】计算题. 【分析】设这个圆锥底面半径为 rcm,根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥 底面的周长, 扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到 ?2π ?r?15=75π ,然后解方程求出 r 即可. 【解答】解:设这个圆锥底面半径为 rcm, 根据题意得 ?2π ?r?15=75π ,解得 r=5, 即这个圆锥底面半径是 5cm. 故答案为 5. 【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周 长,扇形的半径等于圆锥的母线长.

2

16.在函数 y=

(k 为常数)的图象上有三个点(﹣2,y1) , (﹣1,y2) , ( ,y3) ,函数值

y1,y2,y3 的大小为 y3<y1<y2 . 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征. 【分析】先判断出函数图象所在的象限,再根据其坐标特点解答即可. 2 【解答】解:∵﹣k ﹣2<0,∴函数应在二四象限,若 x1<0,x2>0,说明横坐标为﹣2,﹣1 的点 在第二象限,横坐标为 的在第四象限,∵第二象限的 y 值总比第四象限的点的 y 值大,∴那么 y3 最小,在第二象限内,y 随 x 的增大而增大,∴y1<y2. 即 y3<y1<y2. 【点评】在反比函数中,已知各点的横坐标,比较纵坐标的大小,首先应区分各点是否在同一象限 内.在同一象限内,按同一象限内点的特点来比较,不在同一象限内,按坐标系内点的特点来比较. 三、解答题(本题共 9 小题,共 72 分,解答题要求写出证明步骤或解答过程) 2 17.解方程: (x+2) ﹣10(x+2)=0. 【考点】解一元二次方程-因式分解法. 【专题】计算题;一次方程(组)及应用. 【分析】方程变形后,利用因式分解法求出解即可. 【解答】解:方程分解得: (x+2﹣10) (x+2)=0, 可得 x﹣8=0 或 x+2=0, 解得:x1=﹣2,x2=8. 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 18.已知:如图,∠1=∠2,AB?AC=AD?AE. 求证:∠C=∠E.

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【考点】相似三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】先根据 AB?AC=AD?AE 可得出 = 应角相等即可得出结论. 【解答】证明:在△ABE 和△ADC 中, ∵AB?AC=AD?AE, ,再由∠1=∠2 可得出△ABE∽△ADC,由相似三角形的对

∴ = 又∵∠1=∠2, ∴△ABE∽△ADC ∴∠C=∠E. 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质,熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键. 19.某校准备选出甲、乙两人中的一人参加县里的射击比赛,他们在相同条件下各射靶 5 次,成绩 统计如下: 命中环数/环 7 8 9 10 甲命中的频数/次 1 1 0 3 乙命中的频数/次 0 1 3 1 (1)求甲、乙两人射击成绩的方差分别是多少? (2)已知该校选手前三年都取得了县射击比赛的第一名,请问应选择谁去参加比赛? 【考点】方差. 【专题】计算题. 【分析】 (1)先计算出甲乙两人的平均成绩,然后根据方差公式计算他们的方差; (2)根据方差的意义判断选择谁去参加比赛. 【解答】解: (1)甲的平均数为 (环) ,
2 2 2

=9(环) ,乙的平均数为

=9

所以甲的方差= [(7﹣9) +(8﹣9) +3(10﹣9) ]=1.6, 乙的方差= [(8﹣9) +3(9﹣9) +(10﹣9) ]=0.4; (2)因为甲的方差比乙的方差大, 所以乙的成绩比较稳定,应选择乙去参加比赛. 【点评】本题考查了方差:一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数,叫做这组数据
2 2 2

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的方差,计算公式是:s = [(x1﹣x?) +(x2﹣x?) +…+(xn﹣x?) ];方差是反映一组数据的波动 大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离 散程度越小,稳定性越好. 20.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠A=45°,BD 是直径,且 BD=2,连接 CD,求 BC 的长.

2

2

2

2

【考点】圆周角定理;勾股定理;等腰直角三角形;锐角三角函数的定义. 【分析】先根据圆周角定理可求出∠D=45°,∠BCD=90°,再根据三角形内角和定理可知△BCD 是 等腰直角三角形,由锐角三角函数的定义即可求出 BC 的长. 【解答】解:在⊙O 中,∵∠A=45°,∠D=45°, ∵BD 为⊙O 的直径, ∴∠BCD=90°, ∴△BCD 是等腰直角三角形, ∴BC=BD?sin45°, ∵BD=2, ∴ . 【点评】本题主要考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的判定及锐角三角函数的定义,关键是求 出△BCD 是等腰直角三角形. 21.已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 AB 分别与 x,y 轴交于点 B、A,与反比例函数的 图象分别交于点 C、D,CE⊥x 轴于点 E,tan∠ABO= ,OB=8,OE=4.求该反比例函数的解析式.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】根据已知条件求出 c 点坐标,用待定系数法求出反比例的函数解析式. 【解答】解:∵OB=8,OE=4, ∴BE=4+8=12. ∵CE⊥x 轴于点 E.tan∠ABO= ∴CE=6. = .

13

∴点 C 的坐标为 C(﹣4,6) . 设反比例函数的解析式为 y= , (m≠0)

将点 C 的坐标代入,得 6= ∴m=﹣24.



∴该反比例函数的解析式为 y=﹣ . 【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题.主要考查待定系数法求函数解析式. 22.如图,某校数学兴趣小组的同学欲测量祁阳县文昌古塔 BD 的高度,他们先在 A 处测得古塔顶端 点 D 的仰角为 45°,再沿着 BA 的方向后退 12 米至 C 处,测得古塔顶端点 D 的仰角为 30°.求该古 塔 BD 的高度(结果保留根号) .

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 【分析】先根据题意得出∠BAD、∠BCD 的度数及 AC 的长,再在 Rt△ABD 中可得出 AB=BD,利用锐角 三角函数的定义可得出 BD 的长. 【解答】解:根据题意可知: ∠BAD=45°,∠BCD=30°,AC=12m. 在 Rt△ABD 中, ∵∠BAD=∠BDA=45°, ∴AB=BD. 在 Rt△BDC 中, ∵tan∠BCD= ∴ = , BD, ,

则 BC=

又∵BC﹣AB=AC, ∴ BD﹣BD=12, +6. +6)米.

解得:BD=6

答:古塔 BD 的高度为(6

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,涉及到等腰直角三角形的判定与性质、

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锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值,熟练掌握以上知识是解答此题的关键. 23.如图,已知 AB 为⊙O 的直径,PA 与⊙O 相切于点 A,线段 OP 与弦 AC 垂直并相交于点 D,OP 与 ⊙O 相交于点 E,连接 BC. (1)求证:△PAD∽△ABC; (2)若 PA=10,AD=6,求 AB 和 PE 的长.

【考点】切线的性质;相似三角形的判定与性质. 【分析】 (1)由 PA 为圆 O 的切线,利用切线的性质得到 AP 垂直于 AB,可得出∠PAO 为直角,得到 ∠PAD 与∠DAO 互余,再由 AB 为圆 O 的直径,根据直径所对的圆周角为直角,可得出∠ACB 为直角, 得到∠DAO 与∠B 互余,根据同角的余角相等可得出∠PAC=∠B,再由一对直角相等,利用两对对应 角相等的两三角形相似可得出三角形 APD 与三角形 ABC 相似; (2)在直角三角形 APD 中,利用勾股定理求出 PD 的长,进而确定出 AC 的长,由第一问两三角形相 似得到的比例式,将各自的值代入求出 AB 的上,求出半径 AO 的长,在直角三角形 APO 中,由 AP 及 AO 的长,利用勾股定理求出 OP 的长,用 OP﹣OE 即可求出 PE 的长. 【解答】 (1)证明:∵PA 是⊙O 的切线,AB 是直径, ∴∠PAO=90°,∠C=90°, ∴∠PAC+∠BAC=90°,∠B+∠BAC=90°, ∴∠PAC=∠B, 又∵OP⊥AC, ∴∠ADP=∠C=90°, ∴△PAD∽△ABC; (2)解:∵∠PAO=90°,PA=10,AD=6, ∴PD= ∵OD⊥AC, ∴AD=DC=6, ∴AC=12, ∵△PAD∽△ABC, ∴ , =8,

∴ , ∴AB=15, ∴OE= AB= ∵OP= , = ,

15

∴PE=OP﹣OE=



=5.

【点评】此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,圆周角定理,勾股定理,垂径定理, 熟练掌握性质及定理是解本题的关键. 24.如图所示,在△ABC 中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点 P 从点 A 出发,沿 AB 以 4cm/s 的速度向点 B 运动,同时点 Q 从 C 点出发,沿 CA 以 3cm/s 的速度向点 A 运动,设运动时间为 x 秒. (1)当 x 为何值时,BP=CQ; (2)以 A、P、Q 为顶点的三角形能否与以 C、Q、B 为顶点的三角形相似?若能,求出 x 的值;若不 能,请说明理由.

【考点】相似形综合题. 【专题】综合题;图形的相似. 【分析】 (1)根据题意表示出 BP 与 CQ,由 BP=CQ 列出关于 x 的方程,求出方程的解即可得到 x 的 值; (2)以 A、P、Q 为顶点的三角形能与以 C、Q、B 为顶点的三角形相似,分两种情况考虑:①当 △APQ∽△CQB 时;②当△APQ∽△CBQ 时,由相似得比例求出 x 的值即可. 【解答】解: (1)依题意可得:BP=20﹣4x,CQ=3x, 当 BP=CQ 时,20﹣4x=3x, ∴x= (秒) ,

答:当 x= 秒时,BP=CQ; (2)以 A、P、Q 为顶点的三角形能否与以 C、Q、B 为顶点的三角形相似,

①当△APQ∽△CQB 时,有

=

,即

=



解得:x=

(秒) ;

②当△APQ∽△CBQ 时,有

=

,即

=



解得:x=5(秒)或 x=﹣10(秒) (舍去) ,

16

答:当 x= 或 x=5 秒时,△APQ 与△CQB 相似. 【点评】此题属于相似形综合题,涉及的知识有:相似三角形的性质,一元一次方程的解法,熟练 掌握相似三角形的性质是解本题的关键. 25.如图,抛物线 y=﹣x +2x+3 与 x 轴交于点 A、B,与 y 轴交于点 C,点 D 是抛物线的顶点,连接 BC、BD. (1)点 D 的坐标是 (1,4) ; (2)在抛物线的对称轴上求一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小,并求出此时点 M 的坐标. (3)若点 P 在 x 轴上且位于点 B 右侧,且点 P 是线段 AQ 的中点,连接 QD,且∠BDQ=45°,求点 P 坐标(请利用备用图解决问题) .
2

【考点】二次函数综合题. 【分析】 (1)根据待定系数法,可得抛物线的顶点坐标; (2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可得 PA=PB,根据两点之间线段最短, 可得 P 在线段 BC 上,根据待定系数法,可得 BC 的解析式,根据自变量与函数值的对应关系,可得 答案; (3)根据勾股定理,可得 BD 的长,根据相似三角形的判定与性质,可得 QN 与 BN 的关系,根据等 腰直角三角形的性质,可得 DN 与 QN 的关系,根据勾股定理,可得 BQ 的长,根据线段的和差,可得 AQ 的长,根据线段中点的性质,可得 AP 的长,根据线段的差,可得 OP 的长,可得 P 点坐标. 2 2 【解答】解: (1)y=﹣x +2x+3=﹣(x﹣1) +4, 顶点 D 的坐标为(1,4) ;

(2)如图 1



连结 BC,交对称轴于点 M,此时 M 为所求点,使得 MA+MC 达到最小值. 当 x=0 时,y=3. ∴C(0,3) . 2 当 y=0 时,﹣x +2x+3=0,

17

解得:x1=﹣1,x2=3, ∴B(3,0) . 设 BC 所在直线的解析式为:y=kx+3,将 B 点坐标代入函数解析式,得 3k+3=0, ∴k=﹣1, ∴BC 所在直线的解析式为:y=﹣x+3, 当 x=1 时,y=2; ∴M(1,2) ;

(3)如图 2 连接 QD,作 QN⊥DB,交 DB 的延长线于 N, 设对称轴与 x 轴的交点为点 H. ∵点 D 坐标是(1,4) ∴点 H 坐标是(1,0) ∴DH=4,BH=2, ∴在 Rt△BDH 中,BD= =2



又∵∠QNB=∠DHB,∠QBN=∠DBH, ∴△QBN∽△DBH, ∴ = ,

∴ = = =2, ∴QN=2BN. 又∵∠BDQ=45°, ∴在 Rt△DNQ 中,∠DQN=45°, ∴DN=QN=2BN, ∴BN=BD=2 ∴QN=4 . =10. ,

∴在 Rt△QBN 中,BQ= ∵AB=4,

18

∴AQ=AB+BQ=14. ∴AP= AQ=7 OP=AP﹣AO=7﹣1=6, ∴P(6,0) . 【点评】本题考查了二次函数综合题,利用配方法得出顶点坐标;利用线段垂直平分线的性质,线 段的性质得出 P 点的位置是解题关键;利用相似三角形的判定与性质得出 BQ 与 BQ 的关系是解题关 键,又利用了等腰直角三角形的性质得出 QN 的长,利用勾股定理得出 BQ 的长.

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