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2015高考预测金卷 文科数学(四川卷)word版


2015 高考预测金卷(四川卷)

数 学(文史类)
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)。第Ⅰ 卷 1 至 2 页,第Ⅱ 卷 3 至 4 页。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分 150 分。考试时间 120 分钟,考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ 卷 (选择题 共 50 分)
注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.设集合 M 满足{1,2} {1,2,3,4},则满足条件的集合 M 的个数为 A.1 B .2 C .3. D. 4 2.下列四个结论:① 若 x ? 0 ,则 x ? sin x 恒成立; ② 命题“若 x ? sin x ? 0, 则x ? 0 ”的逆命题为“若 x ? 0,则x ? sin x ? 0 ”; ③ “命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的充分不必要条件; ④ 命题“ ?x ? R ? , x ? ln x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R ? , x0 ? ln x0 ? 0 ”. 其中正确结论的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.执行右图所示的程序框图,则输出 s 的值为 A、

3 4

B、

4 5

C、

5 6

D、 5

4.如图是一个无盖器皿的三视图,正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为 2,正视 图、侧视图中的虚线都是半圆,则该器皿的表面积是 A.

? ? 24

B.

? ? 20

C. 2? ? 24

D. 2? ? 20

?1? 5.函数 y ? 1 ? ? ? 的值域为( ?2? A、 ?0,??? B、 ?0,1?
6.定义:在数列 ?a n ? 中,若满足

x

) C、 ?0,1? D、 ?0,1?

a n ? 2 a n ?1 ? ? d ( n ? N ? ,d 为常数),称 ?a n ? 为“等 a n ?1 an
a2015 ? a2013
D. 4 ? 20132

差 比数列”。已知在“等差比数列” ?a n ? 中, a1 ? a 2 ? 1, a3 ? 3, 则 A. 4 ? 20152 ? 1 B. 4 ? 2014 2 ? 1 C. 4 ? 20132 ? 1

?2 x ( x ? 0) 7.已知 f ( x) ? ? ,则方程 f [ f ( x)] ? 2 的根的个数是 ?| log 2 x | ( x ? 0)
A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个
2 2 2 8 . 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 b ? c ? bc ? a ? 0 , 则

a sin( 30? ? C ) 的值为 b?c
A.

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

9.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中,村长给 6 位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。 已知:① 食物投掷地点有远、近两处;② 由于 Grace 年纪尚小,所以要么不参与该项任 务,但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;③ 所有参 与搜寻任务的小孩须被均分成两组,一组去远处,一组去近处,那么不同的搜寻方案 有 A.80 种
2

B.70 种

C.40 种

D.10 种

10.已知抛物线 C: x ? 8 y 的焦点为 F,准线为 l ,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的 一个交点,若 PF ? 2FQ ,则 QF ? ( A.6 B.3 ) C.

8 3

D.

4 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知集合 A ? ? 1,2,3,4,5? , B ? ?2,4,6?,则 C A ( A ? B) ? _____________.

12.若函数 13 ? x ? 为

,则
5



? ?

a ?? 1? ?? 2 x ? ? 的 展 开 式 中 各 项 系 数 的 和 为 2 , 则 该 展 开 式 中 常 数 项 x ?? x?
. 条。

14.过点 A(11, 2) 作圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ?164 ? 0 的弦, 其中弦长为整数的共有 15 . 平 面 内 两 定 点 M ( 0 , 一 2 ) 和 N(0,2 ) , 动 点 P ( x , y ) 满 足 ,动点 P 的轨迹为曲线 E,给出以下命题: ①? m,使曲线 E 过坐标原点; ② 对 ? m,曲线 E 与 x 轴有三个交点; ③ 曲线 E 只关于 y 轴对称,但不关于 x 轴对称; ④ 若 P、M、N 三点不共线,则△ PMN 周长的最小值为 2 m +4; ⑤曲线 E 上与 M,N 不共线的任意一点 G 关于原点对称的另外一点为 H ,则四边形 GMHN 的面积不大于 m。 其中真命题的序号是 .(填上所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,设

f ( x) ? a 2 x 2 ? (a 2 ? b 2 ) x ? 4c 2 , ? (1)若 f (1) ? 0 ,且 B ? C ? ,求角 C 的大小; 3 (2)若 f (2) ? 0 ,求角 C 的取值范围。

17. (本题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S3 ? 0, S5 ? ?5 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {

1 } 的前 n 项和. a2 n ?1a2 n ?1

18.(本题满分 12 分)如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E、F 分别是棱 DD1 、 C1D1 的中点. (1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成角 ? 的正弦值; (2)证明:B1F∥ 平面 A1BE.

A1

D1 E

B1

F C1

19.(12 分)某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考 核。规定:只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核,否则将被淘汰;三轮考核都通过 才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为

2 3 4 , , ,且各轮 3 4 5

考核通过与否相互独立。 (1)求甲通过该高校自主招生考试的概率; (2)若学生甲每通过一轮考核,则家长奖励人民币 1000 元作为大学学习的教育基金。记 学生甲得到教育基金的金额为 X ,求 X 的分布列和数学期望。

20、(本小题 13 分)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,且过点 (2,1) 。 (Ⅰ )求抛物线的标准方程; (Ⅱ )与圆 x ? ( y ? 1) ? 1 相切的直线 l : y ? kx ? t 交抛物线于不同的两点 M , N 若抛物线
2 2

上 一 点 C 满 足 OC ? ? (OM ? ON ), (? ? 0) , 求 ? 的取值范围. y

N

M O

x

l

21.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ln x , g ( x) ? ax 2 ? bx (a、b 为常数). (1)求函数 f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程; (2)当函数 g(x)在 x=2 处取得极值-2.求函数 g ( x ) 的解析式; (3) 当 a ?

1 时,设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若函数 h( x) 在定义域上存在单调减区间, 2

求实数 b 的取值范围;

数学参考答案及评分意见(文史类)
第Ⅰ 卷(选择题,共 50 分) 1、【答案】C 解析:根据子集的定义,可得集合 M 必定含有 1、2 两个元素,而且含有 1,2,3,4 中 的至多三个元素.因此,满足条件{1,2}?M?{1,2,3,4}的集合 M 有:{1,2}、{1, 2,3}、{1,2,4},共 3 个.故选:C 2、【答案】C 解析:对于①,令 y=x﹣sinx,则 y′=1﹣cosx≥0,则有函数 y=x﹣sinx 在 R 上递增,则 当 x>0 时,x﹣sinx>0﹣0=0,则 x>sinx 恒成立.则①对;对于②,命题“若 x﹣sinx=0, 则 x=0”的逆否命题为“若 x≠0,则 x﹣sinx≠0”,则②对;对于③,命题 p∨q 为真,则 p,q 中至少有一个为真,不能推出 p∧q 为真,反之成立,则应为必要不充分条件,则③错; 对于④ ,命题“?x∈R,x﹣lnx>0”的否定是“?x0∈R,x0﹣lnx0≤0”.则④ 对. 综上可得,其中正确的叙述共有 3 个.故选 C. 3、【答案】B 解析:由程序框图的流程可知 k ? 1 时, s ? 0 ?

1 1 ? ; 2 2

k ? 2, s ?

1 1 2 2 1 3 3 1 4 ? ? ; k ? 3, s ? ? ? ; k ? 4, s ? ? ? ,然后得到 2 6 3 3 12 4 4 20 5

k ? 5 ,满足题意,输出结果。
4、【答案】A

解析:该器皿的表面积可分为两部分:去掉一个圆的正方体的表面积 s1 和半球的表面积 1 s2,s 1 = 6×2×2?π×1 2 = 24?π , s 2 = ×4π×1 2 = 2π ,故 s=s1+s2=π +24,故选 A. 2 5、【答案】C

? ? 1 ?x ? ? ? ?0 x x ? ?2? ?1? ?1? 解析:根据题意可知 ? ,所以 0 ? 1 ? ? ? ? 1 ,则函数 y ? 1 ? ? ? 的值域 x ?2? ?2? ? ?1? 1 ? ? 0 ? ? ? ?2? ?
为 ?0,1? ,故选 C. 6、【答案】C 解析:由题意可知: ∴ 数列{ ∴
a a a a2 ? 1, 3 ? 2, 3 ? 2 ? 3 ? 1 ? 2 . a1 a2 a2 a1

an ?1 }为以 1 为首项以 2 为公差的等差数列. an

an ?1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 .n∈N* an

所以

a2015 ? 4 ? 20132 ? 1 ,故选 C. a2013
1 ,作出 f(x) 4

7、【答案】C 【解析】由 f [ f ( x)] ? 2 ,设 f(A)=2,则 f(x)=A,则 log2 x ? 2 ,则 A=4 或 A= 的图像,由数型结合,当 A= 数是 5 个。 8、【答案】A 解析:由 b ? c ? bc ? a ? 0 得 cos A ?
2 2 2

1 时 3 个根,A=4 时有两个交点,所以 f [ f ( x)] ? 2 的根的个 4

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? ,又 A 为三角形内角,所以 2bc 2

A=120°,则

? 1? 3 ? 3?1 3 3 sin C ? cos C ? sin C ? ? cos C ? ? 2 ?2 2 2 a sin(30? ? C ) sin A sin ? 30? ? C ? ? ? 2? 2 ??1 ? ? b?c sin B ? sin C sin ? 60? ? C ? ? sin C 2 3 3 cos C ? sin C 2 2
,所以选 A. 9、【答案】C 解析:Grace 不参与该项任务,则有 故共有 30+10=40 种,故选:C.
10、【答案】A 解析:抛物线 C: x
2

=30 种;Grace 参与该项任务,则有

=10 种,

? 8 y 的焦点为 F(0,2),准线为 l :y=﹣2,
),则 =(﹣a,4), =(m, ﹣2),

设 P(a,﹣2),B(m,

∵ A.

,∴2m=﹣a,4=

﹣4,∴m =32,由抛物线的定义可得|QF|=

2

+2=4+2=6.故选

11、【答案】 { 1, 3, 5} 解析:由题意得 A 12、【答案】 ?

3, 5} 。 B ? ?2, 4? ,所以 CA ( A B) ? ?13 , , 5? ,故答案为 {1,

6 5

解析:因为 f ? x ? ? 2x ? f ? ?1? ? x2 ,所以 f ? ? x ? ? 2 f ? ?1? ? 2x ,则令

x ? 1 可得 f ? ?1? ? ?2 ,所以 f ? x ? ? ?4x ? x2 ,则 f ? ?1? ? 5 ,而 f ? ? x ? ? ?4 ? 2x ,则

f ? ? ?1? ? ?6 ,即
13、【答案】40

f ? ? ?1? 6 6 ? ? ,故答案为 ? 。 5 f ? ?1? 5

解析:令 x ? 1 则有 1 ? a ? 2 ,得 a ? 1 ,所以二项式为 ? x ?
3 2 ?22 ? C5 ? 23 ? C5 ? 40 所以答案为 40.

? ?

1 ?? 1? ?? 2 x ? ? 所以其常数项为 x ?? x?

5

14、【答案】32 解析:由题意可知过点 A(11, 2) 的最短的弦长为 10,最长的弦长为 26,所以共有弦长为整 数有 2+2×(26-10-1)=32. 15、【答案】①④⑤ 解析:∵ 平面内两定点 M(0,﹣2)和 N(0,2),动点 P(x,y) 满足| |?| |=m(m≥4),∴ ? =m ① (0,0)代入,可得 m=4,∴ ① 正确; 2 ② 令 y=0,可得 x +4=m,∴ 对于任意 m,曲线 E 与 x 轴有三个交点,不正确; ③ 曲线 E 关于 x 轴对称,但不关于 y 轴对称,故不正确; ④ 若 P、M、N 三点不共线,| |+| |≥2 =2 ,所以△ PMN 周长的最小值 为 2 +4,正确; ⑤ 曲线 E 上与 M、N 不共线的任意一点 G 关于原点对称的点为 H,则四边形 GMHN 的面 积为 2S△MNG=|GM||GN|sin∠ MGN≤m,∴ 四边形 GMHN 的面积最大为不大于 m,正确. 故答案为:① ④ ⑤ . 16、解:(1)由 f(1)=0,得 a2-a2+b2-4c2=0,∴ b=2c 又由正弦定理,得 b=2RsinB,c=2RsinC,将其代入上式,得 sinB=2sinC ∵ B-C= ∴ B=+C,将其代入上式,得 sin(+C)=2sinC ∴ sincosC+cossinC=2sinC,整理得,sinC=cosC,∴ tanC= ∵ 角 C 是三角形的内角,∴ C=
2 2 2 2

---------------6 分
2

(2)∵ f(2)=0,∴ 4a -2a +2b -4c =0,即 a +b2-2c2=0 ------7 分 由余弦定理,得 cosC== ∴ cosC=≥=(当且仅当 a=b 时取等号) ---------------------10 分 ∴cosC≥,∠C 是锐角,又∵余弦函数在(0,)上递减,∴0<C≤ ---------

12 分

17 解答: 设 {an } 的公差为 d ,则由题得

?3a1 ? 3d ? 0 ? a1 ? 1, d ? ?1 ? ?5a1 ? 10d ? ?5
则 an ? 2 ? n (2)由(1)得 则所求和为 6分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) a2 n ?1a2 n ?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1
6分

n 1 ? 2n

18.解:(1)设 G 是 AA1 的中点,连接 GE,BG.∵E 为 DD1 的中点,ABCD—A1B1C1D1 为正方体,∴GE∥AD,又∵AD⊥平面 ABB1A1,∴GE⊥平面 ABB1A1,且斜 线 BE 在平面 ABB1A1 内的射影为 BG,∴Rt△BEG 中的∠EBG 是直线 BE 和 平面 ABB1A1 所成角,即∠ EBG= ? .设正方体的棱长为 a ,∴ GE ? a ,

BG ?

5 3 a , BE ? BG 2 ? GE 2 ? a , 2 2

∴直线 BE 和平面 ABB1A1 所成角 ? 的正弦值为: sin ? ?

GE 2 ? ;??6 分 BE 3

(2)证明:连接 EF、AB1、C1D,记 AB1 与 A1B 的交点为 H,连接 EH. ∵H 为 AB1 的中点,且 B1H=

1 1 C1D,B1H∥C1D,而 EF= C1D,EF∥C1D, 2 2

∴B1H∥EF 且 B1H=EF,四边形 B1FEH 为平行四边形,即 B1F∥EH, 又∵B1F ? 平面 A1BE 且 EH ? 平面 A1BE,∴B1F∥平面 A1BE. ??12 分 19、(1)

2 (2) X 的分布列为 5

数学期望为 E ( X ) ? 0 ?

1 1 1 2 4700 ? 1000 ? ? 2000 ? ? 3000 ? ? -3 6 10 5 3

解析:(1)设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件 A,则 P(A)= 所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为

2 3 4 2 ? ? ? 3 4 5 5

2 -------------4 分 5


(2) X 的可能取值为 0 元,1000 元,2000 元,3000 元--------------5 分

2 1 ? 3 3 2 3 4 1 P( X ? 2000) ? ? ?(1? ) ? 3 4 5 10 P ( X ? 0) ? 1 ?



2 3 1 P( X ? 1000) ? ? (1 ? ) ? 3 4 6

2 3 4 2 P( X ? 3000) ? ? ? ? ------------------9 分 3 4 5 5
所以, X 的分布列为

数学期望为 E ( X ) ? 0 ? 12 分 20、

1 1 1 2 4700 ? 1000 ? ? 2000 ? ? 3000 ? ? --------------------3 6 10 5 3

(1) x 2 ? 4 y ………4 分 (2)由圆心 ? 0, ?1? 到直线 l 的距离 d ?

t ?1
2

k ?1 y ? kx ? t ? 设交点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,由 ? 2 ? x 2 ? 4kx ? 4t ? 0 ? x ? 4y
其中 ? ? 16k 2 ? 16t ? 0 ? t 2 ? 3t ? 0 ? t ? 0或t ? ?3

? 1 ? k 2 ? t 2 ? 2t

? x1 ? x2 ? 4k ? y1 ? y2 ? 4k 2 ? 2t ? ? x1 x2 ? ?4t

………9 分

? OC ? ? OM ? ON ? ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ? (4k , 4k 2 ? 2t ) 代入 x 2 ? 4 y
得 ? 4k ? ? ? 4? (4k 2 ? 2t )
2

?

?

即 分

2k 2 ? t t 1 1 ?? ? 1? 2 ? 1? ? 2 2k 2k 2 t?2

………11

t ? 0或t ? ?3 , 在
?1 ? ? 5? ? ? ? ? ,1? ?1, ? …13 分 ?2 ? ? 4?

? ??, ?3? , (0,?? )

都 是 单 调 递 减 函 数

21 .解: (1) 由 f ( x ) ? ln x ( x ? 0 ) ,可得 f / ( x ) ?

1 ( x ? 0 ) ,∴ f(x) 在点(1 , f(1)) 处 x / 的切线方程是 y ? f (1) ? f (1)( x ? 1) ,即 y ? x ? 1 , 所求切线方程为 y ? x ? 1 ; ??4 分
/

(2)∵又 g(x)= ax 2 ? bx 可得 g ( x ) ? 2ax ? b ,且 g(x)在 x=2 处取得极值-2.

? g ( 2) ? ?2 1 所求 g(x)= x 2 ? 2 x (x∈R) . 2

∴?

? g / ( 2) ? 0

,可得 ?

?4 a ? b ? 0 1 解得 a ? , b ? 2 . 2 ?4a ? 2b ? ?2
??8 分

(3)∵ h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? ln x ?

x 2 ? bx ? 1 1 2 ( x ? 0 ). x ? bx , h / ( x) ? x 2 x 2 ? bx ? 1 / 依 题 存 在 x ? 0 使 h ( x) ? ?0 , ∴ 即 存 在 x?0 使 x x 2 ? bx ? 1 ? 0 ,

1 (*) x 1 1 ( x ? 1)( x ? 1) 令 ? ( x ) ? x ? ( x ? 0) ,∵ ? / ( x ) ? 1 ? 2 ? ( x ? 0) . x x x2 1 ∴ ? ( x ) 在(0,1)上递减,在[1, ? ? )上递增,故 ? ( x ) ? x ? ? [ 2 , ? ? ) x ∵存在 x ? 0 ,不等式(*)成立,∴ b ? 2 .所求 b ? ( 2 , ? ? ).??14 分
∵不等式 x 2 ? bx ? 1 ? 0 等价于 b ? x ?


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