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立 体 几 何 常 考 题




体 几 何 常 考

题:

1. 如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC,∠ABC=120°。E 为线段 AB 的中点,将△ ADE 沿直线 DE 翻折成△A’DE,使平面 A’DE⊥平面 BCD,F 为线段 A’C 的中点。 (Ⅰ)求证:BF∥平面 A’DE; (Ⅱ)求证:CE⊥平面 A’DE; (Ⅲ)

设 M 为线段 DE 的中点,求直线 FM 与平面 A’DE 所成角的余弦值。

2. 如图所示,圆柱的高为2,底面半径为 7 ,AE、DF是圆柱的两条母线,过 A D 作圆柱的 截面交下底面于 B C . (1)求证: B C // E F ; (2)若四边形ABCD是正方形,求证 B C ? B E ; (3)在(2)的条件下,求四棱锥 A ? B C E 的体积.

1

3. 如图 5 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是 圆 的 直 径 ,
? A B D ? 60 , ? B D C ? 45 , ? A D P ~ ? B A D 。
? ?

(1)求线段 PD 的长; (2)若 P C ?
1 1 R ,求三棱锥 P-ABC 的体积。

4.如图,在四棱锥 P ? A B C D 中, P D 垂直于底面 A B C D ,底面 A B C D 是直角梯形,
D C / / A B , ? B A D ? 90 ,且 A B ? 2 A D ? 2 D C ? 2 P D ? 4 (单位: cm ), E 为 P A 的
?

中点。 (1)如图,若正视方向与 A D 平行,请在下面(答题区)方框内作出该几何体的正视图并 求出正视图面积; (2)证明: D E / / 平面 P B C ; (3)证明: D E ? 平面 P A B ;
P

E D
正视图

C B

A

5.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD⊥平面 ABC,AE⊥BD 于 E, AF⊥CD 于 F,AD=AC=BC=2,求证:⑴BD⊥平面 AEF. ⑵求二面角 A—BD—C 的余弦值.

2

6. 已知三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 为正三棱柱,D 为 AC 上一点. (1)若 D 为 AC 的中点,求证: AB 1 //平面 C 1 BD 平面 BDC1⊥平面 ACC1A1 (3)若 AB 1 //平面 C 1 BD ,求证:D 为 AC 的中点. ;

7.如图,棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的侧面 B C C 1 B1 是菱形, B1C ? A1 B (Ⅰ)证明:平面 A B1C ? 平面 A1 B C 1 ; (Ⅱ)设 D 是 A1 C 1 上的点,且 A1 B // 平面 B1 C D ,求 A1 D : D C 1 的值.

8. 如图,三棱锥 P ? ABC 中, P B ? 底面 A B C ,
? B C A ? 9 0 , PB ? BC ? CA ? 4 , E 为 PC 的中点, M 为 AB 的中点,点 F 在 PA 上,且 A F ? 2 F P . (1)求证: B E ? 平面 P A C ; (2)求证: C M / / 平面 B E F ; (3)求三棱锥 F ? ABE 的体积.
?

3

9. 如图, A, B, C, D 为空间四点.在 △ A B C 中, A B ? 2, A C ? B C ? 角形 A D B 以 A B 为轴运动. (Ⅰ)当平面 A D B ? 平面 A B C 时,求 C D ; (Ⅱ)当 △ A D B 转动时,是否总有 A B ? C D ?证明你的结论.
D

2 .等边三

A B

C

10. 如图,已知直四棱柱 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的底 面是直角梯形,A B ? B C ,A B // C D ,E ,F 分别是棱 B C ,B1 C 1 上的动点, E F // C C 1 , 且
C D ? D D 1 ? 1 , A B ? 2, B C ? 3 .

(Ⅰ)证明:无论点 E 怎样运动, 四边形 E F D1 D 都为矩形; (Ⅱ)当 E C ? 1 时, 求几何体 A ? E F D 1 D 的体积.
第 19 题图

4

2(1)证明:在圆柱中: ? 上底面//下底面, 且上底面∩截面 ABCD= A D ,下底面∩截面 ABCD= B C ? B C // A D ……………………………………………………………………….2分 又? AE、DF 是圆柱的两条母线,? A E // D F
? A D F E 是平行四边形,所以 A D // E F ,又 B C // A D ? B C // E F …………………………………………………………………….5分 (2)? AE 是圆柱的母线, ? A E ? 下底面,又 B C ? 下底面,? A E ? B C …………………………….7分 又? 截面 ABCD 是正方形,所以 B C ⊥ A B ,又 A B ? A E ? A ? B C ⊥面 A B E ,又 B E ? 面 A B E ,? B C ? B E ……………………………9 分 (3)因为母线 A E 垂直于底面,所以 A E 是三棱锥 A ? B C E 的高……………………10分, EO 就是四棱锥 E ? A B C D 的高……………………10 分

设正方形 ABCD 的边长为 x,则 AB=EF=x, B E ?

AB ? AE
2

2

?

x ?4
2

又? B C // E F ,且 B C ? B E ,? EF⊥BE, ? BF 为直径,即 BF= 2 7 在 R t ? B E F 中, B F ? B E ? E F
2 2 2

即 (2 7 ) ? x ? x ? 4 ? x ? 4
2 2 2

? S A B C D ? 4 ? 4 ? 1 6 ,……………………………………………………………12分
AE ? BE AB
1 3

EO ?

?

2?

4 ?4
2

?

3

4
1 3 16 3 3

? V E ? ABCD ?

? O E ? S ABCD ?

?

3 ? 16 ?

. ………………………14分



3. (1)?

BD 是圆的直径 ?
2

? B A D ? 90
? 2

?


2

? A D P~ ?

B A ,D

?

AD BA

?

DP AD

, DP ?

AD BA

?

? B D sin 6 0

? ? B D sin 3 0 ?
?

4R ? ? 2R ?

3 4 ? 3R 1 2

;

(2 ) 在 R t ? B C D 中, C D ? B D co s 4 5 ?
?

?

2R
P C P D ? C D 又 ? PD A ? 90 ?
2 ?

P D ? C D ?9
2 2

R ?2
2

R ?1 1 R ?
2 2

? P D ? 底面 ABCD

5

S ? ABC ?

1 2

A B ?B C s i n 6 0 ? ?
?

?

4? 5 ?

1 2

R?

? 3 R ?2 ? 2 ?
1 3

2 ? 2
3 ?1 4

1 2

?2 ?? ? 2 ?

?3

R 4

2

1

三棱锥 P ? A B C 的体积为 V P ? A B C ?

1 3

?S ? A B C ?P D ?

?

R ?3 R ?
2

3 ?1 4

R

3

4.解(1)正视图如下:(没标数据扣 1 分)

…………3 分

主视图面积 S ?

1 2

? 4 ? 2 ? 4 cm ……………….4 分
2

(2)设 P B 的中点为 F ,连接 E F , C F
E F / / A B , D C / / A B ,? E F / / A B ,且 E F ? D C ?
1 2

………………5 分
A B ………………6 分

故四边形 C D E F 平行四边形,可得 E D / / C F , ………………7 分 E D ? 平面 P B C , C F ? 平面 P B C , E D / / 平面 P B C ………………9 分 (3) P D ? 底面 A B C D , A B ? 平面 A B C D ,? A B ? P D ………10 分 又 A B ? A D , P D ? A D ? D , A D ? 平面 P A D , P D ? 平面 P A D
A B ? 平面 P A D E D ? 平面 P A D ,所以 E D ? A B , 又 P D ? A D , E 为 P A 的中点,所以 E D ? P A ,

………………11 分 ………………12 分 ………………13 分

P A ? A B ? A , P A ? 平面 P A B , A B ? 平面 P A B ,所以 D E ? 平面 P A B ……14

7 解: (Ⅰ)因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B 1 C ? BC 1 又已知 B 1 C ? A1 B , 且 A1 B ? BC 1 ? B 所又 B 1 C ? 平面 A1BC1,又 B 1 C ? 平面 AB1C , 所以平面 AB 1 C ? 平面 A1BC1 . (Ⅱ)设 BC1 交 B1C 于点 E,连结 DE, 则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线, 因为 A1B//平面 B1CD,所以 A1B//DE. 又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点. 即 A1D:DC1=1. . 8(1)证明:∵ PB ? 底面 A B C ,且 AC ? 底面 A B C , ∴ A C ? P B ……1 分

6


AC ? CB

? BC A ? 90

?



可 …………………………2 分




PBC

?

PB ? CB ? B





AC ?





…………………………3 分 意 到
BE ?


AC ? BE





PBC





…………………………4 分 ,
E

? PB ? BC BE ? PC



PC









…………………………5 分
PC ? AC ? C

?
PAC





BE ?





…………………………6 分

(2)取 AF 的中点 G , AB 的中点 M ,连接 C G , C M , G M , ∵
EF / /C G .

E



PC







FA ? 2FP





……………7 分 平 面
B E, F ? E 平F 面
BEF


BEF .

CG ?





CG / /





……………8 分

同理可证: G M / / 平面 B E F . 又
BEF .

CG ? GM ? G









CMG / /





…………9 分
CD ?


BEF .





C

D

,G



CD / /





…………10 分

(3)由(1)可知 B E ? 平面 P A C 又由已知可得 BE ? 2 2 .

S ? AEF ?

1 3

S ? PAC ?

1 3

?

1 2

AC ? PC ?

8 3

2

………

…12 分 ∴ V F ? ABE ? V B ? AEF ?
1 3 S ? AEF ? BE ? 32 9 32 9

所以三棱锥 F ? ABE 的体积为

.

…14 分

7

9 解: (Ⅰ)取 A B 的中点 E ,连结 D E, C E ,因为 A D B 是等边三角形,所以 D E ? A B . 当平面 A D B ? 平面 A B C 时, 因为平面 A D B ? 平面 A B C ? A B , 所以 D E ? 平面 A B C , 可知 D E ? C E
E

D

A

由 已 知 可 得 DE ?
CD ? DE ? EC
2 2

3, E C ? 1 , 在 R t△ D E C 中 ,
B

C

? 2.

(Ⅱ)当 △ A D B 以 A B 为轴转动时,总有 A B ? C D . 证明: (ⅰ)当 D 在平面 A B C 内时,因为 A C = B C, A D ? B D ,所以 C, D 都在线段 A B 的垂直平分线上,即 A B ? C D . (ⅱ)当 D 不在平面 A B C 内时,由(Ⅰ)知 AB ? DE .又因 A C ? B C ,所以 A B ? C E . 又 D E, C E 为相交直线,所以 A B ? 平面 C D E ,由 C D ? 平面 C D E ,得 A B ? C D . 综上所述,总有 A B ? C D . 10.解: (Ⅰ)在直四棱柱 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, D D 1 // C C 1 , ∵ E F // C C 1 ,∴ E F // D D1 , ---------------------------------------2 分 又∵平面 A B C D // 平面 A1 B1C 1 D 1 , 平面 A B C D ? 平面 E F D1 D ? E D , 平面 A1 B1C 1 D 1 ? 平面 E F D 1 D ? F D 1 , ∴ E D // F D 1 ,∴四边形 E F D1 D 为平行四边形,---------------------------------------4 分 ∵侧棱 D D1 ? 底面 A B C D ,又 D E ? 平面 A B C D 内, ∴ D D1 ? D E , ∴四边形 E F D1 D 为矩形; 分 (Ⅱ)证明:连结 A E ,∵四棱柱 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 为直四棱柱, ∴侧棱 D D1 ? 底面 A B C D ,又 A E ? 平面 A B C D 内, ∴ D D1 ? A E , ( 资 料 来 源 : 广 东 高 考 吧 www.gaokao8.net ) ---------------------------------------6

---------------------------------------8 分 在
Rt?ABE





AB ? 2



BE ? 2





AE ? 2 2



---------------------------------------9 分
8



Rt?CDE





EC ? 1



CD ? 1





DE ?

2



---------------------------------------10 分 在直角梯形中 A B C D , A D ?
2 2 2

BC ? ( AB ? CD ) ?
2 2

10 ;

∴ A E ? D E ? A D ,即 A E ? E D , 又 ∵
E D ? D D1 ? D





AE ?





E

1

F

D ;

D

---------------------------------------12 分 由(Ⅰ)可知,四边形 E F D1 D 为矩形,且 D E ? ∴矩形 E F D1 D 的面积为 S E F D D ? D E ? D D1 ?
1

2 , D D1 ? 1 ,

2,
E F 的 D 体 D 积




1 3


S EFD D ? A E ?
1


1 3 ?

A?

1



V A? EFD D ?
1

2?2 2 ?

4 3

.-----------------------------14 分

9


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