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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查67 离散型随机变量及其分布列


开卷速查(六十七)

离散型随机变量及其分布列

A 级 基础巩固练 1.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取 该流水线上 40 件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分 组区间为(490,495],(495,500],?,(510,515].由此得到样本的频率分 布直方图,如图所示.

(1)根据频率分布直方图,求质量超过 505 克的产品数量; (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为质量超过 505 克 的产品数量,求 Y 的分布列. 解析:(1)根据频率分布直方图可知,质量超过 505 克的产品数量 为 40×(0.05×5+0.01×5)=40×0.3=12. (2)Y 的可能取值为 0,1,2,且 Y 服从参数为 N=40,M=12,n=2 的超几何分布,故
2 C0 63 12C28 P(Y=0)= C2 =130, 40 1 C1 28 12C28 P(Y=1)= C2 =65, 40

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0 C2 11 12C28 P(Y=2)= C2 =130. 40

所以 Y 的分布列为 Y P 0 63 130 1 28 65 2 11 130

2.某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测, 每一件一等品都能通 2 过检测,每一件二等品通过检测的概率为3.现有 10 件产品,其中 6 件 是一等品,4 件是二等品. (1)随机选取 1 件产品,求能够通过检测的概率; (2)随机选取 3 件产品, 其中一等品的件数记为 X, 求 X 的分布列; (3)随机选取 3 件产品,求这 3 件产品都不能通过检测的概率. 解析:(1)设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为 A,事件 A 等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”, 6 4 2 13 ∴P(A)=10+10×3=15. (2)由题可知 X 的可能取值为 0,1,2,3.
0 1 C3 1 C2 3 4C6 4C6 P(X=0)= C3 =30,P(X=1)= C3 =10, 10 10 2 0 3 C1 1 C4 C6 1 4C6 P(X=2)= C3 =2,P(X=3)= C3 =6. 10 10

∴X 的分布列如下: X P 0 1 30 1 3 10 2 1 2 3 1 6

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(3)设“随机选取 3 件产品都不能通过检测”的事件为 B,事件 B 等于事件“随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测”, 1 ?1?3 1 ? ?= 所以,P(B)=30· 3 810.
? ?

B 级 能力提升练 3.一次考试共有 12 道选择题,每道选择题都有 4 个选项,其中 有且只有一个是正确的.评分标准规定:“每题只选 1 个选项,答对 得 5 分,不答或答错得 0 分”.某考生已确定有 8 道题的答案是正确 的,其余题中:有 2 道题都可判断 2 个选项是错误的,有 1 道题可以 判断 1 个选项是错误的,还有 1 道题因不理解题意只好乱猜.请求出 该考生: (1)得 60 分的概率; (2)所得分数 X 的分布列. 解析:(1)设“选对可判断 2 个选项是错误的 2 道题之一”为事件 A,“选对可判断 1 个选项是错误的 1 道题”为事件 B,“选对不理解 题意的 1 道题”为事件 C. 1 1 1 则 P(A)=2,P(B)=3,P(C)=4, 1 1 1 1 1 所以得 60 分的概率 P=2×2×3×4=48. (2)依题意得,所得分数 X 可能的取值为 40,45,50,55,60. 1 1 2 3 1 P(X=40)=2×2×3×4=8; 1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 2 1 17 P(X=45)=C1 2× × × × + × × × + × × × = 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 48;

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1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 2 1 1 1 P(X=50)=2 ×2×3×4 +C1 2× × × × +C 2× × × × + 2 2 3 4 2 2 3 4 2 1 1 1 17 ×2×3×4=48; 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 7 P(X=55)=C1 2× × × × + × × × + × × × = 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 48; 1 1 1 1 1 P(X=60)=2×2×3×4=48. 所以所得分数 X 的分布列为: X P 40 1 8 45 17 48 50 17 48 55 7 48 60 1 48

4.2014 年 10 月 1 日,为庆祝中华人民共和国成立 65 周年,来自 北京大学和清华大学的 6 名大学生志愿者被随机平均分配到天安门广 场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务,且运送矿泉水 3 岗位至少有 1 名北京大学志愿者的概率是5. (1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各 1 名的概 率; (2)设随机变量 ξ 为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数, 求 ξ 的分布列. 解析:(1)记“至少有 1 名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗 位”为事件 A,则事件 A 的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到 运送矿泉水岗位”,设有北京大学志愿者 x 名,1≤x<6,那么 P(A)=1
2 C6 -x 3 - C2 =5,解得 x=2,即来自北京大学的志愿者有 2 名,来自清华大 6

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学的志愿者有 4 名. 记“打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各 1 名”为
1 C1 8 2C4 事件 B,则 P(B)= C2 =15, 6

所以打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各 1 名的概 8 率是15. (2)在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数 ξ 服从超几何分 布,其中 N=6,M=2,n=2,于是
k 2-k C2 C4 P(ξ=k)= C2 ,k=0,1,2, 6 0 2 C2 C4 2 ∴P(ξ=0)= C2 =5, 6 1 1 C2 C4 8 P(ξ=1)= C2 =15, 6 2 0 C2 C4 1 P(ξ=2)= C2 =15. 6

所以 ξ 的分布列为

ξ P

0 2 5

1 8 15

2 1 15

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