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高中数学 (2.1 几类不同增长的函数模型 第2课时)示范教案 新人教A版必修1


第 2 课时

几类不同增长的函数模型

导入新课 思路 1 情景导入 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者, 问他要什么.发明者说: “请 在棋盘的第一个格子里放上 1 颗麦粒,第 2 个格子里放上 2 颗麦粒,第 3 个格子里放上 4 颗麦粒,依次类推,每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍,直到第 6

4 个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高,就欣然同意了.假定 千粒麦子的质量为 40 g,据查,目前世界年度小麦产量为 6 亿吨,但不能满足发明者要求, 这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异. 思路 2 直接导入 x n 我们知道,对数函数 y=logax(a>1),指数函数 y=a (a>1)与幂函数 y=x (n>0)在区间(0,+∞) 上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、 对数函数、 二次函 数的增长差异. 推进新课 新知探究 提出问题 x 2 ①在区间(0,+∞)上判断 y=log2x,y=2 ,y=x 的单调性. ②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象. ③结合函数的图象找出其交点坐标. x 2 2 x ④请在图象上分别标出使不等式 log2x<2 <x 和 log2x<x <2 成立的自变量 x 的取值范围. ⑤由以上问题你能得出怎样结论? 讨论结果: x 2 ①在区间(0,+∞)上函数 y=log2x,y=2 ,y=x 均为单调增函数. ②见下表与图 3-2-1-12. x y=2 y=x
x

0.2 1.149 0.04 -2.32 2

0.6 1.516 0.36 -0.73 7

1.0 2 1 0

1.4 2.639 1.96 0.485

1.8 3.482 3.24 0.848

2.2 4.959 4.84 1.138

2.6 6.063 6.67 1.379

3.0 8 9 1.585

3.4 10.55 6 11.56 1.766

2

y=log2 x

图 3-2-1-12 ③从图象看出 y=log2x 的图象与另外两函数的图象没有交点, 且总在另外两函数的图象的下 x 2 方,y=2 的图象与 y=x 的图象有两个交点(2,4)和(4,16). x 2 2 x ④不等式 log2x<2 <x 和 log2x<x <2 成立的自变量 x 的取值范围分别是(2,4)和(0,2)∪(4,
1

+∞). ⑤我们在更大的范围内列表作函数图象(图 3-2-1-13), x y=2 y=x
x 2

0 1 0

1 2 1

2 4 4

3 8 9

4 16 16

5 32 25

6 64 36

7 128 49

8 256 64

图 3-2-1-13 x 2 容易看出:y=2 的图象与 y=x 的图象有两个交点(2,4)和(4,16),这表明 2 与 x 在自变量 x 2 2 x 不同的区间内有不同的大小关系,有时 2 <x ,有时 x <2 . x x 但是,当自变量 x 越来越大时,可以看到,y=2 的图象就像与 x 轴垂直一样,2 的值快速增 2 x 长,x 比起 2 来,几乎有些微不足道,如图 3-2-1-14 和下表所示.
x 2

x y=2 y=x
x

0 1 0

10 1024 100

20 1.05E+0 6 400

30 1.07E+0 9 900

40 1.10E+1 2 1600

50 1.13E+1 5 2500

60 1.15E+1 8 3600

70 1.18E+2 1 4900

80 1.21E+2 4 6400

2

图 3-2-1-14 n 一般地,对于指数函数 y=a (a>1)和幂函数 y=x (n>0),通过探索可以发现,在区间(0,+∞) x n x 上,无论 n 比 a 大多少,尽管在 x 的一定变化范围内,a 会小于 x ,但由于 a 的增长快于 n x n x 的增长,因此总存在一个 x0,当 x>x0 时,就会有 a >x . n 同样地,对于对数函数 y=logax(a>1)和幂函数 y=x (n>0),在区间(0,+∞)上,随着 x 的增 大, logax 增长得越来越慢, 图象就像是渐渐地与 x 轴平行一样.尽管在 x 的一定变化范围内, n n logax 可能会大于 x ,但由于 logax 的增长慢于 x 的增长,因此总存在一个 x0,当 x>x0 时,就 n 会有 logax<x . x n 综上所述, 尽管对数函数 y=logax(a>1),指数函数 y=a (a>1)与幂函数 y=x (n>0)在区间(0, +∞) x 上都是增函数, 但它们的增长速度不同, 而且不在同一个“档次”上.随着 x 的增大, y=a (a>1) n 的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y=x (n>0)的增长速度,而 y=logax(a>1)的增长速 n x n 度则会越来越慢.因此, 总会存在一个 x0, 当 x>x0 时, 就会有 logax<x <a .虽然幂函数 y=x (n>0)
x

2

增长快于对数函数 y=logax(a>1)增长,但它们与指数增长比起来相差甚远,因此指数增长又 称“指数爆炸”. 应用示例 思路 1 例 1 某市的一家报刊摊点,从报社买进《晚报》的价格是每份 0.20 元,卖出价是每份 0.30 元, 卖不掉的报纸可以以每份 0.05 元的价格退回报社.在一个月(以 30 天计)里, 有 20 天每 天可卖出 400 份,其余 10 天每天只能卖出 250 份,但每天从报社买进的份数必须相同,这 个摊主每天从报社买进多少份, 才能使每月所获的利润最大?并计算他一个月最多可赚得多 少元? 活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导: 设摊主每天从报社买进 x 份,显然当 x∈[250,400]时,每月所获利润才能最大.而每月 所获利润=卖报收入的总价-付给报社的总价 .卖报收入的总价包含三部分:①可卖出 400 份的 20 天里, 收入为 20·0.30x; ②可卖出 250 份的 10 天里, 收入为 10·0.30·250; ③10 天里多进的报刊退回给报社的收入为 10·0.05·(x-250).付给报社的总价为 30·0.20x. 解:设摊主每天从报社买进 x 份,显然当 x∈[250,400]时,每月所获利润才能最大.于 是每月所获利润 y 为 y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x-250)-30·0.20x=0.5x+625,x∈[250,400]. 因函数 y 在[250,400]上为增函数,故当 x=400 时,y 有最大值 825 元. 例 2 某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液 中的含药量 y 与时间 t 之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式; (2)据测定:每毫升血液中含药量不少于 4 微克时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次 服药时间为上午 7:00,问一天中怎样安排服药的时间(共 4 次)效果最佳?

图 3-2-1-15

?6t ,0 ? t ? 1, ? 解:(1)依题意,得 y= ? 2 20 ? t ? ,1 ? t ? 10 . ? 3 ? 3
(2)设第二次服药时在第一次服药后 t1 小时,则 ?

2 20 t1+ =4,t1=4.因而第二次服药应在 3 3

11:00; 设第三次服药在第一次服药后 t2 小时,则此时血液中含药量应为两次服药量的和,即有

2 20 2 20 ? t2+ ? (t2-4)+ =4,解得 t2=9 小时,故第三次服药应在 16:00; 3 3 3 3
设第四次服药在第一次后 t3 小时(t3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,此时血液中含 药量应为第二、三次的和,? 服药应在 20:30. 变式训练

2 20 2 20 (t2-4)+ ? (t2-9)+ =4,解得 t3=13.5 小时,故第四次 3 3 3 3

3

通过研究学生的学习行为, 心理学家发现, 学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题 所用的时间:讲座开始时,学生兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理 想的状态;随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用 f(x)表示学生接受概念的 能力〔f(x)的值愈大,表示接受的能力愈强〕 ,x 表示提出和讲授概念的时间(单位:分), 可有以下的公式:

?? 0.1x 2 ? 2.6 x ? 43.0 ? x ? 10, ? f(x)= ?59.10 ? x ? 16, ?? 3x ? 107 .16 ? x ? 30. ?
(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间? (2)开讲后 5 分钟与开讲后 20 分钟比较,学生的接受能力何时强一些? 2 2 解:(1)当 0<x≤10 时,f(x)=-0.1x +2.6x+43=-0.1(x-13) +59.9, 由 f(x)的图象,知当 x=10 时, [f(x)]max=f(10)=59; 当 10<x≤16 时,f(x)=59;当 16<x≤30 时,f(x)=-3x+107, 由 f(x)的图象,知 f(x)<-3×16+107=59. 因此,开讲后 10 分钟,学生的接受能力最强,并能持续 6 分钟. 2 (2)∵f(5)=-0.1×(5-13) +59.9=53.5,f(20)=-3×20+107=47<53.5, ∴开讲后 5 分钟时学生的接受能力比开讲后 20 分钟强. 点评:解析式与图象的转换是函数应用的重点,关于分段函数问题更应重点训练. 思路 2 例 3 2007 山东滨州一模,文 20 一工厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价为 60 元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 时,每多订购 1 个,订购的全部零 件的单价就降低 0.02 元,但最低出厂单价不低于 51 元. (1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个时,零件的实际出厂价为 p 元,写出 p=f(x). (3)当销售商一次订购量分别为 500、1 000 个时,该工厂的利润分别为多少? (一个零件的利润=实际出厂价-成本) 解:(1)设一次订购量为 a 个时,零件的实际出厂价恰好为 51 元,则 a=100+

60 ? 51 50 个. 0.02

?60,0 ? x ? 100 , ? x ? ,100 ? x ? 550 , 其中 x∈N*. (2)p=f(x)= ?62 ? 50 ? ? ?51, x ? 550 ,
(3) 当 销 售 商 一 次 订 购 量 为 x 个 时 , 该 工 厂 的 利 润 为 y, 则

?20 x, ? x ? 100 , ? x2 ? y=(p-40)x= ?22 x ? ,100 ? x ? 550 , 其 中 x∈N*, 故 当 x=500 时 ,y=6000; 当 x=1000 50 ? ? ?11x, x ? 550 .
时,y=11000. 点评:方程中的未知数设出来后可以参与运算,函数解析式为含 x、y 的等式. 例 4 甲、乙两人连续 6 年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面 的信息,分别得到甲、乙两图:

4

图 3-2-1-16 甲调查表明:每个鱼池平均产量从第 1 年 1 万只鳗鱼上升到第 6 年 2 万只. 乙调查表明:全县鱼池总个数由第 1 年 30 个减少到第 6 年 10 个. 请你根据提供的信息说明: (1)第 2 年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数. (2)到第 6 年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第 1 年扩大了还是缩小了?请说明理 由. (3)哪一年的规模(即总产量)最大?请说明理由. 活动:观察函数图象,学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示: 先观察图象得出相关数据,利用数据找出函数模型. 解:由题意可知,甲图象经过(1,1)和(6,2)两点, 从而求得其解析式为 y 甲=0.2x+0.8, 乙图象经过(1,30)和(6,10)两点, 从而求得其解析式为 y 乙=-4x+34. (1)当 x=2 时,y 甲=0.2×2+0.8=1.2,y 乙=-4×2+34=26, y 甲·y 乙=1.2×26=31.2. 所以第 2 年鱼池有 26 个,全县出产的鳗鱼总数为 31.2 万只. (2)第 1 年出产鳗鱼 1×30=30(万只),第 6 年出产鳗鱼 2×10=20(万只),可见,第 6 年这个县 的鳗鱼养殖业规划比第 1 年缩小了. (3)设当第 m 年时的规模总产量为 n, 2 那么 n=y 甲·y 乙=(0.2m+0.8)(-4m+34)=-0.8m +3.6m+27.2 2 2 =-0.8(m -4.5m-34)=-0.8(m-2.25) +31.25.因此,当 m=2 时,nmax=31.2, 即当第 2 年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为 31.2 万只. 知能训练 2007 山东高考样题,文 18 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本 与上市时间的关系用图(2)的抛物线段表示. (1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系 P=f(t); 写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式 Q=g(t); (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?

(1)

(2)

5

图 3-2-1-17 2 (注:市场售价和种植成本的单位:元/10 kg,时间单位:天) 活动:学生在黑板上书写解答.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正. 解:(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)= ?

?3000 ? t.0 ? t ? 200 , ?2t ? 300 ,200 ? t ? 300 .

由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=

1 2 (t-150) +100,0≤t≤300. 200

(2)设 t 时刻的纯收益为 h(t),则由题意得 h(t)=f(t)-g(t).

? 1 2 1 175 ? t ? t? ,0 ? t ? 200 , ? ? 200 2 2 即 h(t)= ? ?? 1 t 2 ? 2 t ? 1025 ,200 ? t ? 300 . ? 7 2 ? 200
当 0≤t≤200 时,配方整理,得 h(t)= ?

1 2 (t-50) +100, 200 1 2 (t-350) +100, 200

所以当 t=50 时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值 100; 当 200<t≤300 时,配方整理,得 h(t)= ?

所以当 t=300 时,h(t)取得区间[200,300]上的最大值 87.5. 综上,由 100>87.5 可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值 100,此时 t=50,即从 二月一日开始的第 50 天时,上市的西红柿纯收益最大. 点评: 本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题, 考查运用所学知识 解决实际问题的能力. 拓展提升 探究内容 ①在函数应用中如何利用图象求解析式. ②分段函数解析式的求法. ③函数应用中的最大值、最小值问题. 举例探究:(2007 山东省青岛高三教学质量检测,理 21)某跨国公司是专门生产健身产品的 企业,第一批产品 A 上市销售 40 天内全部售完,该公司对第一批产品 A 上市后的国内外市 场销售情况进行调研,结果如图 3-2-1-18(1)、图 3-2-1-18(2)、图 3-2-1-18(3)所示.其中 图 3-2-1-18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系;图 3-2-1-18(2)的 抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系;图 3-2-1-18(3)的折线表示的是每 件产品 A 的销售利润与上市时间的关系.

图 3-2-1-18 (1)分别写出国外市场的日销售量 f(t)、 国内市场的日销售量 g(t)与第一批产品 A 上市时间

6

t 的关系式; (2)第一批产品 A 上市后的哪几天, 这家公司的国内和国外日销售利润之和超过 6 300 万元? 分析:1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式. 2.在 t∈[0,40]上,有几个分界点,请同学们思考应分为几段. 3.回忆函数最值的求法. 解:(1)f(t)= ?

?2t ,0 ? t ? 30, 3 2 g(t)= ? t +6t(0≤t≤40). 20 ?? 6t ? 240 ,30 ? t ? 40, ?3t ,0 ? t ? 20, . ?60,20 ? t ? 40.

(2)每件 A 产品销售利润 h(t)= ?

3 2 ? ?3t (? 20 t ? 8t ),0 ? t ? 20, ? 3 2 ? 该公司的日销售利润 F(t)= ?60 ( ? t ? 8t ), 20 ? t ? 30, , 20 ? 3 2 ? ?60 (? 20 t ? 240 ),30 ? t ? 40, ?
当 0≤t≤20 时,F(t)=3t( ? 设 F(t1)-F(t2)=3t1( ? 0≤t1

3 2 t +8t),先判断其单调性. 20
< t2≤20, 则

3 2 3 2 9 2 t1 +8t1)-3t2( ? t2 +8t2)= ? (t1+t2)(t1-t2) . 20 20 20

∴F(t)在[0,20]上为增函数.∴F(t)max=F(20)=6 000<6 300.

3 2 70 t +8t)>6 300,则 <t<30; 20 3 3 2 3 2 当 30<t≤40 时,F(t)=60( ? t +240)<60( ? ×30 +240)=6 300, 20 20
当 20<t≤30 时,令 60( ? 故在第 24、25、26、27、28、29 天日销售利润超过 6 300 万元. 点评: 1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式,重点是找出关键 点. 2.在 t∈[0,40]上,有几个分界点,t=20,t=30 两点把区间分为三段. 3.二次函数的最值可用配方法,另外利用单调性求最值也是常用方法之一. 课堂小结 本节学习了:①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.②幂函数、指数函数、对数函数 的应用. 作业 课本 P107 习题 3.2A 组 3、4. 设计感想 本节设计从精彩的故事开始, 让学生从故事中体会数学带来的震撼, 然后借助计算机感受不 同函数模型的巨大差异.接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力;并 且重点训练了由图象转化为函数解析式的能力,因为这是高考的一个重点.本节的每个例题 都很精彩,可灵活选用.

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