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【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习:课时冲关练(十三) 6.1直线与圆]


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课时冲关练(十三)
直线与圆 (45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2014·湖州模拟)已知圆 C:(x+1)2+(y-1)2=1 与 x 轴切于 A 点,与 y 轴切于 B 点,设劣弧 ( ) B.y=x+1D.y=x+1的中点为 M,则过点 M 的圆 C 的切线方程是 100 分)

A.y=x-2+ C.y=x+2-

【解析】 选 C.由题知 A(-1,0),B(0,1),则 AB 的方程为 y=x+1,所求切线 必平行于 AB.设所求方程为 y=x+m,由 因为 M 为劣弧 故方程为 y=x+2的中点,所以 m=2. , =1,得 m=2〒 ,

2.(2014·长春模拟)已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则 它们之间的距离是 ( A. B. ) C.8 D.2

【解析】 选 D.因为直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,所以 = ≠ - ,所以 m=8,即直线 6x+my+14=0 为 3x+4y+7=0,所以两平行直线间的距 离为 =2.

3.(2013·天津高考)已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相切,且 与直线 ax-y+1=0 垂直,则 a= ( A.B.1 ) C.2 D.

【解析】选 C.因为点 P(2,2)为圆(x-1)2+y2=5 上的点,由圆的切线性质 可知,圆心(1,0)与点 P(2,2)的连线与过点 P(2,2)的切线垂直.因为圆 心(1,0)与点 P(2,2)的连线的斜率 k=2,故过点 P(2,2)的切线斜率为- , 所以直线 ax-y+1=0 的斜率为 2,因此 a=2. 4.已知直线 l:x+y=m 经过原点,则直线 l 被圆 x2+y2-2y=0 截得的弦长是 ( A.1 ) B. C. D.2

【解析】选 B.直线 l:x+y=m 经过原点, 所以 m=0,圆心到直线的距离 d= 弦长是 2 =2 = . = ,

【方法总结】求圆的弦长的常用方法 (1)根据平面几何知识构建直角三角形,把弦长用圆的半径和圆心到直 线的距离表示,l=2 线的距离). (2)根据公式:l= |x1-x2|求解(其中 l 为弦长,x1,x2 为直线与圆相 (其中 l 为弦长,r 为圆的半径,d 为圆心到直

交所得交点的横坐标,k 为直线的斜率). (3)求出交点坐标,用两点间距离公式求解. 5.(2014·金华模拟)定义:平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标 系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系.在平面

斜坐标系 xOy 中,若

=xe1+ye2(其中 e1,e2 分别是斜坐标系 x 轴,y 轴正

方向上的单位向量,x,y∈R,O 为坐标系原点),则有序数对(x,y)称为点 P 的斜坐标.在平面斜坐标系 xOy 中,若∠xOy=120°,点 C 的斜坐标为 (2,3), 则以点 C 为圆心 ,2 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程是 ( )

A.x2+y2-4x-6y+9=0 B.x2+y2+4x+6y+9=0 C.x2+y2-x-4y-xy+3=0 D.x2+y2+x+4y+xy+3=0 【解题提示】利用圆的定义求解. 【解析】选 C.设圆上任一点 P(x,y),则 | =(x-2)e1+(y-3)e2,

|2=(x-2)2+2(x-2)(y-3)e1 · e2+(y-3)2=(x-2)2+2(x-2)(y-3) ·

+(y-3)2=4,故所求方程为 x2+y2-x-4y-xy+3=0. 6. 已 知 M(x0,y0) 为 圆 x2+y2=a2(a>0) 内 异 于 圆 心 的 一 点 , 则 直 线 x0x+y0y=a2 与该圆的位置关系是 ( A.相切 C.相离 B.相交 D.相切或相交 )

【解析】选 C. 因 M(x0,y0) 为圆 x2+y2=a2(a>0) 内异于圆心的一点 , 故 + <a2,圆心到直线 x0x+y0y=a2 的距离为 d= > =|a|,故直线与

圆相离. 7.(2014 · 北 京 高 考 ) 已 知 圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和 两 点 A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆 C 上存在点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大

值为 ( A.7

) B.6 C.5 D.4

【解题提示】点 P 在以 AB 为直径的圆上,此圆与圆 C 有公共点 P,半径 最大时,m 最大. 【解析】选 B.点 P 在以 AB 为直径的圆 O:x2+y2=m2 上,当圆 O 与圆 C 内 切时,圆 O 的半径最大,m 最大,此时 m=5+1=6. 8.两条平行直线和圆的位置关系定义为 :若两条平行直线和圆有四个 不同的公共点,则称两条平行线和圆“相交”;若两平行直线和圆没有 公共点,则称两条平行线和圆“相离”;若两平行直线和圆有一个、两 个或三个不同的公共点 , 则称两条平行线和圆“相切” . 已知直线 l1:2x-y+a=0,l2:2x-y+a2+1=0 和圆 x2+y2+2x-4=0“相切”,则 a 应满足 ( ) B.a> 或 ≤a≤7 或 a<-

A.a>7 或 a<-3 C.-3≤a≤-

D.a≥7 或 a≤-3

【解析】选 C.依题意知:当两平行线与圆都相交时, 由 得<a< ;

两条直线都和圆相离时,由 得 a<-3 或 a>7,所以两条直线和圆 “相切” 时 a 应满足-3≤a≤≤a≤7. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 或

9. 圆 C:x2+y2-2x-4y+4=0 的 圆 心 到 直 线 l:3x+4y+4=0 的 距 离 为 .

【 解 析 】 由 已 知 得 圆 心 为 (1,2), 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得,d= 答案:3 10.(2014·烟台模拟)若直线 ax-by+1=0 平分圆 C:x2+y2+2x-4y+1=0 的 周长,则 ab 的取值范围是 . =3.

【解析】C:x2+y2+2x-4y+1=0,即(x+1)2+(y-2)2=4, 依题意直线 ax-by+1=0 经过圆心 C(-1,2),所以有 a+2b=1,ab≤0 或 ab>0, 当 ab>0 时,a>0,b>0,所以 ab= a·2b≤ “=”成立, 故答案为 答案: 11.(2014 ·绍兴模拟 ) 已知 m ∈ R 且 m ≠ 0, 直线 l:mx-(m2+1)y=4m, 圆 C:x2+y2-8x+4y+16=0, 则 直 线 l 与 圆 C 相 交 所 得 弦 长 的 取 值 范 围 是 . (x-4),令 k= , . = ,当且仅当 a=2b 时,

【解析】mx-(m2+1)y=4m ?y= 则 k= ∈ ∪

,直线 l:y=k(x-4),即 kx-y-4k=0,

圆 C:x2+y2-8x+4y+16=0,即(x-4)2+(y+2)2=4,圆心 C(4,-2),半径 r=2,圆 心 C(4,-2)到直线 l:kx-y-4k=0 的距离 d= ∈ . = ∈ ,d2

所以弦长 2 答案:



.

12.(2013 · 湖 北 高 考 ) 已 知 圆 O:x2+y2=5, 直 线 l:xcos θ +ysin θ =1 k= . ,圆心到直线 l 的距离 d= =1< ,故数 .设圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k,则

【解析】半径为 R= 形结合得 k=4. 答案:4

三、解答题(13~14 题每题 10 分,15~16 题每题 12 分,共 44 分) 13.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线 l1 过定点 A(1,0). (1)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程. (2)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值,并求此 时直线 l1 的方程. 【解析】(1)①若直线 l1 的斜率不存在,则直线 l1:x=1,符合题意. ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 的方程为 y=k(x-1),即 kx-y-k=0. 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2,即: 之得 k= . 所求直线 l1 的方程是 x=1 或 3x-4y-3=0. (2)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,设直线方程为 kx-y-k=0, 则圆心到直线 l1 的距离 d= 又因为△CPQ 的面积 S= d〓2 =d = = , , =2,解

所以当 d= 所以 d=

时,S 取得最大值 2. = ,所以 k=1 或 k=7,

所求直线 l1 方程为 x-y-1=0 或 7x-y-7=0. 【误区警示】本题(1)易忽视斜率不存在的情况,而丢掉直线 x=1. 14.已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足|PA|=2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程. (2)若点 Q 在直线 l1:x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个 公共点 M,求|QM|的最小值. 【解析】(1)设点 P 的坐标为(x,y), 则 =2 .

化简可得(x-5)2+y2=16,即为所求. (2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心,4 为半径的圆,如图,由直线 l2 是此圆的 切 线 , 连 接 CQ, 则 |QM|= 时,|CQ|取最小值, = , 当 CQ ⊥ l1

此时|CQ|=

=4

. =4.

此时|QM|的最小值为

15.(2014·江苏高考)如图,为了保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC, 同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的 边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆.且古桥两端 O 和 A 到该圆

上任意一点的距离均不少于 80m.经测量,点 A 位于点 O 正北方向 60m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸),tan∠BCO= .

(1)求新桥 BC 的长. (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 【解析】 (1)以 OC,OA 为 x,y 轴,向东和向北为正方向,建立直角坐标系, 则 C(170,0),A(0,60). 由题意,kBC=- , 直线 BC 的方程为 y=- (x-170), 又 kAB== ,

故直线 AB 的方程为 y= x+60. 由 即 B(80,120), 所以|BC|= =150(m). 解得

(2)设 OM=t,即 M(0,t),0≤t≤60, 由(1)直线 BC 的一般方程为 4x+3y-680=0, 圆 M 的半径为 r= 由题意要求 ,

由于 0≤t≤60, 因此 r= 所以 所以 10≤t≤35, 所以当 t=10 时,r 取得最大值 130m,此时圆的面积最大. 16.已知椭圆 W: +y2=1,直线 l 与 W 相交于 M,N 两点,l 与 x 轴,y 轴分别 相交于 C,D 两点,O 为坐标原点. (1)若直线 l 的方程为 x+2y-1=0,求△OCD 外接圆的方程. (2)判断是否存在直线 l,使得 C,D 是线段 MN 的两个三等分点,若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 【解析】(1)因为直线 l 的方程为 x+2y-1=0, 所以与 x 轴的交点 C(1,0),与 y 轴的交点 D 则线段 CD 的中点 |CD|= = , , , . = =136- t,

即△OCD 外接圆的圆心为 半径为 |CD|= , 所以△OCD 外接圆的方程为

+

= .

(2)存在直线 l,使得 C,D 是线段 MN 的两个三等分点. 理由如下: 由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+m(k,m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),

则C 由方程组

,D(0,m), 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,

所以Δ=16k2-8m2+8>0,(*) 由根与系数的关系得 x1+x2= ,x1x2= .

由 C,D 是线段 MN 的两个三等分点,得线段 MN 的中点与线段 CD 的中点 重合. 所以 x1+x2= =0- ,解得 k=〒 .

由 C,D 是线段 MN 的两个三等分点, 得|MN|=3|CD|. 所以 即|x1-x2|= 解得 m=〒 . 验证知(*)成立. 所以存在直线 l,使得 C,D 是线段 MN 的两个三等分点,此时直线 l 的方程 为 y= x〒 ,或 y=- x〒 . 【加固训练】 已知以点 C (t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A, |x1-x2|=3 , =3 ,

与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为原点. (1)求证:△AOB 的面积为定值. (2)设直线 2x+y-4=0 与圆 C 交于点 M,N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程. (3)在(2)的条件下,设 P,Q 分别是直线 l:x+y+2=0 和圆 C 上的动点,求 |PB|+|PQ|的最小值及此时点 P 的坐标.

【解析】 (1) 由题设知 ,圆 C 的方程为 (x-t)2+

=t2+ , 化简得

x2-2tx+y2- y=0,当 y=0 时,x=0 或 2t,则 A(2t,0);当 x=0 时,y=0 或 ,则 B ,所以 S△AOB= |OA|·|OB|= |2t|· =4 为定值.

(2)因为|OM|=|ON|,则原点 O 在 MN 的中垂线上,设 MN 的中点为 H,则 CH ⊥MN,所以 C,H,O 三点共线,则直线 OC 的斜率 k= = = ,所以 t=2 或 t=-2. 所以圆心为 C(2,1)或(-2,-1),所以圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5 或 (x+2)2+(y+1)2=5,由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5 时,直线 2x+y-4=0 到圆心的距离 d>r,此时不满足直线与圆相交,故舍去,所以圆 C 的方程 为(x-2)2+(y-1)2=5. (3)点 B(0,2)关于直线 x+y+2=0 的对称点为 B'(-4,-2),则 |PB|+|PQ|=|PB'|+|PQ|≥|B'Q|,又 B'到圆上点 Q 的最短距离为 |B'C|-r= 值为 2 =3 =2 . 所以 |PB|+|PQ| 的最小

,直线 B'C 的方程为 y= x,则直线 B'C 与直线 x+y+2=0 的交点 .

P 的坐标为

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