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2014届高三数学(理)一轮专题复习 用二分法求方程的近似解


3.1.2

3.1.2
【学习要求】
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用二分法求方程的近似解

1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,了解二分 法是求方程近似解的常用方法; 2.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点.从而求得方 程的近似解. 【学法指导】 通过借助计算器用二分法求方程的近似解,了解逼近法这一 数学思想,体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.1.2

本 1.二分法的概念 课 f(b)<0 的函数 y=f(x), 对于在区间[a, b]上连续不断且 f(a)· 时 栏 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二 ,使区 目 开 间的两个端点 逐步逼近零点 , 进而得到零点近似值的方法 关

叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二 分法来求 方程的近似解 .

填一填·知识要点、记下疑难点

3.1.2

2.用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 f(b)<0 ,给定精确度 ε; (1)确定区间[a,b],验证 f(a)·
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(2)求区间(a,b)的中点c ; (3)计算 f(c); ①若 f(c)=0,则 c就是函数的零点 ; ②若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c) ); ③若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). (4)判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似 值 a(或 b);否则重复(2)~(4).

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3.1.2

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问题情境:一元二次方程可用判别式判定根的存在性,可用 求根公式求方程的根.但对于一般的方程,虽然可用零点存 在性定理判定根的存在性,而没有公式求根,如何求得方程 的根?

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探究点一 问题 1

问题 2

3.1.2

二分法的概念

在上一节课中, 我们已经知道函数 f(x)=ln x+2x-6
我们可以将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定的
求函数 f(x)=ln x +2x-6 的零点近似值第一步应做

存在零点,那么如何找出这个零点?
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精确度的要求下,可以得到零点的近似值.
什么? 答 上节课,我们已经知道 f(x)的零点在区间(2,3)内,所以

求 f(x)的零点近似值第一步确定区间[2,3],使 f(2)· f(3)<0.
问题 3 为了缩小零点所在区间(2,3)的范围, 接下来应做什么?

答 取区间(2,3)的中点 2.5.

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问题 4

区间分成两段后,又怎样确定零点在哪一个小的区

间内呢? 答 计算 f(2.5)的值,用计算器算得 f(2.5)≈-0.084.因为
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f(2.5)· f(3)<0, 所以零点在区间(2.5,3)内.

问题 5 假设 f(2.5)=0 说明什么?
答 若 f(2.5)=0,则 2.5 就是函数的零点.

问题 6


如何进一步的缩小零点所在的区间?
再 取 区 间 (2.5,3) 的 中 点 2.75 , 用 计 算 器 算 得

所 f(2.75)≈0.512.因为 f(2.5)· f(2.75)<0, 以 零 点 在 区 间 (2.5,2.75)内. 这样一来,零点所在的范围越来越小了.

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问题 7

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若给定精确度 0.3,如何选取近似值?
当精确度为 0.3 时,由于|2.75-2.5| = 0.25<0.3,

所以可以将 x=2.5 作为函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点近似 值,当然区间[2.5,2.75]内的任意一个值都是函数零点的近 似值,常取区间的端点作为零点的近似值.
小结 二分法的定义:对于在区间[a,b] 上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点 所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

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探究点二 问题 1 二分法求函数零点近似值的步骤

3.1.2

对下列图象中的函数,能否用二分法求函数零点的

近似值?为什么?
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因为不存在一个区间[a, 使 f(a)· b], f(b)<0. 答 不能.
问题 2 通过对函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点近似值的探索 过程,你能总结用二分法求一般函数 f(x)零点近似值的步 骤吗? 答 用二分法求函数零点近似值的基本步骤:

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3.1.2

1.确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε;
2.求区间(a,b)的中点 x1;
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3.计算 f(x1):

(1)若 f(x1)=0,则 x1 就是函数的零点;

(2)若 f(a)· 1)<0,则令 b=x1(此时零点 x0∈(a,x1)); f(x

(3)若 f(x1)· f(b)<0,则令 a=x1(此时零点 x0∈(x1,b));
4.判断是否达到精确度 ε; 即若|a-b|<ε,则得到零点值

a(或 b); 否则重复步骤 2~4.

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例 1 似解(精确度 0.1).

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借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近

解 原方程即 2x+3x-7=0,令 f(x)=2x+3x-7,
用计算器或计算机作出函数 f(x)=2x+3x-7 的对应值表与
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图象
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ?

f(x)=2x+3x-7 -6 -2 3 10 21 40 75 142 273 ?

观察图或表可知 f(1)· f(2)<0,
说明这个函数在区间(1,2)内有零点 x0.
取区间(1,2)的中点 x1=1.5, 用计算器算 得 f(1.5)≈0.33.

研一研·问题探究、课堂更高效 因为 f(1)· f(1.5)<0,

3.1.2

所以 x0∈(1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点 x2=1.25, 用计算器算得 f(1.25)≈-0.87.
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因为 f(1.25)· f(1.5)<0,
所以 x0∈(1.25,1.5).

同理可得,x0∈(1.375,1.5), x0∈(1.375,1.437 5). 由于|1.375-1.437 5| = 0.062 5<0.1,

所以,原方程的近似解可取为 1.437 5. 小结 用二分法求函数零点的近似值关键有两点: 一是初
始区间的选取,符合条件(包括零点),又要使其长度尽量 小; 二是进行精确度的判断, 以决定是停止计算还是继续 计算.

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3.1.2

跟踪训练 1 用二分法求函数 f(x)=x3-x-1 在区间[1,1.5] 内的一个零点(精确度 0.01).

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经试算 f(1)<0,f(1.5)>0,

所以函数在[1,1.5]内存在零点 x0.
取(1,1.5)的中点 x1=1.25,经计算 f(1.25)<0,

因为 f(1.5)· f(1.25)<0, 所以 x0∈(1.25,1.5).
如果继续下去, 如下表:

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中点函数 近似值 -0.30 0.22 -0.05 0.08 0.01 -0.02

3.1.2

区间 (1,1.5)
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中点值 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75 1.328 125

(1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.312 5,1.375) (1.312 5,1.343 75)

(1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5

因为|1.328 125-1.320 312 5|=0.007 812 5<0.01,
所以函数 f(x)=x3-x-1 精确度为 0.01 的一个近似零点可取 为 1.328 125.

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3.1.2

探究点三 问题
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用二分法求方程的近似解

如何把求方程的近似解化归为求函数的零点?

答 对于求形如 f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项 转化成求形如 F(x)=f(x)-g(x)=0 的方程的近似解,然后 按照二分法求函数零点近似值的步骤求解.

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例2

求方程 x2=2x+1 的一个近似解(精确度 0.1).

解 设 f(x)=x2-2x-1. ∵f(2)=-1<0,f(3)=2>0,
∴在区间(2,3)内,方程 x2-2x-1=0 有根,记为 x0.
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取 2 与 3 的平均数 2.5,

∴2<x0<2.5; ∵f(2.5)=0.25>0,

再取 2 与 2.5 的平均数 2.25,
∵f(2.25)=-0.437 5<0,∴2.25<x0<2.5;

如此继续下去,有 f(2.375)<0,f(2.5)>0?x0∈(2.375,2.5); f(2.375)<0,f(2.437 5)>0?x0∈(2.375,2.437 5),

∵|2.375-2.437 5|=0.062 5<0.1,

∴方程 x2=2x+1 的一个精确度为 0.1 的近似解可取为 2.437 5.

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3.1.2

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小结

“二分法”与判定函数零点的定义密切相关,只有满

足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能 应用“二分法”求函数零点.

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跟踪训练 2

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3.1.2

借助计算器或计算机,用二分法求方程 x=3-

lg x 在区间(2,3)内的近似解(精确度 0.1).
原方程即 x+lg x-3=0,令 f(x)=x+lg x-3,用计算器 可算得 f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48,于是 f(2)· f(3)<0,

所以,这个方程在区间(2,3)内有一个解.
下面用二分法求方程 x=3-lg x 在区间(2,3)内的近似解.
取区间(2,3)的中点 x1=2.5,用计算器可算得 f(2.5)≈-0.10.
因为 f(2.5)· f(3)<0, 所以 x0∈(2.5,3).

再取区间(2.5,3)的中点 x2= 2.75, 用计算器可算得 f(2.75)≈0.19.
所以 x0∈(2.5,2.75). 因为 f(2.5)· f(2.75)<0,

同理可得 x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625). 由于|2.625-2.562 5|=0.062 5<0.1,

所以原方程的近似解可取为 2.562 5.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.1.2

1.下列图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点
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的是

( A )

解析

由选项 A 中的图象可知,不存在一个区间(a,b),使

f(a)· f(b)<0, A 选项中的零点不是变号零点,不符合二分 即

法的定义.

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2.用二分法研究函数 f(x)=x 计算
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3

3.1.2
的零点时,第一次经
? 1? ?0, ? 2? x0∈________, ?

? 1? +ln?x+2? ? ?

?1? f(0)<0,f?2?>0,可得其中一个零点 ? ?

?1? f?4? ? ? 第二次应计算________.

解析 由于


?1? f(0)<0,f?2?>0, ? ?

? ? 1? 1? f(x)在?0,2?上存在零点,所以 x0∈?0,2?, ? ? ? ?

1 0+2 1 1 第二次计算应计算 0 和2在数轴上对应的中点 x1= 2 =4.

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3.1.2

1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选 区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找 本 课 到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区 时 栏 间的某个数值近似地表示真正的零点. 目 开 关 2.二分法求方程近似解的适用范围:在包含方程解的一个区 间上,函数图象是连续的,且两端点函数值异号. 3.求函数零点的近似值时,所要求的精确度不同,得到的结 果也不相同.


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