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2-1离散型随机变量及其概率分布


第二章 随机变量及其分布
本章主要内容:
一、离散型随机变量及其概率分布 二、连续型随机变量及其概率分布 三、随机变量的分布函数 四、随机变量函数的分布
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概述
引入随机变量是研究随机现象统计规律性 的需要. 为了便于数学推理和计算,有必要将 随机试验的结果数量化,使得可以用高等数学 的理论与方法来研究随机试验,研究和分析其 结果的规律性,因此,随机变量是研究随机试 验的重要而有效的工具.

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§2.1 离散型随机变量及其概 率分布
一.离散型随机变量及其分布律 二.三种常用的离散型随机变量

的概率分布

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在随机现象中,有很大一部分问题与数值发生

关系,例如在产品检验问题中,关心的是抽样中出现
的废品数;又如在车间供电问题中,关心的是某时刻

正在工作的车床数等. 为了全面地研究随机试验的结果,揭示随机现象
的统计规律性,将随机试验的结果与实数对应起来,

将随机试验的结果数量化,引入随机变量的概念.

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一般地,如果A为某个随机事件,则一定可以
通过示性函数使它与数值发生联系:

?1, IA ? ? ? 0,

若A发生; 若A不发生.

引例 将一枚硬币抛掷3次,观察正反面出现的情况. 这一试验的样本空间是

S ? ?HHH , HHT , HTH , THH , HTT ,THT ,TTH ,TTT ?
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其中H 表示正面,T 表示反面. 若X表示三次投掷中正面出现的次数. 那么对于 样本空间S={e }中的每一个样本点e,X都有惟一的 一个值与之对应. 例如,若取 e ? HHH ,则 X ? 3 ,

即有 X ? HHH ? ? 3.
一般地,有

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? ? ? X ?e? ? ? ? ? ?

0, 1, 2, 3,

e ? TTT , e ? HTT , THT , TTH ; e ? HHT , HTH ,THH ; e ? HHH .

显然, X是定义在样本空间S上的单值实 “函数”,称X为随机变量. 事件 ?HHT , HTH , THH? 等于事件

?e : X ? e? ? 2?

简记为

因而有 ? X ? 2? ,

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3 P ? X ? 2? ? P ? HHT , HTH , THH? ? , 8
P ? X ? 2? ? 1 ? P ? X ? 2? ? 1 ? P ? X ? 3? 7 ? 1 ? P ?HHH ? ? . 8

对于随机变量X的取值,以及取这些值的概 率,可用下表表示
X
P

0
1/8

1
3/8

2
3/8

3
1/8

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一.离散型随机变量及其分布律
设随机变量X所有可能的不同取值为 x1 , x2 ,

?, xn ,?, 取各个可能值的概率分别为 p1 , p2 ,

?, pn , ?, 且满足条件:
1、 pk ? 0,

k ? 1, 2,?,

p ? 2、
k ?1

?

k

? 1,

则称X为离散型随机变量,称 P ? X ? xk ? ? pk , k ? 1,2,? 为随机变量的概率分布律,简称分布律.
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离散型随机变量X的分布律也可用表格来表示:
X pk x1 p1 x2 p2
… …

xn pn

… …

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例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯, 每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表

示汽车首次停下时,它已通过的信号灯的组数(设各
组信号灯的工作是相互独立的),求X的分布律. 解 以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率,易知X

的分布律为
X pk 0 p 1 (1-p)p 2 (1-p)2p 3 (1-p)3p 4 (1-p)4

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或写成 P{X=k}=(1-p)kp, k=0,1,2,3, P{X=4}=(1-p)4 以p =1/2代入得 X pk 0 0.5 1 0.25 2 0.125 3 0.0625 4 0.0625

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二.三种常用的离散型随机变量的概率分布
1.伯努利试验与(0—1)分布

设试验E只有两个可能结果: 与 ,则称E为伯
努利(Bernoulli)试验. 设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律是 P{X=k}=pk(1一p)1-k,k=0,1,(0<p<1),

则称X 服从(0—1)分布或两点分布.
(0—1)分布的分布律也可写成

X pk

0 1-p

1 p
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对于一个随机试验,如果它的样本空间只包含两 个元素,即S={e1,e2},总能在S上定义一个服从(0 一1)分布的随机变量

来描述这个随机试验的结果.

例如,对新生婴儿的性别进行登记;检查产品的 质量是否合格;某车间的电力消耗是否超过负荷以 及前面讨论过的“抛硬币”试验等都可以用(0—1) 分布的随机变量来描述.
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2. n重伯努利试验二项分布

将伯努利试验E独立重复地进行n次,称这一串重
复的独立试验为n重伯努利试验. “重复”是指在每次试验中P(A)=p保持不变; “独立是指各次试验的结果互不影响,即若以 记

第i次试验的结果,则有

P ?C1C2 ?Cn ? ? P ?C1 ? P ?C2 ??P ?Cn ? .

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二项分布
考虑n重伯努里试验中,事件A恰出现k次的概率. 以 X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数, X是一个随 机变量. 现求它的分布律. X所有可能取的值为0,1,2,…,n. 由于各次试验是相互 独立的,故在n次试验中,事件A发生k次的概率为

C p (1 ? p) ,记q ? 1 ? p,即有
k n k

n?k

P{ X ? k} ? C p q
k n k

n?k

, k ? 0,1, 2, ?, n.
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显然: P{ X ? k} ? 0, k ? 0,1, 2, ?, n; ? n ? k n?k n P { X ? k } ? p q ? ( p ? q ) ? 1. ? ? ? ? k ?0 k ?0 ? k ?
n n

? n ? k n?k n 由于 ? ? p q 刚好是二项式( p ? q ) 的展开式中 ?k ? k 出现p 的那一项,故称随机变量X 服从参数为n, p的 二项分布,记为 X ~ B(n, p).
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特别,当n ? 1时二项分布化为: P{ X ? k } ? p k q1? k , k ? 0,1. 这就是(0 ? 1)分布.
例2 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500小时的为一级品. 已知某一大批产品的一级品 率为0.2,现在从中随机地抽查20只.问20只元件中 恰有k只(k =0,1,…,20)为一级品的概率是多少? 解 由于这批元件的总数很大, 且抽查的元 件数量相对于元件的总数来说又很小, 因而 可以当作放回抽样来处理,将检查一只元件
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看它是否为一级品看成是一次试验,检查20只元件 相当于做20重伯努利试验. 以X记20只元件中一级 品的只数, 那么, X是一个随机变量,且有 X~B(20, 0.2).

即得所求概率为
k P{X ? k} ? C20 (0.2)k (0.8)20?k , k ? 0,1,?,20.

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例3 某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02, 独立射击400次,试求至少击中两次的概率. 解 将一次射击看成是一次试验.设击中的次数为 X,则X~B(400, 0.02). X的分布律为

? 400 ? k 400?k P{X ? k} ? ? , k ? 0,1,?, 400. ? (0.02) (0.98) ? k ?
于是所求概率为 P{ X ? 2} ? 1 ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? 1 ? (0.98)400 ? 400(0.02)(0.98)399 ? 0.9972.
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3. 泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,

而取各个值的概率为

P ? X ? k? ?
记为X~π (?).

? e
k

??

其中?>0是常数. 则称X服从参数为?的泊松分布,

k!

, k ? 1, 2, ?,

易知,P{X=k)≥0,k=0,1,2,…,且有

? k e? ? ? ? ? ? k ? ? ? P{ X ? k } ? ? ? e ? ? e ? e ? 1. ? k ?0 k ?0 k ! k ?0 k !
? ?
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例4 对上海某公共汽车站的客流进行调查,统计
了某天上午10:30至11:47左右每隔20秒钟 来到的乘客批数(每批可能有数人同时来到), 共得230个记录,我们分别计算了来到0批, 1批,2批,3批,4批及4批以上乘客的时间区间 的频数,结果列于下表中,其相应的频率与 ?=0.87的普阿松分布符合得很好. 公共汽车客流统计

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来到批数i

0

1

2

3

≥4

总共

频数ni
频率fi=ni/n Pi=?ie-?/i!

100

81

34

9

6

230

0.43 0.35 0.15 0.04 0.03 0.42 0.36 0.16 0.05 0.01

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泊松定理

设随机变量X 服从二项分布,其分布律为 P ? X ? k ? ? C p ?1 ? p ?
k n k n?k

, k ? 1, 2,? , n.

又设np ? ? , ? ? >0是常数 ? , 则有
n ??

lim P ? X ? k ? ? lim Cnk p k ?1 ? p ?
n ??

n?k

? k e?? ? , k!

其中 k ? 1, 2, ? , n.
当n很大时,p很小时,有
k k Cn p ?1 ? p ? n?k

?

? k e? ?
k!

, (np ? ? ).
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