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新人教版高一数学必修2第三章第一节《直线的倾斜角与斜率》


高一年级 曾艳萍

思考?
一条直线的位置由哪些条件确定呢?

答:两点确定一条直线。

y

l
P 1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

x

o

一、直线的倾斜角
1、定义:
当直线l与X轴相交时,我们
y

l

取X轴作为基准,X轴正向与直线
l向上方向之间所成的角叫做直线 的倾斜角

规定:当直线 l与 x轴平行或重合时,其倾斜角为 0 ?

x

o

a

练习:
下列图中标出的直线的倾斜角对不对?如果不对,违 背了定义中的哪一条?
y y y y

o

?

x

o

?

x

?

o

x

?
o
(D )

x

(A)

(B)

(C)

2、直线倾斜角的范围:
思考? 直线的倾斜角范围是多少?

按倾斜角去分类,直线可分几类?
y p o

l

y p o

l

y o p?

y

? x

?

p

x

x

o

l x

l

0°< ? < 90°

? = 90°
直角

90°< ? <180° ? = 0°

锐角

钝角

零度角

2、直线倾斜角的范围:
思考? 直线的倾斜角范围是多少?
? ? 答:直线的倾斜角的取值范围为: 0 ? a ? 180

二、直线的的斜率
日常生活中,我们经常用“升高量与前进量 的 比”表示倾斜面的“坡度”(倾斜程度), 即 升高量

坡度 ?

前进量

1、定义:
我们把一条直线的倾斜角

a 的正切值叫做这

条直线的斜率。
用小写字母 k 表示,即:

k ? tan a

思考: 是否每条直线都有斜率? 1. 如果倾斜角是锐角? k ? tan a
2. 如果倾斜角是直角? 3. 如果倾斜角是钝角?

k不存在

k ? tan ? ? ? tan(180? ? a) k ?0

4. 如果倾斜角是零度角?

练习: 已知直线的倾斜角,求直线的斜率 1. a ? 30? 2. a ? 45? 3. 5. 7.

a ? 60

?

4. a ? 90?
?

a ? 120 a ? 150

6. a ? 135? 8. a ? 0
?

?

倾斜角是锐角时
y
y2

3、探究:由两点确定的直线的斜率
如图,当α为锐角时,

k ? tan ?

P2 ( x2 , y2 )

y1

?
P 1 ( x1 , y1 )

Q( x2 , y1 )

能不能构造 ? ?? P 一个直角三 2 PQ 1 且x 角形去求? ?x ,y ? y
1 2 1

2

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 P ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 P 1Q中

?0

倾斜角是钝角时
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为钝角是, ? ? 180 ? ? , 且x1 ? x2 , y1 ? y2 tan? ? tan( 180? ? ? )

?
Q( x2 , y1 )

P 1 ( x1 , y1 )

o

x2

x1

?

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

? ? tan? 在Rt?P2QP 中 1 P2Q y2 ? y1 ? tan? ? x1 ? x2 P 1Q

?0

思考?
1、当
y

p1 p 2 的位置对调时, k
P 1 ( x1 , y1 )

值又如何呢?
P 1 ( x1 , y1 )

? o

P2 ( x2 , y2 )

?

y

Q( x2 , y1 )

?

(3)

x

o

Q( x2 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

?

(4)

x

请同学们课后推导!

思考?
? 2、当直线平行于x轴,或与 x 轴重合时, ? ?0 上述公式还适用吗?为什么?

y
P 1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

k ?0

x1 o

x2

x

答:成立,因为 分子为0,分母不 为0,k =0

思考?
? ? 轴重合时, 3、当直线平行于 y 轴,或与 y ? ? 90 , tan90 (不存在) 上述公式还适用吗?为什么?

k不存在

y

y2

P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

y1

o

x

答:不成立, 因为分母为0。

4、直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P 1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )的直线的斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2
P2
P1 P1

P2

例1 如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2),

求直线AB、BC、CA的斜率,并判断这些直线
的倾斜角是什么角?
B 解:直线AB的斜率 k AB ? 直线BC的斜率 kBC ? 直线CA的斜率 kCA ?
?2?2 ?4 1 ? ?? 0 ? (?8) 8 2

y.

2?2 ?0 ?8? 4

. . . .

.
o

A

. . .
C

.

x

∵ k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

2 ? (?2) 4 ? ?1 4?0 4

三、小结:

? ? 0 ? ? ? 180 1、直线的倾斜角定义及其范围:

2、直线的斜率定义: k ? tan a 3、斜率k与倾斜角 ? 之间的关系:

(a ? 90 )
?

y2 ? y1 y1 ? y2 4、斜率公式: k ? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? ? ?0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ? ?90? ? a ? 180? ? k ? tana ? 0 ?

作业: 课本p86 练习 1.2.3 P89 习题3.1 A组 1,2

谢谢

练习(课本p86 练习3)
已知a,b,c是两两不相等的实数,求经过 两点的直线倾斜角 1. A(a,c) B(b,c)

2. C(a,b) D(a,c) 3. P(b,b+c) Q(a,c+a)

练习(课本p89 习题3.1 A 组4)
? m为何值时,经过两点A(-m,6), B(1,3m)的直线斜率是12? ? m为何值时,经过两点A(m,2), B(-m,-2m-1)的直线斜率的倾斜角 是 60°?


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