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1.2.1.2 三角函数线及其应用


1.2.1.2 三角函数线及其应用

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自学导引 理解角α的正弦线?余弦线?正切线,可以用有向线段来表示角 α的三角函数值,会作出已知角的三角函数线.

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课前热身 1.角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的 横坐标 和________. 纵坐标 ________ OM 正切 MP 2.如下图,角α的正弦线是________; 余弦线是________; AT 线是________.

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名师讲解 对于三角函数线,要结合下图弄清以下几点:

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1.三角函数线的位置:正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段,余弦线在x轴上;正切线在过单位圆与x轴正方 向的交点的切线上.三条有向线段中两条在单位圆内,一条在 单位圆外. 2.三角函数线的方向:正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的 交点,余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向与α终边或其

反向延长线的交点.
3.三角函数值的正负:三条有向线段与x轴或与y轴同向则为 正值,与x轴或与y轴反向则为负值. 如果角α的终边在坐标轴上,就要注意考虑特殊情况,养成良好 的思维习惯,正确处理特殊与一般的关系.
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典例剖析
题型一 三角函数线的应用

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例1:在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.

2 3 (1) sin? ? ;(2)cos? ? ? ;(3)tan? ? 2. 3 5

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分析:对于(1),设角α的终边与单位圆交于P(x,y),则 sinα=y,cosα=x.所以,要作出满足sinα= 边,对于(2),(3)可采用同样的方法予以处理.
2 只要在单位圆上找出纵坐标为 的点P,则OP即为α的终 3 2 的角的终边, 3

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解:(1)作直线y= 的终边,如上图1. 的终边,如上图2.

2 3

交单位圆于P,Q两点,则OP与OQ为角α

3 (2)作直线 x ? ? 交单位圆于M?N两点,则OM与ON为角α 5
(3)在直线x=1上截取AT=2,其中A的坐标为(1,0).设直线OT与 单位圆交于C,D两点,则OC与OD为角α的终边,如上图3. 规律技巧:三角函数线可以用来求出满足形如f(α)=m的三角

函数的角α的终边.

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变式训练1:已知角α的正切线是单位长度的有向线段,那么α 的终边在________上. A.x轴 C.直线y=x 解析:画图易知,选D. 答案:D B. y轴 D.直线y=x或y=-x

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题型二 求角α的范围 例2:在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由 此写出角α的集合. (1)sinα≥ (2)cosα≤
3 ; 2

1 ? . 2

1 3 分析:先作出sinα ? 和cosα ? ? 2 2 时角α的终边,然后结合图形解不等式.

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解:(1)作直线 y ?

OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围.

3 交单位圆于A?B,连结OA?OB,则OA与 2

故满足条件的角α的集合为 2? ? ? , k∈Z}. {α|2kπ ? ≤α≤2kπ 3 3 (2)作直线x=-?交单位圆于C?D,连结OC?OD,则OC与OD围成 的区域(图阴影部分)即为角α的终边的范围.

故满足条件的角α的集合为

2? {α|2kπ ? ≤α≤2kπ 3

4? ? , k∈Z}. 3

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规律技巧:本题是三角函数线的应用.画出图形后,先在[0,2π) 内求满足不等式的区间,然后再加2kπ;也可以先在(-2π,0]内 寻找满足不等式的区间,然后再加2kπ.

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变式训练2:已知MP,OM,AT分别是60°角的正弦线,余弦线, 正切线,则一定有( A.MP<OM<AT B.OM<MP<AT C.AT<OM<MP D.OM<AT<MP 解析:作图易知. 答案:B )

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题型三 三角函数线的综合应用 例3:求证:当α∈ (0,

?
2

)

时,sinα<α<tanα.

分析:本题可以利用单位圆中角α的正弦线及所对的弧长,正切 线所在等腰三角形?扇形及直角三角形的面积的大小来解决.

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证明:如右图所示,设角α的终边与单位圆相交于点P,单位圆与 x轴正半轴的交点为A,过点A作圆的切线交OP的延长线于T, 过P作PM⊥OA于M,连结AP,则 在Rt△POM中,sinα=MP; 在Rt△AOT中,tanα=AT; 又根据弧度制的定义,有 AP =α·OP=α,

易知S△POA<S扇形POA<S△AOT,
即?OA·MP<?

AP ·OA<?OA·AT,

即sinα<α<tanα.

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规律技巧:数形结合是高中数学中常用的数学思想,它要求 找到与所要研究的问题相应的几何解释,再由图形的相关性 质来解决问题.

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变式训练3:利用三角函数线证明:

? ?sinα+cosα>1. , 若0<α 则 2
证明:如图,设∠POM=α.
则sinα=MP,cosα=OM,

在Rt△POM中,有MP+OM>OP. 即:sinα+cosα>1.

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易错探究
2 . 例4:已知sinα+cosα 则? α是第几象限的角 ? 3

错解:当α在第一象限时,有sinα>0,cosα>0, 2 ∴sinα+cosα>0. ? . 3 ∴α为第一象限的角.

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错因分析:由三角函数线知,若α为第一象限的角,则有 sinα+cosα>1.故α不是第一象限的角. 因而sinα与cosα必一正一负.
2 ? . 正解:∵sinα+cosα >0, 3 ∴α是第二或第四象限的角.

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技能演练
基础强化

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1.利用正弦线比较sin1,sin1.2,sin1.5的大小关系,有( A.sin1>sin1.2>sin1.5 B.sin1>sin1.5>sin1.2 C.sin1.5>sin1.2>sin 1 D.sin1.2>sin 1>sin 1.5 解析 :

)

?
4

? 1 ? 1.2 ? 1.5 ?

?
2

, 画图易知.

答案:C

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2.若α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是( A.sinα+cosαB.tanα+sinα C.cosα-tanα D.sinα-tanα 解析:由α为第二象限角知, sinα>0,tanα<0,由三角函数线知|tanα|>sinα. ∴-tanα>sinα,即sinα+tanα<0. 答案:B

)

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3.已知α是第三象限角,则下列等式中可能成立的是( A.sinα+cosα=1.2 C.sinαcosα= B.sinα+cosα=-0.9

)

3 D.sinα+cosα=-1.2

解析:画出角α的三角函数线易知,sinα+cosα<-1.

答案:D

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4.已知θ为锐角,则sinθ+cosθ的值可能是(

)

4 A. 3

3 B. 5

C.2

1 D. 2

解析:由θ为锐角知,sinθ+cosθ>1,但sinθ+cosθ<2.故选A.

答案:A

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5.若0≤θ<2π且不等式cosθ<sinθ和tanθ<sinθ成立,那么角θ 的取值范围是( )

A.( , ? ) 4 4 3 C.(? , ? ) 2

? 3

B.( , ? ) 2 3 5 D.( ? , ? ) 4 4
?

?

解析:从选择项入手,易知当θ∈ ( , ? ) 2 时,sinθ>cosθ,且sinθ>tanθ.故选B. 答案:B

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6.如果

?

4 2 A.cosθ<tanθ<sinθ
B.sinθ<cosθ<tanθ

?? ?

?

, 则下列各式正确的是(

)

C.tanθ<sinθ<cosθ D.cosθ<sinθ<tanθ 解析:画出三角函数线便知. 答案:D

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7.利用单位圆写出适合下列条件的[0°,360°)的角. (1)sinα≥?; 答: __________ . 3 (2)tanα≥ ; 3 答: ___________ . 解析:(1)如图(1)所示.

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图(1)作直线y=?,交单位圆于A?B两点,则区域∠AOB满足 sinα≥?.则30°≤α≤150° (2)如图(2)所示,知30°≤α<90°或210°≤α<270°.图(2)

答案:(1)30°≤α≤150° (2)30°≤α<90°或210°≤α<270°
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8.确定下列各式的正负.

12? 11? (1)tan(?550 );(2)cos ;(3) sin( ? ). 5 6
o

解:(1)tan(-550°)=tan(-720°+170°)=tan 170°<0.

12? 2? 2? (2)cos ? cos(2? ? ) ? cos ? 0. 5 5 5 11? ? ? (3) sin(? ) ? sin(?2? ? ) ? sin ? 0. 6 6 6

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能力提升 9.在(0,2π)内,求使sinα·cosα<0,sinα+cosα>0同时成立的 α的范围. 解:∵sinα·cosα<0, ∴α在第二或第四象限. ∵0<α<2π, ?

3? ? ? ? ?或 ? ? ? 2? . 2 2 ? 3? 7? 或 ? ? ? 2? . ∵sinα+cosα>0, ? ? ? ? 2 4 4

?

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10.已知角α的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),求2sinα+cosα的值.

解析:这里x=4a,y=-3a.

? r ? (4a ) 2 ? ( ?3a) 2 ? 5 | a | .
当a>0时,a的终边在第四象限.

3 4 6 4 2 ? sin? ? ? , cos? ? .? 2sin? ? cos? ? ? ? ? ? . 5 5 5 5 5
当a<0时,r=-5a,

3 4 6 4 2 ? sin? ? , cos? ? ? ? 2sin? ? cos? ? ? ? . 5 5 5 5 5
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品味高考 11.(创新题)已知

?

4 2 a=21-sinx,b=2cosx,c=2tanx,试比较a?b?c的大小.

?x?

?

,

解:如下图所示,在单位圆中

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MP?OM?AT分别是x的正弦线?余弦线?正切线. 在△OMP中,OM>OP-MP即cosx>1-sinx 又AT>OA ∴tanx>1 ∴tanx>cosx>1-sinx ∴2tanx>2cosx>21-sinx ∴c>b>a.

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12.(09广东联考)已知tanα>0,且sinα+cosα>0,那么α的终边 在( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析:当α的终边在第一象限时,tanα>0,sinα>0,cosα>0. 满足tanα>0,且sinα+cosα>0.

答案:A

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