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2015年浙江高考数学理科试卷带详解


2015 年全国高考数学 浙江卷 数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的.
2 1.(15 浙江高考)已知集合 P ? x x ? 2 x≥0 , Q ? x 1 ? x≤2 ,则 ?R P ? Q ? (

?

?

?

?

?

?



A. ?0,1?

B. ? 0, 2?

C. ?1, 2 ?

D. ?1, 2?

【参考答案】C 【测量目标】集合的运算. 【试题分析】由题意得, ?R P ? ? 0, 2? ,? ? R P ? Q ? ?1,2? ,故选 C. 2. (15 浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积是( A.8 cm
3

?

?

?

?



B.12 cm

3

C.

32 3 cm 3

D.

40 3 cm 3

第 2 题图 【参考答案】C 【测量目标】三视图. 【试题分析】由题意得,该几何体为一立方体与四棱锥的组合,?体积

1 32 3 V ? 23 ? ? 22? 2 ? cm ,故选 C. 3 3
3. (15 浙江高考)已知 ?an ? 是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn ,若 a3 , a4 , a8 成等比 数列,则( ) B. a1d ? 0, dS4 ? 0 D. a1d ? 0, dS4 ? 0

A. a1d ? 0, dS4 ? 0 C. a1d ? 0, dS4 ? 0

【参考答案】B 【测量目标】等差数列的通项公式及前 n 项和,等比数列的概念. 【试题分析】? 等差数列 ?an ? , a3 , a4 , a8 成等比数列,

5 2 ? ? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? 2d ?? a1 ? 7d ? ? a1 ? ? d , 3 2 5 2 ? S4 ? 2 ? a1 ? a4 ? ? 2 ? a1 ? a1 ? 3d ? ? ? d ,? a1d ? ? d 2 ? 0, dS 4 ? ? d 2 ? 0 ,故选 3 3 3
B. 4. (15 浙江高考)命题“ ?n ? N? , f ? n ? ? N? 且 f ? n?≤n ”的否定形式是( A. ?n ? N? , f ? n ? ? N? 且 f ? n? ? n C. ?n0 ? N? , f ? n0 ? ? N? 且 f ? n0 ? ? n0 )

B. ?n ? N? , f ? n ? ? N? 或 f ? n? ? n D. ?n0 ? N? , f ? n0 ? ? N? 或 f ? n0 ? ? n0

【参考答案】D 【测量目标】命题的否定. 【试题分析】根据全称命题的否定是特称命题,可知选 D. 5. (15 浙江高考)如图, 设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F , 不经过焦点的直线上有三个不同的点

A, B, C , 其中点 A, B 在抛物线上, 点 C 在 y 轴上, 则△ BCF 与△ ACF 的面积之比是 (



第 5 题图

A.

BF ? 1 AF ? 1

B.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

C.

BF ? 1 AF ? 1

D.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

【参考答案】A 【测量目标】抛物线的标准方程及其性质. 【试题分析】

S△BCF BC xB BF ? 1 ,故选 A. ? ? ? S△ACF AC xA AF ? 1

6. (15 浙江高考 ) 设 A, B 是有限集,定义 d ? A, B? ? card? A ? B ? B ? ? card ? A ? ,其中

card ? A? 表示有限集 A 中的元素个数,
命题①:对任意有限集 A, B ,“ A ? B ”是“ d ? A, B ? ? 0 ”的充要条件; 命题②:对任意有限集 A, B, C , d ? A, C ?≤d ? A, B ? ? d ? B, C ? , A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立

C.命题①成立,命题②不成立 【参考答案】A 【测量目标】集合的性质.

D.命题①不成立,命题②成立

【 试 题 分 析 】 命 题 ① 显 然 正 确 , 通 过 下 面 文 氏 图 亦 可 知 d ? A, C? 表 示 的 区 域 不 大 于

d ? A, B? ? d ? B, C ? 的区域,故命题②也正确,故选 A.

第 6 题图

7. (15 浙江高考)存在函数 f ? x ? 满足,对任意 x ? R 都有( A. f ? sin 2x ? ? sin x
2 C. f x ? 1 ? x ? 1



B. f ?sin 2x ? ? x ? x
2
2 D. f x ? 2 x ? x ? 1

?

?

?

?

【参考答案】D 【测量目标】函数的概念. 【 试 题 分 析 】 A : 取 x ? 0 , 可 知 f ? sin 0 , 即 f ? 0? ? 0 , 再 取 x ? ? ? sin 0

π ,可知 2

π f ? sinπ ? ? sin ,即 f ? 0? ? 1,矛盾,? A 错误;同理可知 B 错误,C:取 x ? 1 ,可知 2

f ? 2? ? 2 , 再 取 x ? ? 1 , 可 知 f ? 2? ? 0 , 矛 盾 , ? C 错 误 , D : 令
t ? x? 1? ≥ t 0 1 ?? ?≥ t ?, ? ? f2 t ? t ?0 ? ? ? f x? ,符合题意,故选 1? x D.

D 是 AB 的中点, 8. (15 浙江高考)如图, 已知△ ABC , 沿直线 CD 将△ ACD 折成△ A?CD , 所成二面角 A? ? CD ? B 的平面角 ? ,则( )

A. ?A?DB≤? B. ?A?DB≥? 【参考答案】B 【测量目标】立体几何中的动态问题.

第 8 题图 C. ?A?CB≤?

D. ?A?CB≥?

【试题分析】根据折叠过程可知 ?A?CB 与 ? 的大小关系是不确定的,而根据二面角的定义 易得 ?A?DB≥? ,当且仅当 AC ? BC 时,等号成立,故选 B. 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9. (15 浙江高考)双曲线

x2 ? y 2 ? 1的焦距是_________,渐近线方程是__________. 2

【参考答案】 2 3 , y ? ?

2 x. 2

【测量目标】双曲线的标准方程及其性质. 【试题分析】由题意得: a ? 渐近线方程 y ? ?

2, b ? 1, c ? a 2 ? b2 ? 2 ? 1 ? 3 ,? 焦距为 2c ? 2 3 ,

b 2 x?? x. a 2

2 ? ? x ? x ? 3, x≥1 10. (15 浙江高考)已知函数 f ? x ? ? ? , 则 f ? f ? ?3? ? ? _________, f ? x ? 的 ?lg ? x 2 ? 1? , x ? 1 ?
最小值是___________. 【参考答案】0, 2 2 ? 3 . 【测量目标】分段函数. 【试题分析】 f

? f ? ?3?? ? f ?1? ? 0 ,当 x≥1 时, f ? x ?≥2
2

2 ? 3 ,当且仅当 x ? 2 时,

等号成立, 当 x ? 1 时,f ? x ?≥0 , 当且仅当 x ? 0 时, 等号成立, 故 f ? x ? 最小值为 2 2 ? 3 . 11. (15 浙江高考)函数 f ? x ? ? sin x ? sin x cos x ?1 的最小正周期是__________,单调递减 区间是_________. 【参考答案】 π, ?

7π ? 3π ? ? kπ, ? kπ ? , k ? Z . 8 ?8 ?

【测量目标】三角恒等变形,三角函数的性质. 【试题分析】 f ? x ? ?

2 π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? ,故最小正周期为 π ,单调递减区间为 2 4? 2 ?

7π ? 3π ? ? kπ, ? kπ ? , k ? Z . ? 8 ?8 ?
12. (15 浙江高考)若 a ? log4 3 ,则 2 ? 2
a ?a

? ________.

【参考答案】

4 3 3

【测量目标】对数的计算. 【试题分析】? a ? log 4 3,? 4 ? 3 ? 2 ? 3,? 2 ? 2
a a a ?a

? 3?

1 4 ? 3. 3 3

13. (15 浙江高考)如图,三棱锥 A ? BCD 中, AB ? AC ? BD ? CD ? 3, AD ? BC ? 2 ,点

M , N 分别是 AD, BC 的中点,则异面直线 AN , CM 所成的角的余弦值是____________.

第 13 题图 【参考答案】

7 8

【测量目标】异面直线的夹角. 【试题分析】如下图,连结 DN ,取 DN 中点 P ,连结 PM , PC ,则可知 ?PMC 即为异

, 面 直 线 A N

C 所 M 成 角 ( 或 其 补 角 ) 易 得 : PM ?

1 AN ? 2 , 2

PC ? PN 2 ? CN 2 ? 2 ?1 ? 3 , CM ? AC2 ? AM 2 ? 2 2 ,
? cos ?PMC ?
7 8? 2?3 7 ? ,即异面直线 AN , CM 所成角的余弦值为 . 8 2? 2 2 ? 2 8

第 13 题图 14. (15 浙江高考 ) 若实数 x, y 满足 x2 ? y 2≤ 1 ,则 2x ? y ? 2 ? 6 ? x ?3y 的最小值是 _________. 【参考答案】3 【测量目标】线性规划的运用,分类讨论的数学思想,直线与圆的位置关系. 【试题分析】 x ? y ≤ 1 表示圆 x ? y ? 1及其内部,易得直线 6 ? x ? 3 y 与圆相离,故
2 2 2 2

6 ? x ? 3 y ? 6 ? x ? 3 y ,当 2 x ? y ? 2≥0 时, 2x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3 y ? x ? 2 y ? 4,如
下图所示,可行域为小的弓形内部,目标函数 z ? x ? 2 y ? 4 ,则可知当 x ?

3 4 , y ? 时, 5 5

zmin ? 3 ,当 2 x ? y ?2 ?0 时, 2x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3 y ? 8 ? 3x ? 4 y ,可行域为大的弓形

内部,目标函数 z ? 8 ? 3x ? 4 y ,同理可知当 x ?

3 4 , y ? 时, zmin ? 3 ,综上所述, 5 5

2x ? y ? 2 ? 6 ? x ?3y 的最小值为 3.

第 14 题图 15. (15 浙 江 高 考 ) 已 知 e1 , e2 是 空 间 单 位 向 量 , e1 ? e2 ?

1 ,若空间向量 b 满足 2


b ? e1 ? 2, b ? e2 ?

5 2











x, y ? R



b ? ? xe1 ? ye2 ? ≥ b ? ? x0 e1 ? y0 e2 ? ? 1? x0 , y0 ? R ? , 则 x0 ? ______ , y0 ? _______ ,

b ? _________.
【参考答案】 1 , 2 , 2 2 【测量目标】平面向量的模长,函数值的最值. 【试题分析】问题等价于 b ? ? xe1 ? ye2 ? 当且仅当 x ? x0 , y ? y0 时,取得最小值 1,两边 平 方 即 b ? x ? y ? 4 x ? 5 y ? xy 在 x ? x0 , y ? y0 时 , 取 得 最 小 值
2 2 2

1 ,

y?4? 3 2 ? b ? x ? y ? 4 x ? 5 y ? xy ? x ? ? y ? 4? x ? y ? 5 y ? b ? ? x ? ? ? ? y ? 2? 2 ? 4 ?
2 2 2 2 2 2

2

y0 ? 4 ? ? x0 ? 2 ? 0 ? x0 ? 1 ? ? ? ?7 ? b 2 ,? ? y0 ? 2 ? 0 ? ? y0 ? 2 . ? ? 2 ?b ? 2 2 ??7 ? b ? 1 ? ?
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (15 浙江高考)(本小题满分 14 分) 在△ ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 A ? (1)求 tan C 的值; (2)若△ ABC 的面积为 7,求 b 的值. 【测量目标】三角恒等变形,正弦定理.

π 2 1 , b ? a2 ? c2 . 4 2

1 2 1 1 c 及 正 弦 定 理 得 sin 2 B ? ? sin 2 C , 2 2 2 π 3 π cos C , ?? cos 2B ? sin 2 C ,又由 A ? ,即 B ? C ? ,得 ? cos2 B ? sin 2 C ?2sin C 4 4
【 试 题 分 析 】( 1 ) 由 b ? a ?
2 2

C? 解得 tan

2 C? ;( 2 ) 由 t a n

2 , C ? ? 0, π ? 得 sin C ?

2 5 5 ,又 , cos C ? 5 5

?s i n B ? s ?i n A? C ??
?A?

3 10 2 2 ?π ? ,由正弦定理得 c ? b ,又 n C ?s i ? ? , ? sin B ? 10 3 ?4 ?

π 1 , bc sinA ? 7, ? bc ? 14 2 ,故 b ? 21 . 4 2

17. (15 浙 江 高 考 ) ( 本 题 满 分 15 分 ) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 ,
? , ?B A C?9 0 , AB ? AC ? 21 , A? A 4A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点, D 为 B1C1 的

中点. (1)证明: A1D ? 平面 A 1BC ; (2)求二面角 A1 ? BD ? B1 的平面角的余弦值.

第 17 题图 【测量目标】线面垂直的判定与性质,二面角的求解. 【试题分析】 ( 1 ) 设 E 为 BC 中 点 , 由 题 意 得 A1E ? 平 面 ABC , ? A1E ? AE ,

? AB ? AC,? AE ? BC ,故 AE ? 平面 A1 BC ,由 D, E 分别为 B1C1 , BC 的中点,得

DE //B1B 且 DE ? B1B ,从而 DE //A1 A ,所以四边形 A1 AED 为平行四边形,故 A1D //AE ,
又? AE ? 平面 A (2)作 AF ?BD ?F ,连 ? BD ,且 AF 1BC ,? A 1BC ; 1 1 D ? 平面 A 1

? 结 B1F , 由 A E

E?B 2 , ?A1EA ? ?A1EB ? 90? , 得 A1B ? A1 A ? 4 , 由

A1D ? B1D, A1B ? B1B , 得 △A1DB ? △B1DB , 由 A1 F ? BD, 得 B1 F ? BD, 因 此

?A1FB1 为二面角 A1 ? BD ? B1 的平面角,由 A1 F ? B1 F ?
1 cos ?A1 FB1 ? ? . 8

4 ,且 A1B1 ? 2, 由余弦定理得, 3

第 17 题图 18. (15 浙江高考) (本题满分 15 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? b ? a, b ? R ? , 记 M ?a b ,
2

?是

f ? x ? 在区间 ??1,1? 上的最大值.
(1)证明:当 a ≥2 时, M ? a, b ?≥2 ; (2)当 a , b 满足 M ? a, b ?≤2 时,求 a ? b 的最大值. 【测量目标】二次函数的性质,分类讨论的思想. 【试题分析】 ( 1 )由 f ? x ? ? ? x ?

? ?

a a? a2 ,得对称轴为直线 x ? ? ,由 a ≥2 得 ? b ? ? 2 2? 4

2

a ? ≥1 ,故 f ? x ? 在 ??1,1? 上单调,? M ? a, b ? ? max f ?1? , f ? ?1? ,当 a≥2 时,由 2

?

?

f ?1? ? f ? ?1? ? 2a≥4 ,得 max ? f ?1?,f ? ?1??≥2 ,即 M ? a, b ?≥2 ;当 a≤- 2 时,由 f ? ?1? ? f ?1? ? ?2a≥4 ,得 m ax ? f ? ? 1 ?, ? f1 ? 2 ??≥
,即 M ? a, b ?≥2 ,综上,当 a ≥2

时, M ? a, b ?≥2 ; (2)由 M ? a, b ?≤2 得 1 ? a ? b ? f ?1?≤2,1 ? a ? b ? f ? ?1?≤2 ,故

? ? a ? b , ab≥0 ,得 a ? b ≤3 ,当 a ? 2, b ? ? 1时, a ? b ≤3, a ? b ≤3 ,由 a ? b ? ? ? ? a ? b , ab ? 0

a ? b ? 3 ,且 x 2 ? 2 x ? 1 在 ??1,1? 上的最大值为 2 ,即 M ? 2, ?1 ? ? 2 ,所以 a ? b 的最
大值为 3 . 19. (15 浙江高考)(本题满分 15 分)已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1上两个不同的点 A, B 关于直线 2

1 y ? mx ? 对称. 2
(1)求实数 m 的取值范围; (2)求△ AOB 的面积最大值( O 为坐标原点).

第 17 题图 【测量目标】直线与椭圆的位置关系,点到直线的距离公式,求函数最值.

? x2 ? y2 ? 1 ? 1 ?2 【试题分析】 (1)由题知 m ? 0 ,可设直线 AB 的方程为 y ? ? x ? b ,由 ? m ? y ? ? 1 x ?b ? m ?
消去 y ,得 ?

1 x2 ? 1 1 ? 2 2b ? 2 ? x ? x ? b2 ? 1 ? 0 ,? 直线 y ? ? x ? b 与椭圆 ? y 2 ? 1有两 m 2 m ?2 m ?
2

个不同的交点,?? ? ?2b ? 2 ? 将 AB 中点 M ?

4 ?0 m2



? 2mb m 2b ? 1 m2 ? 2 , y ? mx ? b ? ? 代入直线方程 解得 ? 2 2 2 2m 2 ?m ?2 m ?2?



由 ①② 得 m ? ?

1 ? 6 6 6 , 或 m? ;( 2 ) 令 t ? ? ? ? ? m ? 2 3 3

? ? 0 ? ??? ? ? ?

? 6 0 ,? , 则 ? 2 ?

AB ? t 2 ? 1 ?

?2t 4 ? 2t 2 ? t2 ? 1 2

3 1 t2 ? 2 ,且 O 到直线 AB 的距离为 d ? 2 ,设△ AOB 的面 2 t ?1
2

1 1 1? 2 1 ? 2 ?2 ? t 2 ? ? ? 2≤ 积为 S ? t ? ,? S ? t ? ? AB ? d ? ,当且仅当 t ? 时,等号成 2 2 2 2? 2 ?
立,故△ AOB 面积的最大值为

2 . 2
1 2 ? 且 an ?1 ? an ? an ? n ? N ? 2

20. (15 浙江高考)(本题满分 15 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? (1)证明: 1≤

an ≤2 ? n ? N? ? ; an?1

2 (2)设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,证明

? ?

S 1 1 ≤ n≤ n ? N? ? . ? 2 ? n ? 2 ? n 2 ? n ? 1?
1 2

【测量目标】数列与不等式结合综合题.

an a,n ≤ , 【试题分析】 (1) 由题意得, 即 an ?1≤ 由 an ? ?1 ? an?1 ? an?1 an?1 ? an ? ?an 2≤0 ,
得 an ? ?1 ? an?1 ??1 ? an?2 ???1 ? a1 ? a1 ? 0 ,由 0≤an ≤ 得

1 2

an an a 1 ( 2 ) 由 题 意 得 an 2 ? an? a ? ? ? ?1, 2? , 即 1≤ n ≤2 ; ? n 1 , 2 an?1 an ? an 1 ? an an?1

? Sn ? a1 ? an?1 ① , 由
? n≤

a a 1 1 1 1 ? ? n 和 1≤ n ≤2 得 1≤ ? ≤2 , an ?1 an an ?1 an an ?1 an?1

1 1 1 1 ≤an?1≤ n ? N? ? ② , 由 ①② 得 ? ≤2n , 因 此 ? an?1 an 2 ? n ? 1? n?2

S 1 1 . ≤ n≤ 2 ? n ? 2 ? n 2 ? n ? 1?


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