当前位置:首页 >> >>

平面向量与解析几何交汇的综合问题


平面向量与解析几何交汇的综合问题

平面向量与解析几何交汇的综合问题

设计立意及思路 向量具有代数与几何形式的双重身份,故它是联系多项知识的媒介,成为中 学数学知识的一个交汇点,数学高考重视能力立意,在知识网络的交汇点上设计 试题,因此,解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向 和创新的必然趋势.而学生普遍感到不适应,因此,我们在解析几何复习时应适 时融合平面向量的基础,渗透平面向量的基本方法.本专题就以下两方面对平面 向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习;1,以向量为载体,求轨迹方程为命 题切入点,综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义,平面向量的数量 积及其几何意义,圆锥曲线的定义.2,以向量作为工具考查圆锥曲线的标准方 程和几何性质,直线与圆锥曲线位置关系,曲线和方程的关系等解析几何的基本 思想方法和综合解题能力. 高考考点回顾 近三年来平面向量与圆锥曲线交汇命题可以说经历了三个阶段:2002 年天 津卷 21 道只是数学符号上的混合;2003 年江苏卷 20 道用平面向量的语言描述 解析几何元素的关系,可谓是知识点层面上整合;2004 年有 6 份卷(分别是全 国卷理科(必修+选修 I)21 道;全国卷理科(选修Ⅱ)21 道;辽宁 19 道;湖 南文 21 道;江苏卷 21 道;天津卷 22 道)涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合, 可以说是应用层面上综合.就应用层面上又有两个层次.第一层次:考查学生对 平面向量的概念, 加减运算, 坐标表示, 数量积等基本概念, 运算的掌握情况. 第 二层次: 考查学生对平面向量知识的简单运用, 如平面向量共线定理, 定比分点, 加减运算几何意义(这三点已有所涉及) ,数量积几何意义,射影定理(这两点 挖掘不够,本专题着重讲述见例 1 变式) .考查学生把向量作为工具的运用能力. 这一层次的问题有一定的难度,而且是未来几年平面向量高考题的一个走向. 基础知识梳理 1.向量的概念,向量的几何表示,向量的加法和减法; 2. 实数与向量的积,两个向量共线的充要条件,向量的坐标运算; 3. 平面向量的数量积及其几何意义,平面两点间的距离公式,线段定比分 点人坐标公式和向量的平衡移公式; 4. 椭圆,双曲线,抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用; 5.曲线方程(含指定圆锥曲线方程及轨迹方程) ; 6. 直线与圆锥曲线的位置关系问题(交点,弦长,中点弦与斜率,对称问 题)确定参数的取值范围; 7. 平面向量作为工具综合处理有关长度,角度,垂直,射影等问题以及圆 锥曲线中的典型问题. 例题讲解 一, "减少运算量,提高思维量" 是未来几年高考的一个方向,高考中对求 轨迹的方程倾向于利用适当的转化再用定义法, 以利于减少运算量, 提高思维量. 而圆锥曲线的两种定义均可用向量的模及数量积几何意义,射影定理来表示,无
第 1 页共 10 页

平面向量与解析几何交汇的综合问题

疑为平面向量与圆锥曲线交汇命题开拓了广阔的空间.在以向量为载体,求轨迹 方程为命题切入点,可以综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义,平 面向量的数量积及其几何意义,圆锥曲线的定义. 例 1 . 已 知 i , j 是 x,y 轴 正 方 向 的 单 位 向 量 , 设 a = ( x 3 )i + yj ,

b = ( x + 3 )i + yj ,且满足| a |+| b |=4.
(1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程. (2)如果过点 Q(0, m)且方向向量为 c =(1,1) 的直线 l 与点 P 的轨迹交于 A, B 两点,当 AOB 的面积取到最大值时,求 m 的值. 解:(1)∵ a = ( x 3 )i + yj , | b |= ( x + 3 )i + yj ,且| a |+| b |=4.
∴ 点 P(x,y)到点( 3 ,0),(- 3 ,0)的距离这和为 4,故点 P 的轨迹方

程为 x + y 2 = 1 4 (2)设 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 )依题意直线 AB 的方程为 y=x+m.代入椭圆方程,得
5 x 2 + 8mx + 4m 2 4 = 0 ,则 x1 + x 2 =- 8 m, x1 x 2 = 4 (m 2 1) 5 5

2

因此, S AOB =

1 2

AB d =

2 5

(5 m 2 )m 2
10 2

当 5 m 2 = m 2 时,即 m= ±

时, S max = 1

[ 题设变式 I.1] 已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a = ( x 3 )i + yj ,

b = ( x + 3 )i + yj ,且满足|| a |-| b ||=2.求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程.(轨迹为双曲
线) [ 题设变式 I.2] 已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a = ( x 3 )i + yj ,

b = ( x + 3 )i + yj ,且满足 b i =| a |.求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程.
[提示:设 K(- 3 ,0),F ( 3 ,0),则 b i 表示 KP 在 x 轴上射影,即点 P 到 x= - 3 的距离,所以点 P 到定点 F 的距离与到定直线 x= - 3 的距离比为 1,故点 P 的轨迹是以( 3 ,0)为焦点以 x= - 3 为准线抛物线] [ 题设变式 I.3] 已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a = ( x 3 )i + yj ,

b = ( x + 3 )i + yj ,且满足 b i = λ | a |.求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程.
[提示:设 K(- 3 ,0),F ( 3 ,0),则 b i 表示 KP 在 x 轴上射影,即点 P 到 x=
第 2 页共 10 页

平面向量与解析几何交汇的综合问题

- 3 的距离,所以点 P 到定点 F 的距离与到定直线 x= - 3 的距离比为

a b i

= 1 ,当 0 < 1 < 1 时,点 P 的轨迹是以( 3 ,0)为焦点,以 x= - 3 为相

λ

λ

应准线的椭圆;当 1 > 1 时,点 P 的轨迹是以( 3 ,0)为焦点,以 x= - 3 为相应

λ

准线的双曲线的右支;若想得到双曲线的双支 λ 应满足什么条件?] F, 满足,KP KF = PF KF . [题设变式 I.4] 已知平面上两定点 K, P 为一动点, 求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程.(以 F 焦点,过 K 且垂直于 KF 的直线为准线的抛物 线) [题设变式 I.5] 已知平面上两定点 K,F,P 为一动点,满足, KP KF = λ PF . 求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程.(以 F 焦点,过 K 且垂直于 KF 的直线为准线的圆锥 曲线.) [考题] 已知点 A( 2 2 ,0),B( 2 ,0)动点 P 满足 AP AB = 2 | AB | | BP |
(1)若动点 P 的轨迹记作曲线 C1,求曲线 C1 的方程. (2)已知曲线 C1 交 y 轴正半轴于点 Q,过点 D(0,

2 )作斜率为 k 的直线交曲线 3

C1 于 M,N 点,求证:无论 k 如何变化,以 MN 为直径的圆过点 Q.(解答见附页)

[ 题设变式 II.1] 已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a = ( x 3 )i + yj ,

b = ( x + 3 )i + yj , 且 满 足 | a + b |=4.. 求 点 P(x,y) 的 轨 迹 C 的 方 程 .
( AP + BP = 2OP ,点 P 轨迹为圆,其中 A( 3 ,0) ,B(- 3 ,0)) [ 题设变式 II.2] 已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a = ( x 3 )i + yj ,

b = ( x + 3 )i + yj ,且满足 a b =6.求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程. (轨迹为圆)
例 2,已知两点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 在 y 轴上的射影是 H,如果

PH PH , PM PN 分别是公比 q=2 的等比数列的第三,第四项.
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知过点 N 的直线 l 交曲线 C 于 x 轴下方两个不同的点,A,B,设 R 为 AB 的中点,若过点 R 与定点 Q(0,-2)的直线交 x 轴于点 D(x0,0), 求 x0 的取值范围. 导 析 ( 1 ) 设 P(x , y) , 则 H(0 , y) , PH = ( x,0),

PM = (2 x, y ), PN = (2 x, y ).

第 3 页共 10 页

平面向量与解析几何交汇的综合问题

所以PH PH = x 2 , PM PN = (2 x)(2 x) + y 2 = x 2 + y 2 4.
又因为
PM PN PH PH = 2, 所以有
2

x2 + y2 4 = 2. x2
2

所以点 P 的轨迹方程为 y -x =4(x≠0). (2)设 AB:y=k(x-2),A(x1y1),B(x2y2),R(x3y3).

y = k ( x) 2 由 2 2 y x = 4

化简得(k2-1)x2-4k2x=4(k2-1)=0.

x = x2 2k 2 x3 = 1 = 2 , 2 k 1 所以有 y = 2k . 3 k 2 1 所以 DQ 的方程为

所以

y3 1 = . x3 k y +2 1 2 2 = 3 = + , x0 x3 k x3

y + 2 y3 + 2 = , x x3

令 y=0,得

所以x0 =

2 2 = 2 1 1 5 1 k 1 ( )2 + + 2 k 2 4 k 2k 2

又由

= 16k 4 16(k 2 1) 2 = 32k 2 16 0, 1 2 2 可得 k > ,由题意可知 <k<1, y1 + y 2 0, 2 2 y y 0. 3 2 1 1 1 2 5 所以 1< < 2 ,所以 2 1 <-( ) + <1, 所以 2<x0<2+ 2 2 . k k 2 4
故所求的 x0 的取值范围为(2,2+ 2 2 ). 题后反思] [题后反思]若改变 q 的值能否构造出椭圆来呢? [当 0<q<1 时,点 P 的轨迹为椭圆] ] 例 3,如图所示,点 F (a,0)(a>0),点 P 在 y 轴上运动,M 在 x 轴上,N 为动

点,且 PM PF = 0, PN = PM

(1)求点 N 的轨迹 C 的方程; (2) 过点 F(a, 0)的直线 l(不与 x 轴垂直)与曲线 C 交于 A, 两点, B 设点 K(-a, 0), KA 与 KB 的夹角为 θ ,求证:0< θ <

π
2

.

第 4 页共 10 页

平面向量与解析几何交汇的综合问题

[答案提示] (1)点 N 的轨迹 C 的方程为 y 2 = 4ax [变化]点 F (a,0)(a>0),点 P 在 y 轴上运动,M 在 x 轴上,N 为动点, 变化] 且 PM PF = 0, PN = λ PM ( λ 为常数)求点 N 的轨迹仍为抛物线吗?; 二,把向量作为工具去推导与探索圆锥曲线的标准方程和几何性质,曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力. x2 y2 例 4,已知 F1 ,F 椭圆 + = 1 的两个焦点,过点 F 的直线 BC 交椭圆于 B,C 6 2 两点, (1) OM =
1 (OC + OB ) ,求点 M 的轨迹方程. 2

[答案 ( x 1) 2 + 3 y 2 = 1 ] (2)若相应于焦点 F 的准线 l 与 x 轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭 圆相交于 P,Q 两点.设 AP = λ AQ ( λ > 1 ) ,过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭 圆相交于另一点 M,证明: FM = λ FQ . 解:(1)略 (2) 证明: AP = ( x1 3, y1 ), AQ = ( x 2 3, y 2 ) .由已知得方程组
x1 3 = λ ( x 2 3), y = λy , 2 1 2 2 x1 y1 + = 1, 2 6 x2 y2 2 + 2 = 1. 2 6

注意 λ > 1 ,解得 x 2 =

5λ 1 2λ

因 F (2, 0), M ( x1 , y1 ) ,故

FM = ( x1 2, y1 ) = (λ ( x 2 3) + 1, y1 )
1 λ λ 1 =( , y1 ) = λ ( , y2 ) . 2 2λ λ 1 而 FQ = ( x 2 2, y 2 ) = ( , y 2 ) ,所以 2λ

FM = λ FQ .

第 5 页共 10 页

平面向量与解析几何交汇的综合问题

[结论发散]设 P( x0 , y 0 )为椭圆上一点, 结论发散] (1)求 PF1 PF 的 Min (2)求 PF1 PF 的 Max (3)当 PF1 PF <0 时, x0 的取值范围. (4)若相应于焦点 F 的准线 l 与 x 轴相交于点 A, AP FF1 = 3 ,求 PF1 (5)已知点 M 的坐标为(2,3),求 OM OP 的最值. (6)已知点 Q 的坐标为(1,1),求 PQ +
6 2

PF 的最小值

(7)已知点 Q 的坐标为(1,1),求 PQ + PF 的最值 [提示] PQ + PF ≥ PQ PF = QF

PQ + PF =2a+ PQ PF1 ≤ 2a+ PQ PF1 =2a+ F1Q
2 5.已知 A,B 为抛物线 x = 2 py (p>0)上两点,直线 AB 过焦点 F,A,B 在准线 例 5. 上的射影分别为 C,D,

(1) 若 OA OB = 6 ,求抛物线的方程. (2) CD 是否恒存在一点 K,使得 KA KB = 0 Y A F B X O D K C p 解: (1)提示:记 A( x1, y1 ) ( x 2 , y 2 )设直线 AB 方程为 y = kx + 2 代入抛物 ,B 线方程得 x 2 2kpx + p 2 = 0 x1 x 2 = p 2 , y1 y 2 = 1 p 2 4
OA OB = x1 x 2 + y1 y 2 = 3 p 2 = 6 4

P

(2)设线段 AB 中点 P 在在准线上的射影为 T, 则 TA TB = (TP + PA) (TP + PB) = TP + TP ( PA + PB ) + PA PB
2

= 1 ( DB + CA ) 2 + PA PB = 1 ( FB + FA ) 2 - PA = 1 AB - 1 AB =0 4 4 4 4
故存在点 K 即点 T,使得 KA KB = 0
第 6 页共 10 页

2

2

2

平面向量与解析几何交汇的综合问题

[实质:以 AB 为直径的圆与准线相切] [结论发散 1] y 轴上是否恒存在一点 K,使得 KA KF = 0 [实质:以 AF 为直径的圆与 y 轴相切] 2]求证: CF DF = 0 [结论发散 2] 3]求证:存在实数 λ 使得 AD = λ AO [结论发散 3] [实质:证明 A,O,D 三点共线(2001 年高考题)] [结论发散 4] 设线段 AB 中点 P 在在准线上的射影为 T,证明: FT AB = 0 2 题设变更 [题设变更 1] 已知 A,B 为抛物线 x = 2 py (p>0)上两点, OA OB = 0 ,点 C 坐 标为 (0,4 p ) (1) 求证: AC ‖ AB (2)若 AM = λ BM ( λ ∈ R )且 OM AB = 0 试求点 M 的轨迹方程. 2](2004 全国湖南文 21)如图,过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P [题设变更 2] (0,m)(m>0)作直线与抛物线交于 A,B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点. 设点 P 分有向线段 AB 所成的比为 λ ,证明: QP ⊥ (QA λ QB) ;

解:依题意,可设直线 AB 的方程为 y = kx + m, 代入抛物线方程 x 2 = 4 y 得 x 2 4kx 4m = 0. ① 设 A,B 两点的坐标分别是 ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ), 则x1 ,x2 是方程①的两根. 所以 x1 x 2 = 4m. 由点 P(0,m)分有向线段 AB 所成的比为 λ , x + λx 2 x 得 1 = 0,即λ = 1 . 1+ λ x2 又点 Q 是点 P 关于原点的对称点, 故点 Q 的坐标是(0,-m) ,从而 QP = (0,2m) .

QA λ QB = ( x1 , y1 + m) λ ( x 2 , y 2 + m) = ( x1 λx 2 , y1 λy 2 + (1 λ )m). QP (QA λ QB) = 2m[ y1 λy 2 + (1 λ )m]
2 x12 x1 x 2 x x x + 4m + + (1 + 1 )n] = 2m( x1 + x 2 ) 1 2 4 x2 4 x2 4 x2 4m + 4 m = 2m( x1 + x 2 ) = 0. 4 x2

= 2m[

所以

QP ⊥ (QA λ QB).

第 7 页共 10 页

平面向量与解析几何交汇的综合问题

思维能力训练 一,选择题 1, (2002 年新课程卷)平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知 A(3,1), B (1,3) , 若点 C 满足 OC = α OA + β OB ,其中 α , β ∈ R ,且 α + β = 1 ,则点 C 的轨迹方程 为( ) A. 3 x + 2 y 11 = 0 C. 2 x y = 0 B. ( x 1) 2 + ( y 2) 2 = 5 D. x + 2 y 5 = 0

2,已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a = ( x 2)i + yj , b = ( x + 2)i + yj , 且满足| a |+| b |=4.则点 P(x,y)的轨迹是.( )

A,椭圆 B.双曲线 C.线段 D.射线 3,已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A,C) ,则 AP= (A) λ (AB+AD), λ ∈(0, 1) (B) λ (AB+BC), λ ∈(0,
2 ) 2 2 ) 2

(C) λ (AB-AD), λ ∈(0, 1)

(D) λ (AB-BC), λ ∈(0,

4,已知 O 是平面上一定点, A , B , C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足

OP = OA + λ ( AB + AC ) , λ ∈ [0, +∞) ,则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的(
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
2

)

5, 已知两点 A(-1, B(1, 动点 P 在 y 轴上的射影是 Q, PQ = 2 PA PB 0), 0), 且 则动点 P 的轨迹为( ) : A,抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线 2 6.已知 A,B 为抛物线 x = 2 py (p>0)上两点,直线 AB 过焦点 F,A,B 在准线上 的射影分别为 C,D,则(1)y 轴上是否恒存在一点 K,使得 KA KF = 0 (2)
CF DF = 0 (3)存在实数 λ 使得 AD = λ AO (4)若线段 AB 中点 P 在在准线

上的射影为 T,有 FT AB = 0 中说法正确的个数为( ) A. 1 B.2 C. 3 D.4 二,填空题 7, 已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量, a = ( x 3 )i + yj , b = ( x + 3 )i + yj , 设 且满足 b i =2| a |.则点 P(x,y)的轨迹方程为_________.

第 8 页共 10 页

平面向量与解析几何交汇的综合问题

8,已知 F1 , F2 椭圆

x2 y2 + = 1 的两个焦点,P( x0 , y 0 )为椭圆上一点, 100 36

当 PF1 PF2 <0 时, x0 的取值范围为_________.. 三,解答题 9.(2004 年全国高考辽宁 19)设椭圆方程为 x 2 + y2 = 1 ,过点 M(0,1)的直线 4
1 2

l 交椭圆于点 A,B,O 是坐标原点,点 P 满足 OP = ( OA + OB) ,点 N 的坐标为
1 1 ( , ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求: 2 2

(1)动点 P 的轨迹方程; (2) | NP | 的最小值与最大值. x2 y2 = 1(a > 0, b > 0), B 是右项点,F 右焦点,点 A 在 x 轴 a2 b2 正半轴上,且满足, | OA | , | OB | , | OF | 成等比数列,过 F 作双曲线 C 在第一, 第三象限的渐近线的垂线 l,垂足为 P. 10.已知双曲线 C: (1) 求证: PA OP = PA FP (2) 若 l 与双曲线 C 的左,右支分别相交于点 D,E,求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围. 11.已知点 H(0,―3) ,点 P 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴正半轴上,点 M 在直线 PQ
→ → → → 3 上,且满足 HP PM = 0 , PM = MQ . 2

(1)当点 P 在 x 轴上移动时,求动点 M 的轨迹曲线 C 的方程; (2)过定点 A(a,b)的直线与曲线 C 相交于两点 S,R,求证:抛物线 S,R 两点处的切线的交点 B 恒在一条直线上.

第 9 页共 10 页

平面向量与解析几何交汇的综合问题

附页: 例 1[ 题 设 变 式 I.5] 考 题 : 已 知 点 A( 2 2 , 0) , B(

2 , 0) 动 点 P 满 足

AP AB = 2 | AB | | BP |
(1)若动点 P 的轨迹记作曲线 C1,求曲线 C1 的方程. (2)已知曲线 C1 交 y 轴正半轴于点 Q,过点 D(0,

2 )作斜率为 k 的直线交曲线 3

C1 于 M,N 点,求证:无论 k 如何变化,以 MN 为直径的圆过点 Q. 解: (1)设 P(x,y),则有 AP = ( x + 2 2 , y ) ∵ AP AB =

AB = ( 2 ,0)

BP = ( x + 2 , y )

2 | AB | | BP |

∴ 2x + 4 =

2 2 (x + 2)2 + y 2

得: x 2 + 2 y 2 = 4

(2)由

x2 y2 + =1 4 2

得 Q (0, 2 ) 设直线 C 的方程为 y=kx-

2 3

代入 x2+2y2=4 得 (1+2k2) x2

4 2 32 =0 kx 3 9

设 M(x1,y1) N(x2,y2) ∵ x1 + x 2 =

QM = ( x1 , y1 2 ), QN = ( x 2 , y 2 2 )
x1 x 2 = 32 9(1 + 2k 2 )

4 2k 3(1+ )k 2

又∵ QM QN = x1 x 2 + ( kx1

4 2 4 2 ) (kx2 ) 3 3

32 (1 + k 2 ) 4 2 32 4 2 4 2k 32 2 9 k ( x1 + x 2 ) + = k + =0 = x1 x 2 (1 + k ) 2 2 3 9 3 1 + 2k 3(1 + 2k ) 9
∴ QM ⊥ QN ∴点 Q 在以 MN 为直径的圆上.

第 10 页共 10 页

相关文章:
平面向量与解析几何交汇的综合问题
平面向量与解析几何交汇的综合问题平面向量与解析几何交汇的综合问题隐藏>> 平面向量与解析几何交汇的综合问题 平面向量与解析几何交汇的综合问题 设计立意及思路 向量...
平面向量与解析几何的综合
2. 难点: 平面向量与解析几何的内在联系和知识综合,向量作为解决问题的一种工具...(1)求椭圆的方程; (2)设 ,过点 P 且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一...
平面向量与解析几何综合问题
平面向量与解析几何交汇的综合问题 平面向量与解析几何交汇的综合问题 r r r r r 例 1 .已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a = ( x ? 3 ...
平面向量与解析几何的综合运用 (2)
平面向量与解析几何的综合运用数学组 施冬芳 由于向量既能体现“形”的直观位置...2 2 ,相应于焦点 F(c, 0)(c>0)的准线 l 与 x 轴相交于点 A, OF ...
解析几何与平面向量综合
解析几何平面向量综合_数学_高中教育_教育专区。解析几何平面向量一、选择题...2 ? 的位置关系是 2 相交 . 向量 a 与 b 的夹角为 60 °,根据向量的...
巧用平面向量解解析几何问题
巧用平面向量解析几何问题 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 第十次集训数学...? AQ ( ? ? 1 ) ,过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 ...
平面向量和解析几何专题复习探讨 (2)
向量和解析几何专题复习探讨平面向量是高中数学新增内容,它具有代数形式和几何形式的双重身份,是数形结合的典范,能与中学数学 内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点...
平面向量与解析几何教师版
位置的变化而变化. 考点:抛物线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合 试卷第 11 页...平面向量与解析几何交汇... 10页 免费 解析几何难题——教师版... 18页 1...
高考数学平面向量与解析几何
学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析 几何问题...能融数形与一 体,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合,形成知识交汇点。...
利用向量积求解解析几何问题的技巧
利用向量积求解解析几何问题的技巧_数学_自然科学_...并 通过一些实例例举了向量积在综合问题中的应用。 ...的方向向量为 si 1)平面 π 过两条相交直线 l1,...
更多相关标签: