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2017两角差的余弦公式教案.doc


第三章
本章知识框图

三角恒等变换

本章教材分析

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ,以 及运用这些公式进行简单的恒等变换.变换是数学的重要工具,也是数 学学习的主要对象之一.在本册第一章,学生接触了同角三角函数公式. 在本章,学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式,由此出发导出其 他的三角变换公式,并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.三角恒 等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习,使学生在 学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中 ,发展推理能力和运算 能力,并体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中的一些应 用. 本章内容安排按两条线进行 ,一条明线是建立公式 , 学习变换 ; 一 条暗线就是发展推理能力和运算能力 ,并且发展能力的要求不仅仅体 现在学习变换过程之中,也体现在建立公式的过程之中.因此在本章教 学中,教师要特别注意恰时恰点地提出问题,引导学生用对比、联系、 化归的观点去分析、处理问题,使学生能依据三角函数式的特点,逐渐 明确三角函数恒等变换不仅包括式子的结构形式变换 ,还包括式子中 角的变换,以及不同三角函数之间的变换,强化运用数学思想方法指导

设计变换思路的意识. 突出数学思想方法的教学,在类比、推广、特殊化等一般逻辑思 考方法上进行引导,本章不仅关注使学生得到和(差)角公式,而且还特 别关注公式推导过程中体现的数学思想方法.例如,在两角差的余弦公 式这一关键性问题的解决中体现了数形结合思想以及向量方法的应 用;从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二 倍角的正弦、余弦、正切公式,在这个过程中,始终引导学生体会化归 思想;在应用公式进行恒等变换的过程中,渗透了观察、类比、推广、 特殊化、 化归等思想方法,特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏 目的作用,对学生解决问题的一般思路进行引导,这对学生养成科学的 数学思考习惯能起到积极的促进作用.另外,还在适当的时候对三角变 换中的数学思想方法作了明确的总结 .例如,在旁白中有“倍是描述两 个数量之间关系的,2α 是 α 的二倍,4α 是 2α 的二倍,这里蕴含着换元的 思想”等,都是为了加强思想方法而设置的. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式是历届高考考 查的“重点”和“热点”,在高考中占有重要的地位,主要考查对这十一个 公式的正用、逆用、变形用,考查对公式的熟练掌握程度和灵活运用 能力,其考查难度属低档,这就要求我们不要过分引导学生去挖掘一些 特殊的变化技巧,应把主要精力放在学生掌握数学规律和通性通法上. 教师在教学中,要注意控制好难度.因为近几年的高考中对三角部 分的考查难度降低,但教材中部分习题却有一定难度,因此教师要把握 好难度.

本章教学时间约需 8 课时,具体分配如下(仅供参考): 节 次 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 标 题 两角差的余弦公式 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 简单的三角恒等变换 本章复习 课 时 1 课时 2 课时 1 课时 2 课时 2 课时

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式
整体设计 一、教学分析

本节是以一个实际问题做引子,目的在于从中提出问题,引入本章 的研究课题.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方 程的过程中,提出了两个问题:①实际问题中存在研究像 tan(45°+α)这 样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像 sinα 与 tan(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与 α、45° 单角的三角函数的 关系的需要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系,增 强学生的应用意识,激发学生学习的积极性,同时也让学生体会数学知 识产生、发展的过程. 本节首先引导学生对 cos(α-β)的结果进行探究 ,让学生充分发挥 想象力,进行猜想 ,给出所有可能的结果 ,然后再去验证其真假.这也展 示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两

角差的余弦公式 ”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探 索、推导,让学生动手画图,构造出 α-β 角,利用学过的三角函数知识探 索存在一定的难度 ,教师要作恰当的引导 .方案二, 利用向量知识探索 两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:①在回顾求角的余弦有哪 些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完成 运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应 先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思, 予以完善;④补充完善的过程 ,既要运用分类讨论的思想 , 又要用到诱 导公式. 本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下 几方面:①要使学生了解公式的由来 ;②使学生认识公式的结构特征 , 加以记忆;③使学生掌握公式的推导和证明;④通过例子使学生熟悉公 式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题.
二、教学目标

1.知识与技能: 通过让学生探索、 猜想、 发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单 角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对 两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高 学生的数学素质. 2.过程与方法: 通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明, 体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉

地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的 能力. 3.情感态度与价值观: 通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系 与转化, 养成用辩证与联系的观点看问题 .创设问题情境 ,激发学生分 析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、 解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.
三、重点难点

教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式. 教学难点:探索过程的组织和适当引导.
四、课时安排

1 课时
五、教学设想

(一)导入新课 思路 1.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例. 在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中, 提出了两个问题:①实际问题中存在研究像 tan(45°+α)这样的包含两 个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像 sinα 与 tan(45°+α) 这样的包含两角和的三角函数与 α、45° 单角的三角函数的关系的需 要.在此基础上,再一般化而提出本节的研究课题进入新课. 思路 2.(复习导入)我们在初中时就知道 cos45° =
3 2 ,cos30° = , 2 2

由 此 我 们 能 否 得 到 cos15° =cos(45° -30° )=? 这 里 是 不 是 等 于

cos45° -cos30° 呢?教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错 误的.那么究竟是个什么关系呢?cos(α-β)等于什么呢?这时学生急于 知道答案 , 由此展开新课 : 我们就一起来探讨 “两角差的余弦公式 ”. 这 是全章公式的基础.

(二)推进新课、新知探究、提出问题 ①请学生猜想 cos(α-β)=? ②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用 α、β 的三角函 数来表示 cos(α-β)呢? ③利用向量的知识,又能如何推导发现 cos(α-β)=? ④细心观察 C(α-β)公式的结构,它有哪些特征?其中 α、 β 角的取值 范围如何? ⑤如何正用、逆用、灵活运用 C(α-β)公式进行求值计算? 活动 :问题①,出示问题后 ,教师让学生充分发挥想象能力尝试一 下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到 cos(α-β)=cosα-cosβ 的结论,此 时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如 α=60°,β=30°, 则 cos(α-β)=cos30°=
1? 3 2 3 2

,



cosα-cosβ=cos60°-cos30° = cos(α-β)≠cosα-cosβ.

, 这 一 反 例 足 以 说 明

让学生明白 ,要想说明猜想正确 , 需进行严格证明 ,而要想说明猜 想错误,只需一个反例即可.

问题②,既然 cos(α-β)≠cosα-cosβ,那么 cos(α-β)究竟等于什么呢? 由于这里涉及的是三角函数的问题,是 α-β 这个角的余弦问题,我们能 否利用单位圆上的三角函数线来探究呢?

图1 如 图 1, 设 角 α 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 为 P1,∠POP1=β, 则 ∠POx=α-β.过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,垂足为 M,那么 OM 就是角 α-β 的余弦线,即 OM=cos(α-β),这里就是要用角 α、β 的正弦线、余弦线来 表示 OM.过点 P 作 PA 垂直于 OP1,垂足为 A,过点 A 作 AB 垂直于 x 轴,垂足为 B,过点 P 作 PC 垂直于 AB,垂足为 C.那么,OA 表示 cosβ,AP 表 是 示 sinβ, 并 且 ∠PAC=∠P1Ox=α. 于 所

,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=cosβcosα+sinβsinα,

以,cos(α-β)=cosαcosβ+sinα sinβ. 教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角 α、β、α-β 是有 条件限制的,即 α、β、α-β 均为锐角,且 α>β,如果要说明此结果是否对 任意角 α、 β 都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比 较繁琐,由同学们课后动手试一试.

图2 问题③,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问 题呢?如图 2,在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,以 Ox 为始边作角 α 、 β, 它 们 的 终 边 与 单 位 圆 O 的 交 点 分 别 为 A 、 B, 则
OA =(cosα,sinα), OB =(cosβ,sinβ),∠AOB=α-β.

由向量数量积的定义有 OA · OB =| OA || OB |·cos(α-β)=cos(α-β), 由向量数量积的坐标表示有
OB =(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ, OA ·

于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 我们发现 , 运用向量工具进行探究推导 ,过程相当简洁 , 但在向量 数量积的概念中,角 α-β 必须符合条件 0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于 α、β 都是任意角,α-β 也是任意角,因此就是研究当 α-β 是任意角时,以 上公式是否正确的问题.当 α-β 是任意角时,由诱导公式,总可以找到一 个角 θ∈ [0,2π),使 cosθ=cos(α-β),若 θ∈ [0,π] ,则 OA · OB =cosθ=cos(α-β). 若 θ∈[π,2π],则 2π-θ∈[0,π],且 OA · OB =cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β). 由此可知,对于任意角 α、β 都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ (C(α-β)) 此公式给出了任意角 α、β 的正弦、余弦值与其差角 α-β 的余弦

值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为 C(α-β).有了公式 C(α-β)以后, 我们只要知道 cosα、cosβ、sinα、sinβ 的值,就可以求得 cos(α-β)的值 了. 问题④,教师引导学生细心观察公式 C(α-β)的结构特征,让学生自己 发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的 和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆 ,特别是运算符号,左 “-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)= __________等.因此,只要知道了 sinα、cosα、sinβ、cosβ 的值就可以求 得 cos(α-β)的值了. 问题⑤,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而 公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需 要 学生 具有 较强 的观 察能 力和 熟练 的运 算技 巧 .如 cos75° cos45° +sin75° sin45° =cos(75° -45° )=cos30° = cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ. 讨论结果:①—⑤略.
3 , 2

(三)应用示例 思路 1 例 1 利用差角余弦公式求 cos15° 的值. 活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题 目中的角 15° , 它可以拆分为哪些特殊角的差 , 如 15° =45° -30° 或者

15° =60° -45° ,从而就可以直接套用公式 C(α-β)计算求值.教师不要包办, 充分让学生自己独立完成 , 在学生的具体操作下 ,体会公式的结构 , 公 式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法 .对于很快就完成的 同学,教师鼓励其换个角度继续探究. 解:方法一:cos15° =cos(45° -30° )=cos45° cos30° +sin45° sin30° =
2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? . 2 2 2 2 4

方法二:cos15° =cos(60° -45° )=cos60° cos45° +sin60° sin45° = ×
1 2

2 2 3 6? 2 ? ? ? . 2 2 2 4

点评:本题是指定方法求 cos15° 的值,属于套用公式型的 ,这样可 以使学生把注意力集中到使用公式求值上 .但是仍然需要学生将这个 非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说 明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角 ,但可以拆分成两角差的 情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会. 变式训练 1.不查表求 sin75° ,sin15° 的值.? 解:sin75° =cos15° =cos(45° -30° )=cos45° cos30° +sin45° sin30° =
2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? . 2 2 3 2 4

sin15° = 1 ? cos2 15? = 1 ? (

6? 2 2 8?2 6? 2 6? 2 ) = ? . 4 16 4

点评 :本题是例题的变式,比例题有一定的难度 ,但学生只要细心 分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.

2.不查表求值:cos110° cos20° +sin110° sin20° . 解:原式=cos(110° -20° )=cos90° =0. 点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师 加以引导,让学生细心观察,再结合公式 C(α-β)的右边的特征,逆用公式 便可得到 cos(110° -20° ).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维 的灵活性.

例 2 已知 sinα= ,α∈( ,π),cosβ= ? 值.

4 5

? 2

5 ,β 是第三象限角,求 cos(α-β)的 13

活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦 公式,学生不难发现,欲求 cos(α-β)的值,必先知道 sinα、 cosα、 sinβ、 cosβ 的值,然后利用公式 C(α-β)即可求解.从已知条件看,还少 cosα 与 sinβ 的 值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的平方 和关系式时,角 α、β 所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号. 本例可由学生自己独立完成. 解:由 sinα= ,α∈( ,π),得 cosα= ? 1 ? sin 2 a ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? . 又由 cosβ= ?
5 ,β 是第三象限角,得 13 4 5

? 2

4 5

3 5

sinβ= ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? (? ) 2 ? ? 所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

5 13

12 . 13

= (? ) ? (? ) ? ? (?

3 5

5 13

4 5

12 33 )?? . 13 65

点评:本题是直接运用公式 C(α-β)求值的基础练习 ,但必须思考使 用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求 值时 ,一定要弄清角的范围 , 准确判断三角函数值的符号 . 教师可提醒 学生注意这点,养成良好的学习习惯. 变式训练 已知 sinα= ,α∈(0,π),cosβ= ? 解 :① 当 α∈
4 5
4 5 5 ,β 是第三象限角,求 cos(α-β)的值. 13 ? 4 [ ,π) 时 , 且 sinα= , 2 5



cosα= ? 1 ? sin 2 a ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? , 又由 cosβ= ?
5 ,β 是第三象限角,得 13

3 5

sinβ= ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? (? ) 2 = ? 所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
12 33 )?? . 13 65. ? 4 ②当 α∈(0, )时,且 sinα= ,得 2 5

5 13

12 . 13

= (? ) ? (? ) ? ? (?

3 5

5 13

4 5

cosα= 1 ? sin 2 a ? 1 ? ( ) 2 ? , 又由 cosβ= ?
5 ,β 是第三象限角,得 13

4 5

3 5

sinβ= ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? (? ) 2 ? ? 所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ = ? (? ) ? ? (?
3 5 5 13 4 5 12 63 )?? . 13 65

5 13

12 . 13

点评 : 本题与例 2 的显著的不同点就是角 α 的范围不同 . 由于

α∈(0,π),这样 cosα 的符号可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类 讨论的思想,对角 α 进行分类讨论,从而培养学生思维的严密性和逻辑 的条理性.教师强调分类时要不重不漏. 思路 2 例 1 计算:(1)cos(-15° ); (2)cos15° cos105° +sin15° sin105° ; (3)sinxsin(x+y)+cosxcos(x+y). 活动:教师可以大胆放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角 -15° , 思 考 它 可 以 拆 分 为 哪 些 特 殊 角 的 差 , 如 -15° =15° -30°或 -15° =45° -60° ,然后套用公式求值即可.也可化 cos(-15° )=cos15° 再求值. 让学生细心观察(2)(3)可知,其形式与公式 C(α-β)的右边一致,从而化为 特殊角的余弦函数. 解:(1)原式=cos15° =cos(45° -30° )=cos45° cos30° +sin45° sin30° =
2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? . 2 2 2 2 4

(2)原式=cos(15° -105° )=cos(-90° )=cos90° =0. (3)原式=cos[x-(x+y)]=cos(-y)=cosy. 点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算 求值,从不同角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力, 为后面公式的学习打下牢固的基础. 例 2 已知 cosα= ,cos(α+β)= ?
1 7 11 ? ,且 α、β∈(0, ),求 cosβ 的值. 14 2

活动 : 教师引导学生观察题目中的条件与所求 , 让学生探究 α 、

α+β、β 之间的关系,也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生 通过探究、讨论不难得到 β=(α+β)-α 的关系式,然后利用公式 C(α-β)求 值即可.但还应提醒学生注意由 α、 β 的取值范围求出 α+β 的取值范围, 这是很关键的一点,从而判断 sin(α+β)的符号进而求出 cosβ. 解:∵α、β∈(0, ),∴α+β∈(0,π). 又∵cosα= ,cos(α+β)= ? ∴sinα= 1 ? cos2 a ?
4 3 , 7 5 3 . 14
1 7 11 , 14

? 2

sin(α+β)= 1 ? cos2 (a ? ? ) ? 又∵β=(α+β)-α,

∴cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα = (?
11 1 5 3 4 3 1 )? ? ? ? . 14 7 14 7 2

点评:本题相对于例 1 难度大有提高,但是只要引导适当,学生不难 得到 β= (α+β)-α 的关系式,继而运用公式解决.但值得注意的是 α+β 的 取值范围确定,也是很关键的,这是我们以后解题当中常见的问题. 变式训练 1.求值:cos15° +sin15° . 解 = 2( : 原 式

2 2 cos15° + sin15° )= 2 (cos45° cos15° +sin45° sin15° ) 2 2

= 2 cos(45° -15° )=

2 cos30° =

6 . 2

2.已知 sinα+sinβ= ,cosα+cosβ= ,求 cos(α-β)的值. 解:∵(sinα+sinβ)2=( )2,(cosα+cosβ)2=( )2, 以上两式展开两边分别相加得 2+2cos(α-β)=1, ∴cos(α-β)= ? . 点评:本题又是公式 C(α-β)的典型应用 ,解决问题的关键就是将已 知中的两个和式两边平方,从而得到公式 C(α-β)中 cosαcosβ 和 sinαsinβ 的值,即可求得 cos(α-β)的值,本题培养了学生综合运用三角函数公式 解决问题的能力.
1 2
3 5

3 5

4 5

4 5

3.已知锐角 α、β 满足 cosα= ,tan(α-β)= ? ,求 cosβ.

4 1 5 3 3 4 解:∵α 为锐角,且 cosα= ,得 sinα= . 5 5

又∵0<α< ,0<β< , ∴- <α-β< . 又∵tan(α-β)= ? <0, ∴cos(α-β)=
3 10
1 3

? 2

? 2

? 2

? 2

.
1 10

从而 sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)= ?

.

∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) = × =
4 5

3 1 ? ? (? ). 10 5 10

3

9 10 . 50

(四)课堂小结 1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程 ,观察公式的特征,特 别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方 法解决问题 . 然后教师引导学生围绕以下知识点小结 :(1) 怎么联系有 关知识进行新知识的探究?(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和 功能的认识;三角变换的特点. 2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推 导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名 称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从 中比较最佳解决问题的途径 ,以达到优化解题过程 ,规范解题步骤 , 领 悟变换思路,强化数学思想方法之目的.

(五)作业


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