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红对勾理科数学9-4


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必考部分

必考部分·第九章

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第九章 算法初步、统计与统计案例

必考部分·第九章

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第四节

相关关系与统计案例

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第九章·第四节

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考纲解读 1.会作两个相关变量的散点图,会利用散点图认识变量之间的相 关关系. 2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归系数公式建立 线性回归方程. 3.了解独立性检验?只要求2×2列联表?的基本思想、方法及其简 单应用. 4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.

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第九章·第四节

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考情剖析 高考对本节内容的考查主要是线性回归分析和独立性检验的统计 分析方法,三种题型都有可能出现,难度中档.

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第九章·第四节

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自主回顾· 打基础

合作学习· 速通关

提升素养· 破难点

课时作业

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第九章·第四节

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自主回顾·打基础
强根基·固本源

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第九章·第四节

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1.两个变量的线性相关 (1)正相关. 在散点图中,点散布在从左下角到右上角 的区域,对 于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关. (2)负相关. 在散点图中,点散布在从 左上角到右下角 的区域,两 个变量的这种相关关系称为负相关.

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第九章·第四节

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(3)线性相关关系、回归直线. 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 , 就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直 线.

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第九章·第四节

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相关关系与函数关系有何异同点? 提示:共同点:二者都是指两个变量间的关系. 不同点:函数关系是一种确定性关系,体现的是因果 关系;而相关关系是一种非确定性关系,体现的不一定是 因果关系,可能是伴随关系.

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第九章·第四节

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2.回归方程 (1)最小二乘法 求回归直线使得样本数据的点到它的 距离的平方和最小 的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程
^ ^ ^

方程 y = b x+ a 是两个具有线性相关关系的变量的一 组数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)的回归方程,其中
^ ^

a ,b 是待定参数.

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第九章·第四节

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? n n ? ? ?xi- x ??yi- y ? ?xiyi-n x y ? i=1 i=1 ?^ = , ?b = n n ? 2 2 2 ? x - x ? x - n x ? ? i i ? i=1 i=1 ? ?^ ^ ? ?a = y -b x

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第九章·第四节

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3.样本相关系数

i=1

? ?xi- x ??yi- y ?
,用它来衡量两个变量
n 2 n

n

r=
i=1

? ?xi- x ? ? ?yi- y ?2
i=1

间的线性相关关系. (1)当r>0时,表明两个变量 正相关 ; (2)当r<0时,表明两个变量负相关 ;

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第九章·第四节

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(3)r的绝对值越接近1,表明两个变量的线性相关性

越强;r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存
在线性相关关系.通常当|r|>0.75时,认为两个变量有很强 的线性相关关系.

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第九章·第四节

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4.残差分析 (1)残差:对于样本点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn, yn),它们的随机误差为ei=yi-bxi-a,i=1,2,?,n,其
^ ^ ^ ^ ^

估计值为e i=yi-y i=yi-b xi-a ,i=1,2,?,n.e i称为 相应于点(xi,yi)的残差.

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第九章·第四节

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i=1

? ?yi-y i?2 ? ?yi- y ?2
n

n

^

(2)相关指数R2=1-

i=1

R2越大,意味着残差平方和 越小 ,即模型的拟合效果

越好 .R2越小,残差平方和 越大 ,即模型的拟合效果 越差.在线性回归模型中,R2表示解释变量对于预报变量
变化的贡献率,R2越接近于1,表示回归的效果 越好.

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第九章·第四节

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5.独立性检验 (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的

不同类型 ,像这类变量称为分类变量.
(2)列联表:列出两个分类变量的 频数表 ,称为列联

表.假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为 {x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表) 为

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第九章·第四节

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2×2列联表 y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+ d 总计 a+b c+d a+b+c+d

2 n ? ad - bc ? K2= (其中n= a+b+c+d 为 ?a+b??a+c??b+d??c+d?

样本容量),则利用独立性检验判断表来判断“X与Y的关 系”.

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第九章·第四节

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温馨提示:1.通常认为k≤2.706时,样本数据就没有充 分的证据显示“X与Y有关系”. 2.独立性检验得出的结论是带有概率性质的,只能说 结论成立的概率有多大,而不能完全肯定一个结论,因此 才出现了临界值表,在分析问题时一定要注意这点,不可 对某个问题下确定性结论,否则就可能对统计计算的结果 作出错误的解释.

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第九章·第四节

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1.下列结论正确的是(

)

①函数关系是一种确定性关系; ②相关关系是一种非确定性关系; ③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分 析的一种方法;

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第九章·第四节

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④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分 析的一种常用方法. A.①② C.①②④ B.①②③ D.①②③④

解析:由回归分析的方法及概念判断.

答案:C

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第九章·第四节

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2.已知x,y的取值如下表,从散点图可看出y与x线性 相关,且回归方程为y=0.95x+a,则a=( x y A.3.25 C.2.2 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 )

B.2.6 D.0

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第九章·第四节

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解析: x =2, y =4.5,因为回归方程经过点( x , y ),所以a=4.5-0.95×2=2.6.
答案:B

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第九章·第四节

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3.一位母亲记录了自己儿子3~9岁的身高数据(略), ^ 由此建立的身高与年龄的回归模型为 y =7.19x+73.93,用 这个模型预测这个孩子10岁时的身高,则正确的叙述是 ( ) A.身高一定是145.83 cm B.身高在145.83 cm以上 C.身高在145.83 cm左右 D.身高在145.83 cm以下

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第九章·第四节

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^ 解析:用回归模型 y =7.19x+73.93,只能作预测,其 结果不一定是一个确定值.
答案:C

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第九章·第四节

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4.下面是一个2×2列联表 y1 x1 x2 合计 a 2 b y2 21 25 46 合计 73 27

则表中a、b处的值分别为__________.

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第九章·第四节

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解析:∵a+21=73,∴a=52. 又∵a+2=b,∴b=54.
答案:52、54

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第九章·第四节

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5.在性别与吃零食这两个分类变量的计算中,下列说 法正确的是________. ①若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吃 零食与性别有关系,那么在100个吃零食的人中必有99人是 女性; ②从独立性检验可知有99%的把握认为吃零食与性别 有关系时,我们说某人吃零食,那么此人是女性的可能性 为99%;

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第九章·第四节

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③若从统计量中求出有99%的把握认为吃零食与性别 有关系,是指有1%的可能性使得出的判断出现错误.
解析:由独立性检验的基本思想可得,只有③正确.

答案:③

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合作学习·速通关
抓重点·破疑难

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相关关系的判断

【例1】

某棉业公司的科研人员在7块并排且形状

大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对 产量y影响的试验,得到如下表所示的一组数据(单位: kg).

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第九章·第四节

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施化肥量x 棉花产量y (1)画出散点图;

15

20

25

30

35

40

45

330 345 365 405 445 450 455

(2)判断是否具有相关关系.

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【解析】

(1)散点图如图所示.

(2)由散点图知,各组数据对应点大致都在一条直线附 近,所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系.

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散点图是由大量数据点分布构成的,是定义在具有相关关 系的两个变量基础之上的,对于性质不明确的两组数据可 先作散点图,直观地分析它们有无关系及关系的密切程度 .

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第九章·第四节

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(1)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn, yn)(n≥2,x1,x2,?,xn不全相等)的散点图中,若所有样 1 本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线y= x+1上,则这组样 2 本数据的样本相关系数为( A.-1 1 C. 2 ) B.0 D.1

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(2)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的 相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结 论:
^

①y与x负相关且y=2.347x-6.423;
^

②y与x负相关且y=-3.476x+5.648;
^

③y与x正相关且y=5.437x+8.493;

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第九章·第四节

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^

④y与x正相关且y=-4.326x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( A.①② C.③④ B.②③ D.①④ )

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解析:(1)因为所有的点都在直线上,所以它就是确定 的函数关系,所以相关系数为1. (2)①中y与x负相关而斜率为正,不正确;④中y与x正 相关而斜率为负,不正确.故选D.
答案:(1)D (2)D

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线性回归方程的应用

【例2】

(2013· 重庆卷)从某居民区随机抽取10个

家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得 ?x i=80, ?y i=20,
i=1 i=1 10 10

i=1

?xiyi=184, ?xi2=720.
i=1

10

10

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(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+ a; (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月 储蓄. (1)由线性回归方程的求法,先求出 x , y ,再
^ ^ ^ ^

求a,b可得结论;(2)由 y = b x+ a 的系数 b 可得相关性;(3) 将x=7代入即可.

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【解析】

1 n 80 (1)由题意知n=10, x = n ?x i= 10 =8, y i=1

n n 1n 20 2 2 2 =n ?yi=10=2,又 ?xi -n x =720-10×8 =80, ?xiyi- i=1 i=1 i=1

i=1

?xiyi-n x y

i=1 2 ?x2 i -n x n

n

n x y =184-10×8×2=24,由此得b=

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24 80 =0.3,a= y -b x =2-0.3×8=-0.4,故所求回归方程 为y=0.3x-0.4. (2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b=0.3>0),故x 与y之间是正相关. (3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y= 0.3×7-0.4=1.7(千元).

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(1)设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm) 具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i= ^ 1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x- 85.71,则下列结论中不正确的是( )

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A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必 为58.79 kg

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(2)在2012年3月15日那天,北京市物价部门对本市5家 商场某商品的一天销售量及其价格进行了调查,5家商场 的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示: 价格x 销售量y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5

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第九章·第四节

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通过散点图,可知销售量y与价格x之间有较好的线性 ^ 相关关系,其线性回归直线的方程是 y =-3.2x+a,则a= ( ) A.-24 C.40.5 B.35.6 D.40

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第九章·第四节

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解析:(1)由于回归直线的斜率为正值,故y与x具有正 的线性相关关系,选项A中的结论正确;回归直线过样本 点的中心,选项B中的结论正确;根据回归直线斜率的意 义易知选项C中的结论正确;由于回归分析得出的是估计 值,故选项D中的结论不正确.

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- 1 (2)由题意,得 x = 5 ×(9+9.5+10+10.5+11)=10, 1 - y = 5 ×(11+10+8+6+5)=8,且回归直线必经过点 - - ( x , y )即点(10,8),则有8=-3.2×10+a,a=40.

答案:(1)D (2)D

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独立性检验

【例3】

某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了

一次调查,并用茎叶图表示30人的饮食指数.说明:如 图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数 高于70的人,饮食以肉类为主.

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(1)根据茎叶图,帮助这位同学说明其亲属30人的饮食 习惯; (2)根据以上数据完成如下表所示的2×2列联表:

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主食蔬菜 主食肉类 合计 50岁以下 50岁以上 合计 (3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有 关,并写出简要分析.

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【解析】

(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为

主,50岁以下的人多以食肉为主. (2)2×2列联表如下表所示. 主食蔬菜 50岁以下 50岁以上 合计 4 16 20 主食肉类 8 2 10 合计 12 18 30

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2 30 × ? 8 - 128 ? 30×120×120 2 (3)K = = 12×18×20×10 12×18×20×10

=10>6.635. 所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有 关.

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2.另外,还可利用图形来判断两个变量之间是否有关系, 可以画出等高条形图,从图形上只可以粗略地估计两个分 类变量的关系,可以结合所求数值来进行比较,作图时应 注意单位统一,图形准确.

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通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运 动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110

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2 n ? ad - bc ? 由K2= 算得, ?a+b??c+d??a+c??b+d? 2 110 × ? 40 × 30 - 20 × 20 ? K2= ≈7.8. 60×50×60×50

附表: P(K2≥k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

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参照附表,得到的正确结论是(

)

A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有 关” B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无 关” C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱 好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱 好该项运动与性别无关”

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解析:根据独立性检验的定义,由K2≈7.8>6.635可知 我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有 关”.
答案:A

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1.相关关系的判定与线性回归方程的求法 (1)函数关系是一种理想的关系模型,而相关关系是一 种更为一般的情况. (2)如果两个变量不具有线性相关关系,即使求出回归 方程也毫无意义,而且用其进行估计和预测也不可信.

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(3)回归方程只适用于我们所研究的样本的总体.样本 的取值范围一般不能超过回归方程的适用范围,否则就没 有实用价值.

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2.独立性检验思想的理解 独立性检验的思想类似于反证法,即要确定“两个变 量X与Y有关系”这一结论成立的可信度,首先假设结论不 成立,即它们之间没有关系,也就是它们是相互独立的, 利用概率的乘法公式可推知,(ad-bc)接近于零,也就是随
2 n ? ad - bc ? 机变量K2= 应该很小,如果计算出 ?a+b??c+d??a+c??b+d?

来的K2的观测值k不是很小,通过查表P(K2≥k0)的概率很 小.又根据小概率事件不可能发生,由此判断假设不成 立,从而可以肯定地断言X与Y之间有关系.
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提升素养·破难点
研经典·明考向

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答题模板构建(十三) 概率与统计综合题规范答题

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【典例】

(2013· 福建卷)某工厂有25周岁以上(含25周

岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平 均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中 抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数, 然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以 下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组: [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统 计,得到如图所示的频率分布直方图.

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(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽 取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率. (2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能 手”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? P(χ2≥k) k 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828

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满分展示 答题模板:(1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60 名,25周岁以下组工人40名. 所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁 以上组工人有60×0.05=3(人),记为A1,A2,A3;25周岁 以下组工人有40×0.05=2(人),记为B1,B2. 从中随机抽取2名工人,所有的可能结果共有10种,它们 是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2), (A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).
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满分展示 其中,至少1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7 种,它们是(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2), 7 (A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率P=10.(6分) (2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周 岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15(人),“25周岁以 下组”中的生产能手有40×0.375=15(人),据此可得2×2 列联表如下:

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满分展示

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名师支招 模 板 构 建 第一步:确定样本中日生产件数不足60件的工 人中25周岁以上和25周岁以下的工人人数 第二步:计算所求的概率 第三步:列出2×2列联表 第四步:计算K2值,得出结论

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名师支招 1.本题主要考查了分层抽样、古典概型、独立性 检验等基础知识,考查运算能力及应用意识, 点 拨 提 升 考查了必然与或然思想,转化与化归思想等. 2.本题的易错点: 频率 (1)忽视直方图纵轴表示为 导致每组人数计 组距 算失误. (2)25周岁以上和以下日生产不足60件的工人人 数计算错误,导致概率计算出错.
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名师支招 点 拨 提 升 (3)K2的计算不准确、导致结果判断出错.

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地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现, 紧急避险常识越来越引起人们的重视,某校为了了解学生 对紧急避险常识的了解情况,从七年级和八年级各选取100 名同学进行紧急避险常识知识竞赛.图(1)和图(2)分别是对 七年级和八年级参加竞赛的学生成绩按[40,50),[50,60), [60,70),[70,80]分组,得到的频率分布直方图.

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(1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均 成绩(注:统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值 作为代表);

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(2)完成下面2×2列联表,并回答是否有99%的把握认 为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”? 成绩小于60 成绩不小于 合 分人数 七年级 八年级 合计 60分人数 计

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2 n ? ad - bc ? 附:K2= .临界值表: ?a+b??c+d??a+c??b+d?

P(K2≥k) k

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

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解:(1)七年级学生竞赛平均成绩为 (45×30+55×40+65×20+75×10)÷ 100=56, 八年级学生竞赛平均成绩为 (45×15+55×35+65×35+75×15)÷ 100=60.

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(2)2×2列联表如下: 成绩小于60 分人数 七年级 八年级 合计 70 50 120 成绩不小于60 分人数 30 50 80 合计 100 100 200

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2 200 × ? 50 × 70 - 50 × 30 ? ∴K2= 100×100×120×80

≈8.333>6.635. ∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识 的了解有差异”.

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