当前位置:首页 >> 数学 >>

高一年级数学,任意角及的三角函数,(教师版)


任意角和弧度制及任意角的三角函数

一、兴趣导入(Topic-in):
有一天我同学问我 “你知道什么动物最爱问为什么吗?” 我老早就知道了,但是我还是配合了,我说:“不知道,是什么?” 同学:“是猪啊。” 我:“哦。” ??沉默了一会后?? 同学:“你不想知道为什么吗?” 我:“不想。” 同学:“为什么?” ??自作孽不可活

二、学前测试(Testing):
1 任意角的概念 2 象限角的概念 若角 ? 的终边在第 k 个象限,则称 ? 是第 k 象限角. 象限角及其集合表示 象限角 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 象限角的集合表示

3.终边相同的角 所有与角 ? 的终边相同的角连同角 ? 在内构成的集合为______________.

4.弧度制的概念 与半径等长的圆弧所对的圆心角称为 1 rad(弧度)的角. 角度与弧度的互化: 1 rad(弧度) ? ?

? 180? ? ? ? 53.7? ? 57?18' ; 1o ? _____ rad(弧度). ? ? ? ?
扇形面积公式:___________.

5.扇形的弧度、面积 弧长公式:______ 6.任意角的三角函数的定义

在角 ? 的终边上任取点 P ( x, y ) , 设它与原点 O 的距离 | OP |? r ( r > 0) , 则

———————————————————————————————————————————————————

1

sin ? ? _____ , cos ? ? _____ , tan ? ? _____ .
7.三角函数在各象限的符号

sin ? :上正下负横轴零

cos? :左负右正纵轴零

tan? :交叉正负横轴零

8.终边相同的角的同一三角函数的值相等

sin(2k? ? ? ) ? _____ , cos(2k? ? ? ) ? _____ , tan(2k? ? ? ) ? _____ .

y P T

9.三角函数线 如图有向线段 MP , OM , AT 分别表示:_____________________
O

M A

x

10.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:________________________.(2)商数关系:______________. x=1

三、知识讲解(Teaching):
1.任意角 (1)角的分类: ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角: 终边与角α 相同的角可写成α +k·360°(k∈Z). (3)弧度制: ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α |= ,l 是以角α 作为 圆心角时所对圆弧的长,r 为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值 与所取的 r 的大小无关,仅与角的大小有关. ④弧度与角度的换算:360°=2π 弧度;180°=π 弧度. 1 1 2 ⑤弧长公式:l=|α |r,扇形面积公式:S 扇形= lr= |α |r . 2 2

l r

l r

2.任意角的三角函数
——————————————————————————————————————————————————— 2

(1)任意角的三角函数定义: 设α 是一个任意角,角α 的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么角α 的正弦、余弦、正切分别是: sin α =y,cos α =x,tan α = ,它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比 值为函数值的函数. (2)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.三角函数线 设角α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 P,过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M.由三角函数的定义知,点 P 的坐标为(cos_α ,sin_α ),即 P(cos_α ,sin_α ),其中 cos α =OM, sin α =MP,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,单位圆在 A 点的切线与α 的终边或其反向延长线相交于点

y x

T,则 tan α =AT.我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做α 的余弦线、正弦线、正切线.

三角函数线 有向线段 MP 为正弦 线 有向线段 OM 为余弦 线 有向线段 AT 为正切 线

1.对任意角的理解 (1)“小于 90°的角”不等同于“锐角” “0°~90°的角”不等同于“第一象限的角” .其实锐角的 集合是{α |0°<α <90°},第一象限角的集合为{α |k·360°<α <k·360°+90°,k∈Z}. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终边相同的角的同一三角函数值相等. 2.三角函数定义的理解 三角函数的定义中,当 P(x,y)是单位圆上的点时有 sin α =y,cos α =x,tan α = , 但若不是单位圆时,如圆的半径为 r,则 sin α = ,cos α = ,tan α = .

y x

y r

x r

y x

四、强化练习(Training)
——————————————————————————————————————————————————— 3

例 1.(1)给出下列四个命题: 3π 4π ①- 4 是第二象限角; ② 3 是第三象限角; ③-400° 是第四角限角; ④-315° 是第一象限角. 其 中正确的命题有( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个

(2)如果角 α 是第二象限角,则 π-α 角的终边在第________象限. 3π 4π π 4π 解析:(1)- 4 是第三象限角,故①错误. 3 =π+3,从而 3 是第三象限角正确. -400° =-360° -40° ,从而③正确.-315° =-360° +45° ,从而④正确. π (2)由已知2+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z), π 则-π-2kπ<-α<-2-2kπ(k∈Z), π 即-π+2kπ<-α<-2+2kπ(k∈Z), π 故 2kπ<π-α<2+2kπ(k∈Z), 答案:(1)C (2)一 所以 π-α 是第一象限角.

例 2(1)已知角 α 的终边上有一点 P(t,t2+1)(t>0),则 tan α 的最小值为( A.1 1 C.2 B.2 D. 2

)

2π? ? 2π (2)(2012· 大庆模拟)已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为?sin 3 ,cos 3 ?,则角 α 的最小正值为 ? ? ( ) 5π A. 6 [自主解答] 2. 2π 3 π (2)由题意知点 P 在第四象限,根据三角函数的定义得 cos α=sin 3 = 2 ,故 α=2kπ-6(k∈
——————————————————————————————————————————————————— 4

2π B. 3

5π C. 3

11π D. 6

t2+1 1 (1)根据已知条件得 tan α= t =t+ t ≥2,当且仅当 t=1 时,tan α 取得最小值

11π Z),所以 α 的最小正值为 6 . [答案] (1)B (2)D )

? 3? 2.(1)(2012· 东莞调研)已知角 α 的终边与单位圆的交点 P?x, ?,则 tan α=( 2 ? ? A. 3 3 C. 3 3 :(1)选 B 由|OP|2=x2+4=1, B.± 3 3 D.± 3 1 得 x=± 2,tan α=± 3.

4 (2)(2012· 潍坊质检)已知角 α 的终边经过点 P(m,-3),且 cos α=-5,则 m 等于( 11 A.- 4 C.-4 解析 (2)选 C 由题意可知,cos α= m 4 =-5, 2 m +9 又 m<0,解得 m=-4. 11 B. 4 D.4

)

[例 3]

(1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角.

(2)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大? [自主解答] (1)设圆心角是 θ,半径是 r, r=4, ? ? ?r=1, ?? (舍),? 1 θ= , ?θ=8 ? ? 2

2r+rθ=10 ? ? 则?1 2 θ· r =4 ? ?2

1 故扇形圆心角为2. (2)设圆心角是 θ,半径是 r, 则 2r+rθ=40. 1 2 1 S=2θ· r =2r(40-2r)=r(20-r) =-(r-10)2+100≤100, 当且仅当 r=10 时,Smax=100. 所以当 r=10,θ=2 时,扇形面积最大.
——————————————————————————————————————————————————— 5

若本例(1)中条件变为:圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是 ________.

解析:设圆半径为 R,则圆内接正方形的对角线长为 2R, 2R ∴正方形边长为 2R,∴圆心角的弧度数是 R = 2. 答案: 2

1.在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. 1 1 2. 记住下列公式: ①l=αR; ②S= lR; ③S= αR2.其中 R 是扇形的半径, l 是弧长, α(0<α<2π) 2 2 为圆心角,S 是扇形面积.

五、训练辅导(Tutor):
1.将表的分针拨快 10 分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( π A. 3 π C.- 3 π B. 6 π D.- 6 )

解析:选 C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角. 1 故 A、B 不正确,又因为拨快 10 分钟,故应转过的角为圆周的 . 6 1 π 即为- ×2π=- . 6 3 2.已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 或 4 C.4 B .1 D.8

)

l+2r=6, ? ? 解析:选 A 设扇形的半径和弧长分别为 r,l,则易得?1 ? ?2lr=2,
?l=4 ?l=2, ? ? 解得? 或? 故扇形的圆心角的弧度数是 4 或 1. ? ? ?r=1 ?r=2.

π 3.已知角 α 和角 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=- ,则 sin α=( 3

)
6

———————————————————————————————————————————————————

A.-

3 2

B.

3 2

1 C.- 2

1 D. 2

π π 解析:选 D 因为角 α 和角 β 的终边关于直线 y=x 对称,所以 α+β=2kπ+ (k∈Z),又 β=- , 2 3 5π 1 所以 α=2kπ+ (k∈Z),即得 sin α= . 6 2 θ θ θ cos ?=-cos ,则 是( 4.设 θ 是第三象限角,且? ? 2? 2 2 A.第一象限角 C.第三象限角 )

B.第二象限角 D.第四象限角

θ? θ θ θ 解析:选 B ∵θ 是第三象限角,∴ 为第二或第四象限角.又∵? ?cos2?=-cos2,∴cos2<0, 2 θ 知 为第二象限角. 2 7π sin cos π 10 5.(2012· 宜春模拟)给出下列各函数值:①sin(-1 000° );②cos(-2 200° );③tan(-10);④ ,其 17π tan 9 中符号为负的是( A.① C.③ 解析:选 C ) B.② D.④ sin(-1 000° )=sin 80° >0;cos(-2 200° )

7π 7π sin cos π -sin 10 10 7π 17π =cos(-40° )=cos 40° >0;tan(-10)=tan(3π-10)<0; = ,sin >0,tan <0,∴原式>0. 17π 17π 10 9 tan tan 9 9 6.已知 sin θ-cos θ>1,则角 θ 的终边在( A.第一象限 C.第三象限 )

B.第二象限 D.第四象限

解析: 选 B 由已知得(sin θ-cos θ)2>1,1-2sin θcos θ>1, sin θcos θ<0, 且 sin θ>cos θ, 因此 sin θ>0>cos θ,所以角 θ 的终边在第二象限. 7. 在直角坐标系中, O 是原点, A( 3, 1), 将点 A 绕 O 逆时针旋转 90° 到 B 点, 则 B 点坐标为__________. 解析:依题意知 OA=OB=2,∠AOx=30° ,∠BOx=120° , 设点 B 坐标为(x,y),所以 x=2cos 120° =-1,y=2sin 120° = 3,即 B(-1, 3). 答案:(-1, 3) 3π 3π? 8.若 β 的终边所在直线经过点 P? ?cos 4 ,sin 4 ?,则 sin β=________,tan β=________.
——————————————————————————————————————————————————— 7

3π 3π? 解析:因为 β 的终边所在直线经过点 P? ?cos 4 ,sin 4 ?,所以 β 的终边所在直线为 y=-x,则 β 在第二 或第四象限. 所以 sin β= 答案: 2 2 或- ,tan β=-1. 2 2 -1

2 2 或- 2 2

3? 9.如图,角 α 的终边与单位圆(圆心在原点,半径为 1)交于第二象限的点 A? ?cos α,5?, 则 cos α-sin α=________. 3 4 7 解析:由题图知 sin α= ,又点 A 在第二象限,故 cos α=- .∴cos α-sin α=- . 5 5 5 7 答案:- 5 10.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解:设圆的半径为 r cm, 弧长为 l cm, 1 ? ?r=1, ?2lr=1, ? 则? 解得? ?l=2. ? ? ?l+2r=4, l ∴圆心角 α= =2. r 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H.则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1· sin 1=sin 1(cm), ∴AB=2sin 1(cm). 3 4? 11.如图所示, A, B 是单位圆 O 上的点, 且 B 在第二象限, C 是圆与 x 轴正半轴的交点, A 点的坐标为? ?5,5?, △AOB 为正三角形. (1)求 sin∠COA; (2)求 cos∠COB. 4 解:(1)根据三角函数定义可知 sin∠COA= . 5 (2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60° , 4 3 又 sin∠COA= ,cos∠COA= , 5 5 3 1 4 3 3-4 3 ∴cos∠COB=cos(∠COA+60° ) =cos∠COAcos 60° -sin∠COAsin 60° = · - · = . 52 5 2 10 12.(1)设 90° <α<180° ,角 α 的终边上一点为 P(x, 5),且 cos α= 2 x,求 sin α 与 tan α 的值; 4

(2)已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ=-x,求 sin θ,cos θ.
——————————————————————————————————————————————————— 8

解:(1)∵r= x2+5,∴cos α= 从而 2 x x= 2 , 4 x +5

x , x +5
2

解得 x=0 或 x=± 3. ∴x<0,因此 x=- 3. 5 15 tan α= =- . 3 - 3 1 ∴tan θ=- , x

∵90° <α<180° ,

5 10 故 r=2 2,sin α= = , 4 2 2 (2)∵θ 的终边过点(x,-1),

又 tan θ=-x,∴x2=1,∴x=± 1. 当 x=1 时,sin θ=- 2 2 ,cos θ= ; 2 2 2 2 ,cos θ=- . 2 2

当 x=-1 时,sin θ=-

六、反思总结(Thinking): 堂堂清落地训练 (5-10 分钟的测试卷,坚持堂堂清,学习很爽心)
1.-870° 的终边在第几象限( A.一 C.三 ) B.二 D.四

解析:选 C 因-870° =-2×360° -150° .-150° 是第三象限角. 2.已知角 α 的终边经过点( 3,-1),则角 α 的最小正值是( 2π A. 3 5π C. 6 11π B. 6 3π D. 4 )

-1 1 解析:选 B ∵sin α= =- ,且 α 的终边在第四象限, 2 2 11 ∴α= π. 6 3.(教材习题改编)若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角 )

解析:选 C 由 sin α<0,知 α 在第三、第四象限或 α 终边在 y 轴的负半轴上,由 tan α>0,知 α 在第 一或第三象限,因此 α 在第三象限. 2π 4.若点 P 在 角的终边上,且 P 的坐标为(-1,y),则 y 等于________. 3
——————————————————————————————————————————————————— 9

2π 解析:因 tan =- 3=-y,∴y= 3. 3 答案: 3 5.弧长为 3π,圆心角为 135° 的扇形半径为________,面积为________. 3 解析:弧长 l=3π,圆心角 α= π, 4 l 3π 1 由弧长公式 l=α· r 得 r= = =4,面积 S= lr=6π. α 3 2 π 4 答案:4 6π

———————————————————————————————————————————————————

10


相关文章:
任意角、弧度制及任意角的三角函数 教师版
任意角、弧度制及任意角的三角函数 教师版_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 任意角、弧度制及任意角的三角函数 教师版_数学_高中...
一轮复习任意角、弧度制及任意角的三角函数(教师版)
一轮复习任意角、弧度制及任意角的三角函数(教师版)_数学_高中教育_教育专区。任意角、弧度制及任意角的三角函数(教师版)第1讲最新考纲 任意角、弧度制及任意角...
《任意角的三角函数》教学设计
任意角的三角函数(第一课时) 》教学设计 任意角的三角函数(1)一、教学内容分析:高一年《普通高中课程标准教科书·数学(必修 4)(人教版 A 版) 》 1.2.1...
2任意角的三角函数及三角函数线(教师版)
2任意角的三角函数及三角函数线(教师版)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。任意角的三角函数及三角函数线考点回顾: 1、三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的...
任意角的三角函数教学设计
任意角的三角函数(1)一、教学内容分析:高一年《...·数学(必修 4) 》 (人教版 A 版)第 12 页 ...为什么? 【分析】 :先由学生回答问题,教师再引导...
任意角的三角函数公开课教案
任意角的三角函数公开课教案_高一数学_数学_高中教育...让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师...· x —α y (图六) 指导学生识记六个比值及...
任意角的三角函数 刘云丹教案
任意角的三角函数”是人民教育出版社(A 版)普通高中标准实验教科书数学必修 ...高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力,相对于初中学生来说已经相对成熟,能在教师的...
...任意角和弧度制及任意角的三角函数 学生版
2016.1.6杨一鸣第六次课任意角和弧度制及任意角的三角函数 学生版_高一数学_...授课日期及时段 2016 年 1 月 6 日年级:高一 课时数:3 课时 学科教师:吕明...
(教师版)第二讲 任意角的三角函数
(教师版)第二讲 任意角的三角函数_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第二讲 知识梳理 1.任意角三角函数的定义 任意角的三角函数 设角 α 终边上任意一点的...
高一数学同步练习(必修4第一章三角函数(一)).(教师版)doc
高一数学同步练习(必修4第一章三角函数(一)).(教师版)doc_数学_高中教育_教育专区。高一数学同步练习 必修四 第一章三角函数(一) 一、任意角、弧度制及任意角...
更多相关标签: