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(文科数学试题)2012年广州市普通高中毕业班综合测试(二)含答案


年广州市普通高中毕业班综合测试( 2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(文科) 数学(文科)

1

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年广州市普通高中毕业班综合测试( 2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(文科) 数学(文科)参考答案
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 A 6 D 7 C 8 D 9 C 10 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分,其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.

11.(-3,1)

12.

1 3

13. [

2 ,1] 2

14. (2 3 ,

2π ) 3

15. 2

说明:第 14 题答案可以是 (2 3,

2π + 2kπ )(k ∈ Z ) 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、二倍角的余弦、同角三角函数关系、两角差的正 弦等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1)解:Q f ( x ) = (cos x + sin x )(cos x ? sin x )

= cos 2 x ? sin 2 x
= cos 2 x .
∴函数 f(x)的最小正周期为 T = (2)解:由(1)得 f ( x ) = cos 2 x .

……………2 分 ……4 分

2π =π . 2

……………6 分

5

α 1 β 2 Qf( )= , f( )= , 2 3 2 3 1 2 ∴ cos α = , cos β = . 3 3
Q0 < α <

………8 分

π

2

,0 < β <

π



2
2 2 5 2 , sin β = 1 ? cos β = . 3 3
……………10 分

∴ sin α = 1 ? cos 2 α =

∴ sin(α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β

…………11 分

= =

2 2 2 1 5 × ? × 3 3 3 3 4 2? 5 9
……………12 分

17.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查线性规划等知识,考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:依题意得 ?

? x + y + z = 100, ? P = 5 x + 4 y + 3 z.

……………2 分

由 x + y + z = 100 ,得 z = 100 ? x ? y ,代入 P = 5 x + 4 y + 3 z , 得 P = 300 + 2 x + y . ……3 分

? x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, ? (1)解:依题意知 x、y、z 要满足的条件为 ?300 x + 500 y + 300 z ≥ 35000. ………6 分 ?700 x + 100 y + 300 z ≥ 40000. ?
? x ≥ 0, y ≥ 0, ?100 ? x ? y ≥ 0. ? 把 z = 100 ? x ? y 代入方程组得 ? ……9 分 ?2 x ? y ≥ 50, ? y ≥ 25. ?
如图可行域(阴影部分)的一个顶点为 A(37.5,25).…10 分 让目标函数 2 x + y + 300 = P 在可行域上移动, 由此可知 P = 300 + 2 x + y 在 A(37.5,25)处取得最小值. ………11 分 ∴当 x = 37.5( kg ), y = 25( kg ), z = 37.5( kg ) 时,混合食物的成本最少. ………12 分

6

18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系、 几何体的三视图、 几何体的体积等知识, 考查数形结合、 化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解:作 MO ⊥ 平面 ABCD,垂足为 O,连接 AO, 由于 AB ? 平面 ABCD,故 MO ⊥ AB . 作 MP ⊥ AB ,垂足为 P,连接 PO, 又 MO

IMP = M ,且 MO ? 平面 MPO, MP ? 平面 MPO,
……1 分 ………… 2 分

∴ AB ⊥ 平面 MPO.
由题意知 MO=PO=AP=1, AA1 = 4 ,AD=2, 在 Rt△POM 中, PM = 在 Rt△APM 中, AM = ∴线段 AM 的长为 3 . (2)解:延长 PO 交 CD 于点 Q,连接 MQ, 由(1)知 AB⊥平面 MPO.

PO 2 + MO 2 = 2 , AP 2 + PM 2 = 3 ,

………3 分

………4 分

……5 分

Q MQ ? 平面 MPO, ∴ AB ⊥ MQ .
Q MN // AB ,

∴ MN ⊥ MQ .
在△PMQ 中, MQ = MP =

……6 分

2 ,PQ=2,

Q MP 2 + MQ 2 = 4 = PQ 2 ,

∴ MP ⊥ MQ .

……………7 分

Q MPIMN = M , MP ? 平面 ABNM, MN ? 平面 ABNM,
∴ MQ ⊥ 平面 ABNM.
Q MQ ? 平面 CDMN,
∴平面 ABNM⊥平面 CDMN.
7

……………8 分

……………9 分

(3)解法 1:作 NP // MP 交 AB 于点 P1,作 NQ1 // MQ 交 CD 于点 Q1, 1 由题意知多面体 MN-ABCD 可分割为两个等体积的四棱锥 M-APQD 和

N-P1BCQ1 和一个直三棱柱 MPQ-NP1Q1.

1 1 2 ? AP ? AD ? MO = × 1 × 2 × 1 = , …………10 分 3 3 3 1 1 直三棱柱 MPQ-NP1Q1 的体积为 V2 = ? MP ? MQ ? MN = × 2 × 2 × 2 = 2 ,…11 分 2 2 2 10 ∴多面体 MN-ABCD 的体积为 V = 2V1 + V2 = 2 × + 2 = . ……………12 分 3 3
四棱锥 M-APQD 的体积为 V1 = 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积为 V3 = AB ? BC ? AA1 = 4 × 2 × 4 = 32 . ………13 分 ∴建筑物的体积为 V + V3 =

106 . 3
2 , MQ = NQ1 = 1 ,AD=2.

………14 分

解法 2:如图将多面体 MN-ABCD 补成一个直三棱柱 ADQ-BCQ1, 依题意知 AQ = DQ = BQ1 = CQ1 =

多面体 MN-ABCD 的体积等于直三棱柱 ADQ-BCQ1 的体积 减去两个等体积的三棱锥 M-ADQ 和 N-BCQ1 的体积.

Q AQ 2 + DQ 2 = 4 = AD 2 ,
∴ ∠AQD = 90o .
直三棱柱 ADQ-BCQ1 的体积为 V1 = 三棱锥 M-ADQ 的体积为 V2 =

1 1 ? AQ ? DQ ? AB = × 2 × 2 × 4 = 4 , …10 分 2 2

1 1 1 1 1 ? ? AQ ? DQ ? MQ = × × 2 × 2 × 1 = .…11 分 3 3 2 3 2 2 10 = . 3 3
……12 分

∴多面体 MN-ABCD 的体积为 V = V1 ? 2V2 = 4 ?

长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的体积为 V3 = AB ? BC ? AA1 = 4 × 2 × 4 = 32 . ………13 分 ∴建筑物的体积为 V + r3 = 19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程 的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解法 1:由 ?

106 . 3

………………14 分

? y = 2 x + m, ?x = 4 y
2

消去 y,得 x ? 8 x ? 4m = 0 .
2

……1 分

8

∵直线 l 与抛物线 C2 只有一个公共点,

∴ ? = 82 + 4 × 4m = 0 ,解得 m=-4.
∴直线 l 的方程为 y=2x-4. 解法 2:设直线 l 与抛物线 C2 的公共点坐标为 ( x0 , y0 ) . 由y=

……3 分 ……4 分

1 2 1 x ,得 y '= x , 4 2 1 x0 . 2
……1 分

∴直线 l 的斜率 k = y '| x = x0 = 依题意得

1 x0 = 2 ,解得 x0 = 4 . 2

……2 分

把 x0 = 4 代入抛物线 C2 的方程,得 y0 = 4 . ∵点 ( x0 , y0 ) 在直线 l 上,

∴ 4 = 2 × 4 + m ,解得 m=-4.
∴直线 l 的方程为 y=2x-4. (2)解法 1:∵抛物线 C2 的焦点为 F1 (0,1) , 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 (0,1), F2 (0,?1) . 设点 F1 (0,1) 关于直线 l 的对称点为 F1 ' ( x0 , y0 ) ,

……3 分 …………4 分

……5 分

? y0 ? 1 ? x × 2 = ?1, ? 则? 0 ? y0 + 1 = 2 × x0 ? 4. ? 2 2 ?
解得 ?

……7 分

? x0 = 4, ? y0 = ?1.
……8 分

∴点 F1 ' ( 4,?1) .

∴直线 l 与直线 F1 ' F2 : y = ?1 的交点为 P0 ( ,?1) . 由椭圆的定义及平面几何知识得: 椭圆 C1 的长轴长 2a =| PF1 | + | PF2 |=| PF1 '| + | PF2 |≥| F1 ' F2 |= 4 ,

3 2

……9 分

……11 分

9

其中当点 P 与点 P0 重合时,上面不等式取等号. ∴当 a=2 时,椭圆 C1 的长轴长取得最小值,其值为 4. ………12 分

此时椭圆 C1 的方程为

y2 x2 3 + = 1 ,点 P 的坐标为 ( ,?1) . 4 3 2

…14 分

解法 2:∵抛物线 C2 的焦点为 F1 (0,1) , 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 (0,1), F2 (0,?1) . ……5 分

设椭圆 C1 的方程为

y2 x2 + 2 = 1(a > 1) , a 2 a ?1

……………6 分

? y = 2 x ? 4, ? 由? y2 消去 y, x2 ? a 2 + a 2 ?1 = 1 ?
得 (5a 2 ? 4) x 2 ? 16( a 2 ? 1) x + ( a 2 ? 1)(16 ? a 2 ) = 0.(*) 由 ? = [16( a 2 ? 1)] 2 ? 4(5a 2 ? 4)( a 2 ? 1)(16 ? a 2 ) ≥ 0 , 得 5a ? 20a ≥ 0 .
4 2

……7 分

……………8 分

……9 分

解得 a ≥ 4 .
2

∴a ≥ 2 .
∴当 a=2 时,椭圆 C1 的长轴长取得最小值,其值为 4.

……………11 分 ………12 分

此时椭圆 C1 的方程为

y2 x2 + = 1. 4 3 3 把 a=2 代入(*)方程,得 x = , y = ?1 , 2 3 ∴点 P 的坐标为 ( ,?1) . 2

……………13 分

…14 分

20.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查数列、不等式等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以 及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:由于 S n =

(a n ? 1)(a n + 2) 2

=

2 an + an ? 2



2

10

当 n=1 时, a1 = S1 =

a12 + a1 ? 2 . 2

……………1 分

整理得 a12 ? a1 ? 2 = 0 , 解得 a1=2 或 a1=-1.

Q an > 0 ,

∴a1 = 2 .
当 n≥2 时, a n = S n ? S n ?1 =
2 2

……………2 分
2 2 a n + a n ? 2 a n ?1 + a n ?1 ? 2 ? , 2 2

……3 分

化简得 an ? an ?1 ? an ? an ?1 = 0 ,

∴ (a n + a n ?1 )(a n ? a n ?1 ? 1) = 0 .

Q an > 0 ,
∴ a n ? a n ?1 = 1 .
∴数列 {an } 是首项为 2,公差为 1 的等差数列. ……4 分

∴ an = 2 + (n ? 1) = n + 1 .
(2)解:Q bn =

……………5 分

ln an +1 ln(n + 2) = , ln an ln(n + 1) ln 3 ln 4 ln(k + 2) ? ?L? ln 2 ln 3 ln(k + 1)

∴ b1 ? b2 ? L ? bk =

=

ln(k + 2) ln 2
……6 分

= log 2 (k + 2) .
令 log 2 ( k + 2) = m ,则 k = 2 ? 2 (m 为整数) ,
m

……………7 分

由 1 ≤ 2 ? 2 ≤ 2012 ,得 3 ≤ 2
m

m

≤ 2014 ,

∴m = 2,3,4,L,10 .

11

∴在区间[1,2012]内的 k 值为 2 ? 2,2 ? 2,L,2 ? 2 ,
2 3 10 2 3 10 其和为 ( 2 ? 2) + ( 2 ? 2) + L + (2 ? 2)

……8 分

= (2 2 + 2 3 + L + 210 ) ? 2 × 9 = 22 × (1 ? 29 ) ? 18 1? 2 ln(n + 2) ln(n + 1) > = 1, ln(n + 1) ln(n + 1)

………9 分

=2026 (3)解法 1:Q bn =

………10 分

ln(n + 3) b ln(n + 2) ln(n + 3) ? ln(n + 1) = ∴ n +1 = bn ln(n + 2) ln 2 (n + 2) ln(n + 1)

……………11 分

ln(n + 3) + ln(n + 1) 2 ] 2 < ln 2 (n + 2) [

……………12 分

=

[ln(n + 3)(n + 1)]2 4 ln 2 (n + 2)
2

? n + 3 + n +1 2? ) ? ?ln( 2 ? ? < 2 4 ln (n + 2)
=1.

……………13 分

∴ bn+1 < bn .
解法 2:Q bn =

……………14 分

ln(n + 2) ln(n + 1) > = 1, ln(n + 1) ln(n + 1) ln(n + 3) ln(n + 2) ? ln(n + 2) ln(n + 1)

∴ bn +1 ? bn =

=

ln(n + 3) ? ln(n + 1) ? ln 2 (n + 2) ln(n + 2) ? ln(n + 1)

……………11 分

12

ln(n + 3) + ln(n + 1) 2 ] ? ln 2 (n + 2) 2 < ln(n + 2) ? ln(n + 1) [ ln(n + 3)(n + 1) 2 ] ? ln 2 (n + 2) 2 = ln(n + 2) ? ln(n + 1) [ 1 n + 3 + n +1 2 2 [ ln( ) ] ? ln 2 (n + 2) 2 < 2 ln(n + 2) ? ln(n + 1)
=0.

…………12 分

…………13 分

∴ bn+1 < bn .
解法 3:设 f ( x ) =

…………14 分

ln( x + 1) ( x ≥ 2) , ln x 1 1 ? ln x ? ? ln( x + 1) x 则 f ' ( x) = x + 1 . …………11 分 2 ln x Qx ≥ 2, 1 1 1 1 ∴ ? ln x ? ? ln( x + 1) < ? ln x ? ? ln( x + 1) < 0 . x +1 x x x
∴ f ' ( x) < 0 .
∴函数 f(x)在 [ 2,+∞) 上单调递减.
…………12 分

Q n ∈ N *, ∴2 ≤ n +1 < n + 2 .

∴ f (n + 2) < f (n + 1) .



ln(n + 3) ln(n + 2) < . ln(n + 2) ln(n + 1)

………13 分

∴ bn+1 < bn .

………14 分

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识,考查函数与方程、分类与整合、 化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)

(1)解:函数 f(x)的定义域为 (0,+∞) .

……1 分

13

f ' ( x) =

1 ax 2 ? x ? 1 ? ax + 1 = ? . x x
1+ x ,Q x > 0,∴ f ' ( x) > 0 x

……2 分

①当 a=0 时, f ' ( x ) =

∴函数 f(x)单调递增区间为 (0,+∞) . ②当 a = 0 时,令 f'(x)=0 得 ? /

……3 分

ax 2 ? x ? 1 = 0, x
∴ ? = 1 + 4a .

Q x > 0,∴ ax 2 ? x ? 1 = 0 .
(i)当 ? ≤ 0 ,即 a ≤ ?

1 2 时,得 ax ? x ? 1 ≤ 0 ,故 f ' ( x ) ≥ 0 , 4
……4 分

∴函数 f(x)的单调递增区间为 (0, ∞) . + (ii)当 ? > 0 ,即 a > ?

1 2 时,方程 ax ? x ? 1 = 0 的两个实根分别为 4 1 ? 1 + 4a 1 + 1 + 4a x1 = , x2 = . ……5 分 2a 2a 1 若 ? < a < 0 ,则 x1 < 0, x 2 < 0 ,此时,当 x ∈ (0,+∞) 时, f ' ( x) > 0 . 4
……………6 分

∴函数 f(x)的单调递增区间为 (0,+∞) , 若 a>0,则 x1 < 0, x 2 > 0 ,

此时,当 x ∈ (0, x2 ) 时, f ' ( x) > 0 ,当 x ∈ ( x2 ,+∞) 时, f ' ( x) < 0 , ∴函数 f(x)的单调递增区间为 (0,

1 + 1 + 4a 1 + 1 + 4a ) ,单调递减区间为 ( ,+∞) . 2a 2a
………7 分

综上所述,当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 (0, 为(

1 + 1 + 4a ) ,单调递减区间 2a

1 + 1 + 4a ,+∞) : 2a

当 a ≤ 0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 (0,+∞) ,无单调递减区间. ……………8 分

14

(2)解:由(1)得当 a ≤ 0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,故函数 f(x)无极值; ………9 分 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 (0,

1 + 1 + 4a ) ,单调递减区间为 2a

1 + 1 + 4a ,+∞) ; ( 2a
则 f(x)有极大值,其值为 f ( x2 ) = ln x2 ?
2 2 而 ax 2 ? x 2 ? 1 = 0 ,即 ax 2 = x2 + 1 ,

1 2 1 + 1 + 4a ax2 + x2 ,其中 x 2 = . …10 分 2a 2

x2 ? 1 . 2 x ?1 1 1 ( x > 0) ,则 h' ( x) = + > 0 , 设函数 h( x) = ln x + x 2 2 x ?1 则 h( x) = ln x + 在 (0,+∞) 上为增函数. 2 ∴ f ( x2 ) = ln x2 +
又 h(1)=0,则 h(x)>0 等价于 x>1.

……11 分 …………12 分

∴ f ( x2 ) = ln x2 +

x2 ? 1 > 0 等价于 x2 > 1 . 2
2

………13 分

即在 a>0 时,方程 ax ? x ? 1 = 0 的大根大于 1, ,对称 设 φ ( x) = ax 2 ? x ? 1 ,由于 φ (x ) 的图象是开口向上的抛物线,且经过点(0,-1) 轴x=

1 > 0 ,则只需 φ (1) < 0 ,即 a-1-1<0 解得 a<2,而 a>0, 2a
…………14 分

故实数 a 的取值范围为(0,2). 说明:若采用下面的方法求出实数 a 的取值范围的同样给 1 分. 1.由于

1 1 + 4a 1 1 1 4 1 + 1 + 4a 1 = + = + + 在 (0,+∞) 是减函数, 2 2a 2a 2 a 2a 2 a 2 a



1 + 1 + 4a 1 + 1 + 4a = 1 时,a=2,故 > 1 的解集为(0,2) , 2a 2a 1 + 1 + 4a > 1 ,而 a>0,通过分类讨论得出实数 a 的取值范围为(0,2). 2a

从而实数 a 的取值范围为(0,2). 2.解不等式

15


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