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2013年沈阳市高中三年级教学质量监测(二)数学(理科)


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2013 年沈阳市高中三年级教学质量监测(二) 数学(理科 )
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 开始 ) 输入 a

1? i 1.复数 z ? 1 ? 3 ( i 为虚数单位)对应的点在( i

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

2.已知非空集合 A, B ,全集 U ? A ? B ,集合 M ? A ? B , 集合 N ? (

i ? 1, S ? 0
i?5


B )? (

,则( A)

) D. M ? N

A . M ? N ? M B. M ? N ? ?

C. M ? N



3.等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,若 a 4 ? 15 , S5 ? 55 ,则过点

S ? S ?a a ? 1? a

4.执行如图所示的程序框图,若输入 a ? 2 ,则输出的结果为( A.3 B. 4 C.5 D.6

P (3 , a3 ) , Q (4 , a4 )的直线的斜率为( 1 A.4 B. C.-4 4

) D.-14 )

i ? i ?1
输出 S 结束

x2 ? y 2 ? 1与动直线 l :2mx ? 2 y ? 2m ?1 ? 0 ? m ? R ? , 5.椭圆 C : 4 则直线 l 与椭圆 C 交点的个数为( )
A.0 B. 1
6

C.2

D.不确定 )

6.“ a ? 1 ”是“ (1 ? ax) 的展开式的各项系数之和为 64”的(

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( )

主视图

左视图

A

B
*

C
n

D ) .

8.在等比数列 ?an ? 中,对于 ?n ? N 都有 an?1 ? a2n ? 3 ,则 a1 ? a2 ??? a6 ? (

www.baishiedu.com A. ? (3 3)11 9.已知关于 x 的方程 ? A.(0,1) B. (3 3)13
x

C. ? 3

5

D. 3

6

? 1 ? 1 ? lg a 有正根,则实数 a 的取值范围是( ? = ? 2 ? 1 ? lg a
( B. 1 , 10) 10
C. (

)

1 (10, ? ?) D. ,1) 10 ??? ? ??? ? ??? ? ? 10.已知点 O 为 ?ABC 外接圆的圆心,且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则 ?ABC 的内角 A 等于(
A.30° B.60° C.90° D.120° 11.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?? ) ( A ? 0 , ? ? 0 )的图像在 [ ? 值是( A. ) . B.



3? 3? ,? ] 上单调递增,则 ? 的最大 2 4
D .2 ) .

1 2

12. 定义在 (0,

且恒有 f ( x) ? f ?( x) ? tan x 成立, 则 ( ) 上的函数 f ( x) ,f ' ? x ? 是它的导函数, 2 ? ? ? A. 3 f ( ) ? 2 f ( ) B. f (1) ? 2 f ( ) sin1 4 3 6 ? ? ? ? C. 2 f ( ) ? f ( ) D. 3 f ( ) ? f ( ) 6 4 6 3

?

3 4

C. 1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸上. 13.

?

?

2 0

cos 2 x dx ? cos x ? sin x

. 种放法. (用

14. 将 7 支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中, 每个笔筒中至少放两支笔, 有 数字作答)

15.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 , F2 ,且它 们在第一象限的交点为 P , △PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF1 ? 10 ,双曲线的离心 率的取值范围为 ?1 , 2 ? .则该椭圆的离心率 e 的取值范围是 . 16.三棱锥 A ? BCD 的外接球为球 O ,?ABC 与 ?ACD 都是以 AC 为斜边的直角三角形,?BCD 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形, 且 BD ? 面积为 17. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b, c ,且 (1)求角 A ; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的面积 S 的最大值. .

2 ,向量 DA 与 AB 的夹角为

2? ,则球 O 的表 3

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应位置.

a 1 ? cos A ? . b cos C

18. (本小题满分 12 分)

www.baishiedu.com 如图甲, 已知 ABCD 是上、 下底边长分别为 2 和 6 , 高为 3 的等腰梯形, 将它沿其对称轴 OO1 折成直二面角,如图乙. (1)证明: AC ⊥ BO 1;
[来源:学。科。网]

(2)求二面角 O - AC - O1 的大小.

19. (本小题满分 12 分) 在一次数学测验后,班级学委对选答题的选题情况进行统计,如下表: 平面几何选讲 男同学(人数) 女同学(人数) 合计 12 0 12 极坐标与参数方程 4 8 12 不等式选讲 6 12 18 合计 22 20 42

(1)在统计结果中,如果把平面几何选讲和极坐标与参数方程称为几何类,把不等式选讲称为 代数类,我们可以得到如下 2×2 列联表: 几何类 男同学(人数) 女同学(人数) 合计 16 8 24 代数类 6 12 18 合计 22 20 42

据此统计你是否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关,若有关,你有多大的把握? (2)在原统计结果中,如果不考虑性别因素,按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随 机选出 7 名同学进行座谈. 已知这名学委和两名数学科代表都在选做“不等式选讲”的同学中. ①求在这名学委被选中的条件下,两名数学科代表也被选中的概率; ②记抽取到数学科代表的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 E ( X ) . 下面临界值表仅供参考:

P( x 2 ? k )

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
(参考公式: ? ? 20. (本小题满分 12 分)

n(n11n22 ? n12 n21 )2 ) n1? n2? n?1n?2

www.baishiedu.com 已知抛物线 C: y ? x, 过点 A ?x0,0??x0 ? ?作直线 l 交抛物线于点 P, Q (点 P 在第一象限).
2

? ?

1? 8?

(1)当点A是抛物线C的焦点,且弦长 PQ ? 2 时,求直线 l 的方程; (2)设点Q关于 x 轴的对称点为 M ,直线 PM 交 x 轴于点B,且 B P?B Q . 求证:点B的坐标是 ??x0 ,0? , 并求点B到直线 l 的距离 d 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分)

x2 ? a 3 ln( x ? a ? a 2 ) , a ?R 且 a ? 0 . 2 f ( x ) 的单调性; (1)讨论函数
已知函数 f ( x) ? (2)当 a ? 0 时,若 a2 ? a ? x1 ? x2 ? a2 ? a ,证明:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) a 2 ? ?a . x2 ? x1 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清 题号. 22.(本题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC内接于⊙ O , AB 是⊙ O 的直径, PA 是过点 A 的直线, 且 ?PAC ? ?ABC . (1)求证: PA是⊙ O 的切线; (2)如果弦 CD 交 AB 于点 E , AC ? 8 ,

CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3 , 求直径 AB 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,圆 C 的方程是 x ? y ? 4 x ? 0 ,圆心为 C .在以坐标原点为极点,以 x 轴的
2 2

非负半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 C1 : ? ? ?4 3sin ? 与圆 C 相交于 A, B 两点. (1)求直线 AB 的极坐标方程;

? 3 x ? 2? t ? ? 2 ( t 是参数 ) 交直线 AB 于点 D , 交 y 轴于点 E ,求 ( 2 )若过点 C (2,0) 的曲线 C2: ? 1 ?y ? t ? ? 2 | CD |:| CE |的值.

www.baishiedu.com 24.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ?1 . (1)解不等式: 1 ? f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ; (2)若 a>0 ,求证: f (ax) ? af ( x) ≤ f (a ) .

www.baishiedu.com 答案: 一、 选择题 参考答案 1 D 2 B 3 A 4 B 5 C 6 B 7 C 8 D 9 C 10 A 11 C 12 D

5.C 动直线 l 即为: y ? 交点,选 C.

1 ? 1? ? m ? x ? 1? ,动直线过定点 ? 1, ? ,该点在椭圆内部,所以总有两个 2 ? 2?
2 3 6

8.提示:由题知, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a33 ? a43 ? (3 ) ? 3 ,选D. 9.提示:由题只须

1 ? lg a 1 ? (0,1) ,解得 lg a ? (?1, 0) ,从而 实数 a ? ( ,1) ,故选 C. 1 ? lg a 10
y

11.提示: (方法一)令 x ? ? ? t ,原题等价于函数

y ? sin ?t 的图像在 [ ?
只须 ?

? ?

? ? ? ? ,从而 ? ? 1 .选C. 2? 2

, ] 上单调递增.如图: 2 4

?

? 2?

·

· ?

2?

x

(方法二)因为 A >0 , ? >0 , 所以函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?? ) 的增区间满足:

?

?
2

? 2k? ? ?x ? ?? ?

?
2

? 2k? ,化简得

?

?
2

? 2k?

?
?? ? x ? 2

? 2k?

3? ,? ] 上单调递增, 2 4 ? ? ? ? ? 2k? ? ? 2 ? 2k? ? 3? 3? ,? ] ? ? 所以 [ ? ??, 2 ??? , 2 4 ? ? ? ? ? ?
又因为函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?? ) 在 [ ? 解得 ?

? 3?

?

? ? k ? Z.

?? ? 2 ? 8k ,所以 ? ? 1 ,即 ? 的最大值为 1. ?? ? 1 ? 4k

12.提示: 由 f ( x) ? f ?( x) ? tan x 得 cos x ? f ( x) ? sin x ? f ?( x) ? 0 可见

cos x ? f ( x) ? sin x ? f ?( x) f ( x) ? ? 0 ,即函数 在 (0, ) 上单调递增,所以选 D. 2 sin x sin x 2
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.0 13.提示:因 14.112

1 2 15. ? e ? 3 5

16. 3?

? cos 2 x cos 2 x ? cos x ? sin x ,所以 ? 2 dx ? 0 cos x ? sin x cos x ? sin x

?

?

2 0

(cos x ? sin x)dx

2 ? (sin x ? cos x) |0 ? 1 ?1 ? 0 .

?

www.baishiedu.com 14.提示: (方法一)令甲、乙两个笔筒,放入甲筒里的情况共有四种,每种情况里的方法数分别为
3 4 5 2 3 4 5 3 5 3 , C7 , C7 ,从而共有 C7 C72 , C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? C8 ? C8 ? 2C8 ? 112 .

(方法二)将 7 支不同的笔放入两个不同的笔筒中,先将 7 支不同的笔分成两份,有两种情况,
5 2 4 3 一是一份 5 支,另一份 2 支,有 C7 C2 方法,二是一份 4 支,另一份 3 支,有 C7 C3 方法,共有

5 2 4 3 2 ? 2 种方法,由分 C7 C2 ? C7 C3 ? 56 种方法,接着将两份笔分别放入两个不同的笔筒中有 A2 步计数原理得 56 ? 2 ? 112 种方法.

15.提示:设椭圆的长半轴长,半焦距分别为 a1 , c ,双曲线的实半轴长,半焦距分别为 a2 , c ,
?a1 ? 5 ? c 1 1 ? a1 ? a2 ? 2c, ? ? 2 ( e1 , e2 分别为椭圆和双曲线的离心率) ,又 e2 ? ?1, 2 ? ,则该 ? a ? 5 ? c e e2 ? 2 1 1 2 椭圆的离心率的取值范围是 ? e ? . 3 5 16.提示:因为 ?ABC 与 ?ACD 都是以 AC 为斜边的直角三角形,所以 AC 的中点即是球 O 的球

心. 又因为 ?BCD 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形,且 BD ? 所 以 AD ? AB, 又 <DA , AB >=

2 所以 ?ABC 与 ?ACD 全等,

2? , 所 以 ?ABD 为 等 边 三 角 形 , 且 边 长 为 2 , 所 以 3

AC ? 3 ,所以球 O 的半径为

3 ,所以球 O 的表面积为 3? . 2

三、解答题:本大题共 70 分. 17.解: (1)解法①:由正弦定理可知 所以

a sin A ? , b sin B

sin A 1 ? cos A ? , sin B cos C

……………………………………………………………2 分

即 sin A cos C ? sin B ? sin B cos A , 又因为在 ?ABC 中, sin B ? sin(? ? ( A ? C )) ? sin( A ? C ) , ……………………4 分 又 sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C , 所以 sin A cos C ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin B cos A , 即 cos A(sin C ? sin B) ? 0 , …………………………………………………………6 分 又因为在 ?ABC 中, sin C ? 0,sin B ? 0 , 所以 cos A ? 0 ,即 A ?

?
2

.

………………………………………………………8 分

b2 ? a 2 ? c2 b2 ? c2 ? a 2 (方法二):由余弦定理可知 cos A ? , cos C ? , 2ab 2bc

b2 ? a 2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ?b? 代入原式中,得 , 2b 2c

………………………………2 分

www.baishiedu.com 即 c(b2 ? a2 ? c2 ) ? 2b2c ? (b2 ? c2 ? a2 )b ,即 c(a2 ? c2 ? b2 ) ? b(b2 ? c2 ? a2 ) , 于是 (b ? c ? a )(b ? c) ? 0 ,
2 2 2

因为 b ? c ? 0 ,所以 b ? c ? a ? 0 , ……………………………………………6 分
2 2 2

所以 A ?

?
2

.
2

…………………………………………………………………………8 分
2

(2)由(1)知 b ? c ? 1 ,又因为 b ? c ? 2bc ,所以 bc ?
2 2

1 (当 b ? c 时取“=” ) , 2

……………………………………………………………………………… 10 分 又因为 ?ABC 的面积 S ?

bc 1 1 ? ,从而 ?ABC 的面积 S 的最大值为 . ………12 分 2 4 4

18.解: (1)证明: (方法一) 由题设知 OA⊥OO1,OB⊥OO1. 所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角, 即 OA⊥OB. 所以有 AO⊥平面 OO1B,所以 B O1⊥AO. 如右图在直角梯形 OO1CB 中,连 BO1 交 OC 于 E, 由已知, O1C=1,OO1= 3 ,OB=3,………………………………………………4 分

3 所以在 Rt△ OO1C 中, tan ?O1OC ? ,所以∠O1OC=30o. 3
在 Rt△ O1OB 中, tan ?OO1B ? 3 ,所以∠OO1B=60o. 所以∠O1EO=90 ,
o

O1 E O

C

B

于是 BO1⊥OC.(或由三角形相似及相似比得 O1E 2 ? OE 2 ? OO12 得 BO1⊥OC 可参照给分) 又 OC ? AO=O,所以 BO1⊥平面 AOC,又 AC ? 平面 AOC, 所以 AC⊥BO1. (2) (方法一) 解:连 OD 交 AO1 于 E, 由(1)可知 OE⊥AO1 又 CO1⊥平面 AOO1D, 而 OE 在平面 AOO1D 内,所以 CO1⊥OE, 从而 OE⊥平面 AO1C. 过 E 作 EF⊥AC 于 F,连 OF. 即在 Rt△ OEF 中, ∠OEF=90o, ∠EFO 即是二面角 O—AC—O1 的平面角. ………8 分 ………………………………………………………………………6 分

www.baishiedu.com 由(1)可知 OE=

3 3 3 ,AE= , 2 2 3 39 EF AE ? ,而 AC= 13 ,所以 EF= , ……10 分 26 CO1 AC
…………………………………11 分

而△ AEF∽△A O1C,则

从而 tan∠EFO=

39 OE 3 26 ? = ? , 3 EF 2 3 39

即 二面角 O—AC—O1 的大小是 arctan

39 . 3

…………………………………12 分

(1) (方法二) 由题设知 OA⊥OO1,OB⊥OO1.所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角, 即 OA⊥OB. 故可以 O 为原点,OA、OB、OO1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立(如图)空间直角坐标系,…………………2 分 则 A(3,0,0) ,
[来源:学科网 ZXXK]

B(0,3,0) ,C(0,1 , 3 ) ,O1(0,0 , 3 ).

从而 AC ? (?3,1, 3), BO1 ? (0,?3, 3), AC ? BO1 ? ?3 ? 3 ? 3 ? 0. 所以 AC⊥BO1. ………………………………………………………………6 分

(2) (方法二)因为 BO 1 ? OC ? ?3 ? 3 ? 3 ? 0, 所以 BO1⊥OC, 由(1)AC⊥BO1,所以 BO1⊥平面 OAC, BO1 是平面 OAC 的一个法向量. 设 n ? ( x, y, z) 是平面 O1AC 的一个法向量, 由?

? ?n ? AC ? 0 ? ?n ? O1C ? 0

,有 ?

?? 3 x ? y ? 3 z ? 0, ? y ? 0.

取 z ? 3 ,得 n ? (1,0, 3) .

………8 分

设二面角 O—AC—O1 的大小为 ? ,如图可知 ? 为锐角,

? ???? ? n ? BO1 3 所以 cos? ? cos<n, BO1> = ? ???? . ? ? 4 n ? BO1

…………………………10 分

www.baishiedu.com 即 二面角 O—AC—O1 的大小是 arccos

3 . 4

………………………………12 分

2 252 ? 4.582 ? 3.841 . 19.解: (1)由题 ? 2 ? 42? (16?12 ? 8 ? 6) ?

24?18? 20? 22

55

所以,据此统计有 95% 的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关. ……4 分 (2)由题可知在“不等式选讲”的 18 位同学中,要选取 3 位同学. ………………6 分

① 令事件 A 为“这名学委被抽取到” ;事件 B 为“两名数学科代表被抽到” , 则 P( A ? B) ?
3 2 C3 C17 , . P ( A ) ? 3 3 C18 C18

所以 P( B | A) ?

3 2 1 P( A ? B) C3 ? . ? 2 ? P( A) C17 17 ? 16 136

……………………………8 分

(另解: 令事件 A 为“在这名学委被抽取到的条件下,两名数学科代表也被抽到” ; 则 P( A) ?
2 2 1 C2 ? ? . 2 C17 17 ? 16 136

………………………………………………8 分
3 2 1 C16 C16 C2 5 35 ; ? P ( X ? 1) ? ? ; 3 3 C18 51 C18 17

② 由题 X 的可能值有 0,1,2.依题 P( X ? 0) ?

P( X ? 2) ?

1 2 C16 ? C2 1 ? . 3 C18 51

…………………………………………………10 分

从而 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

35 51

5 17

1 51

……………………………………11 分

于是 E ( X ) ? 0 ?

35 5 1 17 1 ? ? . ? 1? ? 2 ? 51 17 51 51 3

…………………………………12 分

(另解:因为 X 服从超几何分布,所以 E ( X ) ? 3 ?
2

2 1 ? . 18 3

…………………12 分)

20. 解: (1)由抛物线 C: y ? x, 得抛物线的焦点坐标为 ?

?1 ? , 0 ? , 设直线 l 的方程为 ?4 ?

2 ? y ?x 1 1 ? 2 xn ? y ? , P x , y , Q xy ,2 . 由? , 得 y ? n y? ? 0 . ? ? ? ? 1 1 1 2 4 4 x? n y? ? ? 4

………..2 分

? n y ?, x ? n y ?, ?? n1 ? 0 , yy ?? . 所以 ? 因为 x 1 1 2 2 1 2 n
2

1 4

1 4

www.baishiedu.com 所以 P Q ? x ?? x x ? n y ? y ? 1 ? 2 . ? ? 1 2? ??? 1 x 2 1 2 所以 n ? 1, 即 n ?? 1.
2

1 4

1 4

1 2

………….4 分

所以直线 l 的方程为 x ??? y 0 或 x ??? y 0 , . 即 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 或 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 (2) 设 l 则 Mx : x ? m y ? x m ? 0 , P x ,, y Q x ,, x y . ? ? ? ? ? ? ? 2,? 0 1 1 2 2 2? 由? …………5 分

1 4

1 4

? x ? my ? x0 , ?y ? x
2

消去 x ,得 y 2 ? my ? x0 ? 0 ,
2

因为 x ?, 所 以 ? = m ? 4 x ? 0 , 0 0

1 8

yy ?? , y y ? ? x . 1 2 m 1 2 0
(方法一)

……….7 分

M ? xxy ? , ? , B Pxx ?? , y . 设 B? xB,0?, 则 B ? ? ? ? 2 B 2 1 B 1
由题意知, BM // B P ,

? ? ? ? ?

? ? ? ?

???? ? ????

? x y ? y x ? ?? x y y , 2 1 1 B 1 2x B 2

yy ? x ? x yx ? y ? y y ? y y ? y ? y y y . 即? ? ? ? 1 2 B 1 2 2 1 1 2 2 1 1 21 2
2 2

B x ,0. 显然 y1 ? y2 ? m ? 0, ? xB ? y1 y2 ? ? x0 , ? ?? ? 0
由题意知, ?MBQ为等腰直角三角形,

………..9 分

?kPB ?1 ,即

y1 ? y 2 y ? y2 ? 1, 也即 1 ? 1, 2 x1 ? x2 y12 ? y2

? y1 ? y2 ? 1, ?( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? 1,
即m ?? 41 x ? m ? 1 ? 40 x ? , 0 , 0
2 2

1 11 1 ? x ? . ? x ?? , ?? x . 0 0 0 4 88 4

………….10 分

d ?

2 x 0 ? ? 2 ? 4 x m ? 1 2 0

2 x 0

2 ? ?? ?? ? ?
1 2 x 0 1 x 0

2

?

? 61 ? ? , ? . ? ? 2 1 22 1 ? ? ? 1? 1 x 0 2
…………12 分

? 61 ? . ? d 的 取 值 范 围 是 ? ? , ? 1 22 ? ?

www.baishiedu.com (方法二) 因为直线 l : y ? y1 ?

y1 ? y 2 ?x ? x1 ? , x1 ? x2

2 y1 ?x1 ? x2 ? y1 y12 ? y 2 所以令 y ? 0 ,则 x ? x1 ? ? x1 ? ? x1 ? y12 ? y1 y 2 ? ? x0 , y1 ? y 2 y1 ? y 2

?

?

? B(? x0 ,0) .

…………………..9 分

由题意知, ?MBQ 为等腰直角三角形,? k PB ? 1 ,即
2

y1 ? y 2 ? 1, x1 ? x2

? y1 ? y2 ? 1 ,? ? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? 1 ,即 m2 ? 4x0 ? 1 ,

? m2 ? 1 ? 4x0 .
? x0 ? 1 1 2 ,? 0 ? m ? . 8 2
……………….10 分

1 d? ? ? m2 ? 1 2 m 2 ? 1 2
? 6 1? ? d 的取值范围是 ? ? ?. ? 12 2 ?
21. 解: (1)由题, f ?( x) ? x ?

2 x0

1 ? m2

?1 ? m ?

1 ? 2 m ?1 2

2 2

?m

2

? 1 ? 2?
2

2

m ?1

?

? 6 1? 1 4 m2 ? 1 ? 2 ?4?? , ? ? 2 m ?1 ? 12 2 ?

…………….12 分

a3 x 2 ? (a ? a 2 ) x ? a 3 ? x ? a ? a2 x ? a ? a2
…………………………………………………………2 分
2

( x ? a )( x ? a 2 ) ? . x ? a ? a2

2 令 f ?( x) ? 0 ,因为 x ? a ? a ? 0 故 ( x ? a)( x ? a ) ? 0 .
2 2 2 2 当 a ? 0 时,因 a ? a ? a 且 a ? a ? a 所以上不等式的解为 (a ? a , ??) ,

2 从而此时函数 f ( x) 在 (a ? a , ??) 上单调递增.
2 2

……………………………4 分

2 当 a ? 0 时,因 a ? a ? a ? a 所以上不等式的解为 (a , ??) , 2 从而此时函数 f ( x) 在 (a , ??) 上单调递增. 2 2 同理此时 f ( x) 在 (a ? a , a ] 上单调递减.

………………………………………6 分

(2) (方法一)要证原不等式成立,只须证明 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 )(

a2 ? a) , 2

a2 a2 ? a) x2 ? f ( x1 ) ? ( ? a) x1 . 2 2 2 2 因为 a ? a ? x1 ? x2 ? a ? a 所以原不等式只须证明,
只须证明 f ( x2 ) ? (

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a2 ? a) x 在 x ? (a 2 ? a, a 2 ? a) 内单调递减. …………………8 分 2 3 2 a 4 a3 2 x ? a x ? ? ? a2 2 3 a a 2 2 2 由(1)知 h?( x) ? x ? ( ? a) ? , ? 2 2 2 x?a?a x?a?a 2 因为 x ? a ? a ? 0 , 3 2 a 4 a3 2 a 2 ? a, a 2 ? a ? ? ? a2 , x ? ? 我们考察函数 g ( x) ? x ? a x ? ? ?. 2 2 2 a2 ? a ? a2 ? a 3a 2 2 2 ? a 2 ? x对称轴 ? 因 ?? ?a ? a, a ? a ? ?, 2 4
函数 h( x) ? f ( x) ? ( 所以 g ( x) ? g (a 2 ? a) ? 0 .
2

……………………………10 分
2

从而知 h?( x) ? 0 在 x ? (a ? a, a ? a) 上恒成立, 所以函数 h( x) ? f ( x) ? (

a2 ? a) x 在 x ? (a 2 ? a, a 2 ? a) 内单调递减. 2

从而原命题成立

……………………………………………12 分

(方法二)要证原不等式成立,只须证明 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 )(

a2 ? a) , 2

a2 a2 ? a) x2 ? f ( x1 ) ? ( ? a) x1 . 2 2 2 2 又 a ? a ? x1 ? x2 ? a ? a ,
只须证明 f ( x2 ) ? ( 设 g ?x ? ? f ?x ? ? ? ?

? a2 ? ? a? ?x , ? 2 ? ? a2 ? a 2 ? a, a 2 ? a ? ? a? x 在x? ? ? ? 内单调递减 ? ? 2 ?
. ………………………8 分

则欲证原不等式只须证明函数 g ?x ? ? f ?x ? ? ? ?

由(1)可知 g ??x ? ? f ??x ? ? ? ?

? a2 ? ? a2 ? a3 ? ? a? ? x ? ? ? a? 2 ? ? ? x?a?a ? 2 ? 2 ? ?

? x ? a ? a2 ?

? a2 ? a3 2 ? ? a ? a ? ? a? 2 ? ?. x?a?a ? 2 ?

2 因为 a ? 0 ,所以 y ? x ? a ? a ?

a3 2 2 在 ? a ? a, a ? a ? ? 上为增函数, x ? a ? a2 ?
2

所以 g ? ? x ? ? g ? a ? a ? a ? a ? a ? a ?
2 2

?

?

? a2 ? a3 2 ? a ? a ? ? ?a? ? 0 . 2 2 a ?a?a?a ? 2 ?

从而知 g ??x ? ? 0 在 x ? (a ? a, a ? a) 上恒成立,
2 2

www.baishiedu.com 所以函数 g ?x ? ? f ?x ? ? ? ? 从而原命题成立. 22.(1)证明: AB 为直径,? ?ACB ?

? a2 ? 2 2 ? a? ? x 在 x ? (a ? a, a ? a) 内单调递减. 2 ? ?

?
2

…………………………………12 分

, ??CAB ? ?ABC ?

?

? ?PAC ? ?ABC ,??PAC ? ?CAB ?

?
2

2



, …………………………………4 分

? PA ? AB, AB 为直径,? PA为圆的切线.
(2) CE ? 6k , ED ? 5k , AE ? 2m, EB ? 3m ,

? AE ? EB ? CE ? ED,?m ? 5k ,
BD 3m ? ,? BD ? 4 5 . ……………………6 分 8 6k BC CE 2 2 ? 连 AD,由 ?CEB ∽ ?AED ,? . 在 Rt ?ABC , Rt ?ADB 中, BC ? 25m ? 64 , AD AE
连 DB,由 ?AEC ∽ ?DEB ,?

AD2 ? 25m 2 ? 80 ,于是有

25m 2 ? 64 3k 2 9 =( ) ? , 5 25m 2 ? 80 m
………………………………… 10 分

? m ? 2 ,? AB ? AE ? EB ? 10 .
23.解:

(1)在以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,

?? 2 ? x2 ? y 2 ? x ? ? cos ? ? 极坐标与直角坐标有关系: ? ,………………………1 分 y 或? ? y ? ? sin ? ? tan ? ? x ?
所以圆 C1 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 3 y ? 0 ,…………………………………2 分 联立曲线 C: x ? y ? 4 x ? 0 ,得
2 2

? x1 ? 0 ? ? x2 ? 3 或? , ? ? y1 ? 0 ? ? y2 ? ? 3
3 x, 3 2 2 (此处如下解法也可:联立曲线 C1 与 C,消去 x 与 y 项,得 3 y ? x ? 0 )
即不妨令 A(0,0), B(3, ? 3) ,从而直线 AB 的直角坐标方程为: y ? ? 所以, ? sin ? ? ?

3 3 ? cos ? ,即 tan ? ? ? , 3 3

……………………………4 分 ……………………………5 分

所以直线 AB 的极坐标方程为 ? ? ?

? , ( ? ? R). 6

www.baishiedu.com (2) (方法一)由(1)可知直线 AB 的直角坐标方程为: y ? ?

3 x , …………………6 分 3

? 3 x1 ? 2 ? t1 ? ? 2 依题令交点 D ( x1 , y1 ) 则有 ? , ?y ? 1t 1 1 ? ? 2
又 D 在直线 AB 上,所以,

1 3 3 2 3 t1 ? ? (2 ? t1 ) ,解得 t1 ? ? , 2 3 2 3
2 3 , …………………………………………8 分 3

由直线参数方程的定义知|CD|=| t1 | ?

? 3 x2 ? 2 ? t2 ? ? 2 , 同理令交点 E ( x2 , y2 ) ,则有 ? ?y ? 1t 2 2 ? ? 2
又 E 在直线 x ? 0 上,所以 2 ? 所以|CE|=| t 2 | ? 所以|CD|:|CE|=

3 4 3 t2 ? 0 ,解得 t2 ? ? , 2 3

4 3 , 3

………………………………………………………………9 分 ………………………………………………………………10 分

1 . 2

? 3 x ? 2? t ? ? 2 ( t 是参数)化为普通方程: y ? 3 ( x ? 2) , ………6 分 (方法二)将曲线 C2: ? 3 ?y ? 1t ? ? 2

? x ?1 3 3 ? x ,解得: ? ), 将其联立 AB 的直线方程: y ? ? ,从而 D (1, ? 3 3 3 y ? ? ? 3 ? ? x?0 2 3 ? 再将曲线 C2 与直线 x ? 0 联立,解得 ? 2 3 ,从而 E (0, ? 3 ) , ?y ? ? 3 ?
这样|CD|= (2 ? 1) ? (0 ?
2

3 2 2 3 , …………………………………………8 分 ) = 3 3
…………………………………………9 分

|CE|= (2 ? 0) ? (0 ?
2

2 3 2 4 3 , ) = 3 3

www.baishiedu.com 从而|CD|:|CE|=

1 . 2

……………………………………………………10 分

24.解: (1)由题 f ( x) ? f ( x ? 1) ? x ?1 ? x ? 2 ? x ?1 ? 2 ? x ? 1 . 因此只须解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 . 当 x ? 1 时,原不式等价于 ?2 x ? 3 ? 2 ,即 …………………………………………2 分

1 ? x ? 1. 2 当 1 ? x ? 2 时,原不式等价于 1 ? 2 ,即 1 ? x ? 2 . 5 当 x ? 2 时,原不式等价于 2 x ? 3 ? 2 ,即 2 ? x ? . 2 5? ? 1 综上,原不等式的解集为 ? x | ? x ? ? . …………………………………………5 分 2? ? 2
(2)由题 f (ax) ? af ( x) ? ax ?1 ? a x ?1 . 当 a >0 时, f (ax) ? af ( x) ? ax ?1 ? ax ? a

? ax ?1 ? a ? ax ? ax ?1 ? a ? ax ? a ? 1 ? f (a) .
百时教育名校题库 2016 年 10 月

…………………………10 分


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