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2014版高中数学复习方略课时提升作业:6.5合情推理与演绎推理(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)


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课时提升作业(三十九)
一、选择题 1.(2013·上饶模拟)观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+ 8+9+10=72,?,可以得出的一般结论是 ( (A)n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=n2 (B)n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 (C)n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-1)=n2 (D)n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-1)=(2n-1)2 2.(2013·宝鸡模拟)观察下列数 1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,?中 x,y,z 的值 依次是 ( (A)13,39,123 (C)24,23,123 ) (B)42,41,123 (D)28,27,123 )

3.如图是 2012 年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照 此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是 ( )

4.(2013·海口模拟)记 Sn 是等差数列{an}前 n 项的和,Tn 是等比数列{bn}前 n 项 的积,设等差数列{an}公差 d≠0,若对小于 2011 的正整数 n,都有 Sn=S2011-n 成立,
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则推导出 a1006=0.设等比数列{bn}的公比 q≠1,若对于小于 23 的正整数 n,都有 Tn=T23-n 成立,则 ( (A)b11=1 (C)b13=1 ) (B)b12=1 (D)b14=1

5.将石子摆成如图的梯形形状.称数列 5,9,14,20,?为“梯形数列” .根据图形 的构成,此数列的第 2 012 项与 5 的差,即 a2 012-5=( )

(A)1 009×2 011 (C)1 009×2 009

(B)1 009×2 010 (D)1 010×2 011

6.已知 f1(x)=sinx+cosx,记 f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),?,fn(x)=f'n-1(x)(n∈N+ 且 n≥2),则 f1( )+f2( )+?+f2012( )= ( (A)503 (B)1006 (C)0 )

(D)2012 =x,两边同时
1? 5 2

7.求 1 ? 1 ? 1 ?

的值时,采用了如下的方法:令 1 ? 1 ? 1 ?

平方, 得 1+ 1 ? 1 ? 1 ?

=x2, 由极限的概念, 上式可以化为 1+x=x2, 解得 x ?
1 2? 1? 1 1 2 ??

(负值舍去).类比上述方法,可求得1 ?

的值为(

)

(A) 13 +1 (C)
13 ? 1 2

(B) 13 -1 (D)
13 ? 1 2

8.对于平面上的点集Ω ,如果连接Ω 中任意两点的线段必定包含于Ω ,则称Ω 为 平面上的凸集,给出平面上 4 个点集的图形如图(阴影区域及其边界):
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其中为凸集的是 ( (A)①② 二、填空题

) (C)③④ (D)①④

(B)②③

9.(能力挑战题)方程 f(x)=x 的根称为 f(x)的不动点,若函数 f(x)= 动点,且 x1=1000,xn+1= (n∈N*),则 x2012= .

有唯一不

10.(2013·黄山模拟)给出如下定理:“若 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高为 h,则有 = + ”,在四面体 P -ABC 中,若 PA,PB,PC 两两垂直,底面 ABC 上的高为 h,类 .

比上述定理,得到的正确结论是

11.(2013 · 长 安 模 拟 ) 已 知 i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,i5=i, ? 由 此 可 猜 想 i2014= .

12.(能力挑战题)已知 P(x0,y0)是抛物线 y2=2px(p>0)上的一点,过 P 点的切线方 程的斜率可通过如下方式求得: 在 y2=2px 两边同时求导,得: 2yy'=2p,则 y'= ,所以过 P 的切线的斜率:k= . 试用上述方法求出双曲线 x2- =1 在 P( , )处的切线方程为 三、解答题 13.(2013·潍坊模拟)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)(2)(3)(4)为 她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣 越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)
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.

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个小正方形.

(1)求出 f(5). (2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)的关系式,并根据你 得到的关系式求 f(n)的关系式.

答案解析
1.【解析】选 B.由已知的三个式子归纳:左边每一个式子均有 2n-1 项,且第一项 为 n, 则 最 后 一 项 为 3n-2, 右 边 均 为 2n-1 的 平 方 , 故 得 出 的 一 般 结 论 为 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 2.【解析】选 B.∵3=1×3,2=3-1,6=2×3,5=6-1,15=5×3,… ∴从第一个数开始每两个数为一组,每组的第二个都是第一个的 3 倍,且下一组 的第一个数是上一组的第二个数减 1,故 x=14×3=42,y=42-1=41,z=41×3=123, ∴x,y,z 分别为 42,41,123. 3.【解析】选 A.观察可知:该五角星对角上的两盏花灯(相连亮的看成一盏)依次 按顺时针方向隔一盏闪烁,故下一个呈现出来的图形是 A.
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4.【解析】选 B.由等差数列中 Sn=S2011-n,可导出中间项 a1006=0,类比得等比数列中 Tn=T23-n,可导出中间项 b12=1. 5. 【思路点拨】观察已知的三个图形中点的个数及其规律,从而得到一般结论, 再求 a2 012,得到表达式后通过化简变形与选项对照得出正确答案. 【 解 析 】 选 A. 由 给 出 的 三 个 图 形 可 知 , 第 n 个 图 形 中 共 有 2+3+4+ … +(n+2)= a2 012-5=

? n ? 4 ?? n ? 1? 个点,因此数列的第 2 012 项为 a = 2 016 ? 2 013 ,于是 2 012
2
2

2 016 ? 2 013 -5=1 008×2 013-5=1 009×2 013-2 013-5=1 009×2 011+ 2

2 018-2 013-5=1 009×2 011. 6.【思路点拨】先观察,归纳出 fn(x)的解析式的周期,再代入求解. 【解析】选 C.由已知可得 f1(x)=sinx+cosx,f2(x)=cosx-sinx,f3(x)=-sinxcosx,f4(x)=sinx-cosx,f5(x)=sinx+cosx,…,因此 f1( )+f2( )+…+f2012( ) =503[f1( )+f2( )+f3( )+f4( )] =503(1-1-1+1)=0. 7. 【解析】 选 C.令 x= 1 ?
2? 1? 1 1 1 2 ??

, 由极限的概念, 可化为 x=1+

1 , 得 x2+x-3=0, 2?x

于是 x ?

13 ? 1 (负值舍去). 2

【方法技巧】解题的关键是从欲求值式子的无限性出发,用变量表示其值,然 后建立关于这个变量的方程,通过解方程求得式子的值. 8.【思路点拨】根据凸集的定义,结合图形的形状特征即可判定. 【解析】选 B.根据凸集的定义,结合图形任意连线可得②③为凸集. 9.【解析】由 =x 得 ax2+(2a-1)x=0.

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因为 f(x)有唯一不动点,所以 2a-1=0,即 a= . 所以 f(x)= 所以 xn+1= = . =xn+ . = .

所以 x2012=x1+ ×2011=1000+ 答案:

10.【解析】由平面类比到空间,在四面体 P -ABC 中,若 PA,PB,PC 两两垂直,底 面 ABC 上的高为 h, 则 = + + + . +

答案: =

11.【解析】由已知可知,i4n=1, ∴i2014=i503×4+2=i2=-1. 答案:-1 【变式备选】设函数 f(x)= f1(x)=f(x)= (x>0),观察: , .

,f2(x)=f(f1(x))= ,故 fn(x)=

f3(x)=f(f2(x))=

【解析】 根据题意知,分子都是 x,分母中的常数项依次是 2,4,8,16,…可知 fn(x) 的分母中常数项为 2n,分母中 x 的系数为 2n-1,故 fn(x)= 答案: 12.【解析】用类比的方法对 =x2-1 两边同时求导得,yy'=2x,∴y'= , ∴y'= = =2, .

∴切线方程为 y- =2(x- ),∴2x-y- =0. 答案:2x-y- =0
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13.【解析】(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(5)=25+4×4=41. (2)由 f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, … 得 f(n+1)-f(n)=4n. ∴f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, … f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2), f(n)-f(n-1)=4·(n-1) ∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)] =2n(n-1), ∴f(n)=2n2-2n+1.

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