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2014《创新设计》三轮——考前体系通关猜想8


猜想 8 考查空间几何体的面积、体积的计算 【例 1】设正四棱锥的侧棱长为 1, 则其体积的最大值为________. 解析 法一 设正四棱锥的底面边长为 x,则体积 1 2 V= x 3 x2 2 1- = 2 6 x4?2-x2?,记 y=t2(2-t),t>0,

4 32 4 3 利用导数可求得当 t=3时,ymax=27,此时 Vmax= 27 ;

法二

设正四棱锥的侧棱与底面所成角为 θ,则

1 2 π 2 2 V= ×2cos θ×sin θ= (1-sin θ)×sin θ,0<θ< , 3 3 2 3 记 y=(1-t )t,0<t<1,利用导数可求得当 t= 时, 3
2

2 3 4 3 ymax= ,此时 Vmax= . 9 27 答案 4 3 27

【例 2】 有一个各条棱长均为 a 的正四棱锥,现用一张正方形包 装纸将其完全包住,不能剪裁,但可以折叠,则包装纸的最 小边长是________. 解析 如图,是某正四棱锥的平面展开图,

等腰△ABC 的底边 BC 即为所求正方形包 装纸的边长的最小值,由余弦定理得 6+ 2 BC= a +a -2a cos 150° = a. 2
2 2 2

答案

6+ 2 a 2

反思点评

(1)通过分析图形元素之间的数量关系,建立数学

模型,求出计算面积或体积所需要的相关要素. (2)利用平面展开图求空间几何体的面积是常用方法. (3)等体积法是处理体积问题的常用方法.

【训练】 某圆锥的侧面展开图是半径为 1 cm 的半圆,则该圆锥 的体积是________cm3. 解析 设圆锥的底面圆的半径为 r,高为 h,则由 2πr=π 得 1 r=2,h= 1
2

?1? -?2?2= ? ?

3 2 ,所以该圆锥体积

?1? 1 3 3π 2 V= π×?2? × = ; 3 2 24 ? ?

答案

3π 24

【感悟提升】


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