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各题型解题指导专题二 分类讨论思想


专题二

分类讨论思想

在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各 种不同情况予以考察.这种分类思考的方法是一种重要的数学 思想方法,同时也是一种解题策略. 引起分类讨论的因素较多,归纳起来主要有以下几个方面: (1)由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论;(2) 由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论;(3)由于图形 的不确定性引起的讨论;(4)由于题目含有字母而引起的讨论. 分类的原则:①分类中的每一部分是相互独立的;②一次 分类按一个标准;③分类讨论应逐级进行.

方程中的分类讨论 例 1:(2011 年湖北十堰)已知关于 x 的方程 mx2-(3m-1)x +2m-2=0,求证:无论 m 取任何实数时,方程恒有实数根. 证明:(1)分两种情况讨论: ①当 m=0 时,方程为 x-2=0,得 x=2,方程有实数根; ②当 m≠0 时,则一元二次方程的根的判别式:

Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-2)=m2+2m+1=(m+1)2≥0. 不论 m 为何实数,Δ≥0 成立, ∴方程恒有实数根.
综合①、②可知 m 取任何实数,方程 mx2-(3m-1)x+2m -2=0 恒有实数根.

几何中的分类讨论 例 2:(2010 年广东佛山)一般来说,依据数学研究对象本质 属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同种类的数学思想 叫做“分类”的思想;将事物进行分类,然后对划分的每一类 分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法.请依据

分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题:
如图 Z2-1,在△ABC 中,∠ACB>∠ABC.

图 Z2-1

(1)若∠BAC 是锐角,请探索在直线 AB 上有多少个点 D, 能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)? (2)请对∠BAC 进行恰当的分类, 直接写出每一类在直线 AB 上能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)的点 D 的个数?

解: (1)①如图 Z2-2(1), 若点 D 在线段 AB 上, 由于∠ACB >∠ABC,可以作一个点 D 满足∠ACD=∠ABC,

图 Z2-2

使得△ ACD∽△ABC. ②如图 Z2-2(2), 若点 D 在线段 AB 的延长线上, 则∠ACD >∠ACB>∠ABC,与条件矛盾,因此,这样的点 D 不存在; ③如图 Z2-2(3),若点 D 在线段 AB 的反向延长线上,由 于∠BAC 是锐角,则∠BAC<90° <∠CAD,且∠CAD=∠ABC +∠ACB,所以不可能有△ ACD∽△ABC,因此,这样的点 D 不存在. (2)若∠BAC 为锐角,由(1)知,这样的点 D 有一个; 若∠BAC 为直角,这样的点 D 有两个; 若∠BAC 为钝角,这样的点 D 有 1 个.

规律方法:等腰三角形的顶角、顶点不确定,相似三角形 的对应关系不确定是中考的热点题型.


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