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2011届广东省佛山市南海区普通高中高三教学质量检测试题数学(理科)2010.8


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试卷类型: 试卷类型:A

南海区 2011 届普通高中高三教学质量检测试题

数 学 (理科)
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.

2010.08

注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案选项涂在答题卡相应的位置处. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.) 1、集合 M= { x | x ≥ ?1} ,集合 N= x | y = 9 ? x 2 , x ∈ R ,则 M ∩ N = (

{

}



A.

{ x | 0 ≤ x ≤ 3}

B.

{ x | ?1 ≤ x ≤ 3}

C.

{(?

2,1), ( 2,1)
2

}
2

D. ?


2、 已知两个非零向量 a 与 b , a + b = ? 3, ,a ? b = ( ?3, 2) , a ? b 的值为 若 ( 6) 则 (

A. -3

B.

-24

C. 21


D. 12


3、经过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点,斜率为 ?2 的直线方程是

A. x ? 2 y ? 1 = 0
为 0.4 ,则 ξ 在

B. 2 x + y ? 2 = 0

C. x + 2 y ? 1 = 0

D. 2 x ? y ? 2 = 0

4、在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N (2, σ 2 )(σ > 0) ,若 ξ 在 (0, 2) 内取值的概率

(?∞, 4) 内取值的概率为( ) A. 0.1 B. 0.2

C.

0.8

D.

0.9

? x ≥ 2, ? 5、实数 x, y满足 ? y ≥ 2, 则x + 3 y 的取值范围是( ? x + y < 6, ?
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A. [8,10) B. [8,10] C. [8,14] D. [8,14)
).

6、 a = 1 ”是“函数 y = cos 2 ax ? sin 2 ax 的最小正周期为 π ”的 ( “

A.

充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

7、程序框图如图所示:

如果输入 x = 5 , 则输出结果为

A.

109

B.

325

C.

973

D. 2917

8、设 f ( x ) 和 g ( x ) 是定义在同一区间 [ a, b] 上的两个函数,若对任意的 x ∈ [ a, b] ,都有

| f ( x) ? g ( x) |≤ 1 ,则称 f ( x) 和 g ( x) 在 [a, b] 上是“密切函数”, [a, b] 称为“密切区
间”,设 f ( x ) = x 2 ? 3 x + 4 与 g ( x ) = 2 x ? 3 在 [ a, b] 上是“密切函数”,则它的“密切 区间”可以是 ( )

A.

[1, 4]

B. [2,3]

C. [3, 4]

D. [2, 4]

二、填空题: (本大共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分)
9、复数

(2 + i )(1 ? i ) 2 的值是 ______________ 1 ? 2i 1
x

10、 (3 x 2 ?

) 5 的展开式中常数项是



11、函数 y = x 2 ? 1 与 x 轴围成的面积是__________. 12、若 a, 4, 3a 为等差数列的连续三项,则 a + a + a + ? ? ? + a 的值为
0 1 2 9

.

13 、 已 知 动 点 P ( x, y ) 在 椭 圆

x2 y 2 + = 1 上 , 若 A 点 坐 标 为 (3,0), | AM |= 1, 且 25 16
.

PM ? AM = 0 ,则 | PM | 的最小值是
14、阅读以下命题: ①

如果 a, b 是两条直线,且 a // b ,那么 a 平行于经过 b 的所有平面.

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② ③ ④ ⑤ 如果直线 a 和平面 α 满足 a // α ,那么 a 与 α 内的任意直线平行. 如果直线 a, b 和平面 α 满足 a // α , b // α ,那么 a // b . 如果直线 a, b 和平面 α 满足 a // b, a // α , b ? α ,那么 b // α . 如果平面 α ⊥平面 χ ,平面 β ⊥平面 χ , α ∩ β = l ,那么 l ⊥平面 χ . .

请将所有正确命题的编号写在横线上

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15、 (本题满分 12 分)如图所示,已知 α 的终边所在直线上的一点 P 的坐标为 (?3, 4) , β

的终边在第一象限且与单位圆的交点 Q 的纵坐标为 (Ⅰ)求 sin α、 β ; cos (Ⅱ)若

2 . 10

?P

y

π
2

< α < π,0 < β <

π
2

α
,求 α + β . O

?

Q

β

x

第 15 题图

16、 (本题满分 12 分)一袋子中有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球,从袋子里随机取球取到 每个球的可能性是相同的,设取到一个红球得 2 分,取到一个黑球得 1 分. (Ⅰ)若从袋子里一次随机取出 3 个球,求得 4 分的概率; (Ⅱ)若从袋子里每次摸出一个球,看清颜色后放回,连续摸 2 次,求得分 ξ 的概率分布列 及数学期望.

17、 (本题满分 14 分)如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是矩形, SA ⊥ 底面 ABCD , P 为

BC 边的中点, SB 与平面 ABCD 所成的角为 45°,且 AD = 2, SA = 1 .
(Ⅰ)求证: PD ⊥ 平面 SAP ; (Ⅱ)求二面角 A ? SD ? P 的余弦的大小.

S A

D

B

P
第 17 题图

C

18、 (本题满分 14 分)已知数列 {an } ,其前 n 项和 Sn 满足 S n +1 = 2λ S n + 1 ( λ 是大于 0 的
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常数) ,且 S1 = 1, S3 = 7 . (Ⅰ)求 λ 的值; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)设数列 {nan } 的前 n 项和为 Tn ,试比较

Tn 与 Sn 的大小. 2

19、 (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,已知 A(0,1)、B (0, ?1) , AC、BC 两边所在的直 线分别与 x 轴交于 E、F 两点,且 OE ·OF = 4 . (I)求点 C 的轨迹方程; (Ⅱ)若 BC = ?8CF , ①试确定点 F 的坐标; ②设 P 是点 C 的轨迹上的动点,猜想 ?PBF 的周长最大 时点 P 的位置,并证明你的猜想.

y A C O B F E

x

第 19 题图

20、 (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) =

mx ( m, n ∈ R ) 在 x = 1 处取得极值 2 , x +n
2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ) A 是曲线 y = f ( x ) 上除原点 O 外的任意一点, OA 的中点且垂直于 x 轴的直线交 设 过 曲线于点 B,试问:是否存在这样的点 A,使得曲线在点 B 处的切线与 OA 平行?若存 在,求出点 A 的坐标;若不存在,说明理由; (Ⅲ)设函数 g ( x ) = x ? 2ax + a ,若对于任意 x1 ∈ R 的,总存在 x2 ∈ [ ?1,1] ,使得
2

g ( x2 ) ≤ f ( x1 ) ,求实数 a 的取值范围。

南海区 2011 届普通高中高三教学质量检测试题
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数 学 (理科)参考答案
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

2010.08

B

C

B

D

D

A

B

B

二、填空题: (本大共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 4 9、 2 10、15 11、 12、1023 13、 3 14、 ④⑤ 3 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15、解: (Ⅰ)根据三角函数的定义可知 sin α = 根据 cos β + sin β = 1, cos β =
2 2 2

4 2 , sin β = . …………………3 分 5 10

49 ,………4 分 50

又因为 β 的终边在第一象限, 所以 cos β =

7 2 . 10

…………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得, cos α = ?



π
2

< α < π,0 < β <

π
2

, ∴

π

3 , 5 2 <α + β <

…………………6 分

3π . 2

…………………7 分

∵ sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β =
…10 分 又∵ 12 分 (Ⅱ)另解:由(Ⅰ)可得, cos α = ? 6分

4 7 2 3 2 2 ? ? ? = . 5 10 5 10 2

………………

π
2

<α + β <

3π 3π ,∴α + β = . 2 4 3 2 、 sin β = . 5 10

…………………

…………………


7分

π
2

< α < π,0 < β <

π
2

, ∴

π
2

<α + β <

3π . 2

…………………

cos(α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β = ?
10 分

2 , 2

…………………

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3π 3π 5π ,∴α + β = 、或 . 2 2 4 4 2 2 π π 5π 5π ∵ sin β = < , ∴0 < β < , ∴ < α + β < ,α + β = 舍掉 10 2 4 2 4 4 3π ∴α + β = . ………………… 4
又∵

π

<α + β <

12 分 (注:另解中如果没有舍掉 α + β = 分) 16、解:设随机变量 ξ 表示所得分数 (Ⅰ) P (ξ = 4) = (
1 C32C2 3 = . C53 5

5π 5π 或者没有说明理由就舍掉 α + β = ,扣 2 4 4

…………………3 分 Ⅱ ) ……………

3 9 2 12 2 4 1 3 P (ξ = 2) = ( ) 2 = , P (ξ = 3) = C2 × = , P (ξ = 4) = ( ) 2 = 5 25 5 5 25 5 25
……9 分 分布列为:

ξ
p

2

3

4

9 25

12 25

4 25

………………………………………………… 10 分 均值为: Eξ = 2 ×

9 12 4 14 + 3× + 4 × = 25 25 25 5

…………………12 分

17、解: (Ⅰ)证明:因为 SA ⊥ 底面 ABCD , 所以,∠SBA 是 SB 与平面 ABCD 所成的角

…………………1 分

由已知∠SBA=45°,所以 AB=SA=1 易求得,AP=PD= 2 ,…………………3 分 又因为 AD=2,所以 AD2=AP2+PD2,所以 AP ⊥ PD . …………………4 分 S 因为 SA⊥底面 ABCD, PD ? 平面 ABCD, 所以 SA⊥PD, …………………………………………………………5 分 由于 SA∩AP=A 所以 PD ⊥ 平面 SAP. …………………6 分 A (Ⅱ)设 Q 为 AD 的中点,连结 PQ, …………………7 分 由于 SA⊥底面 ABCD,且 SA ? 平面 SAD, B 则平面 SAD⊥平面 PAD …………………8 分 P ? 平面 SAD, ∵ PQ ⊥ AD ,∴ PQ⊥平面 SAD,∵ SD ∴ PQ ⊥ SD . 过 Q 作 QR ⊥ SD ,垂足为 R ,连接 PR ,则 SD ⊥ 面QPR . 又 PR ? 面QPR ,∴ SD ⊥ PR ,∴ 角.…………10 分 ∠ PRQ 是 二 面 角 A - SD - P 的 平 面

Q

R D C

QR DQ = . SA SD 因为 DQ = 1,SA = 1 , SD = 5 ,
容易证明△DRQ∽△DAS,则

z
S A

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B x P C

D y

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所以 QR =

DQ 1 ? SA = . SD 5

…………………12 分

在 Rt△PRQ 中,因为 PQ=AB=1, PR = 所以 COS∠PRQ =

QR 2 + PQ 2 =

30 , 5

RQ 6 = . …………………13 分 PR 6 6 所以二面角 A-SD-P 的余弦为 . …………………14 分 6 解法二:因为 SA ⊥ 底面 ABCD ,
所以,∠SBA 是 SB 与平面 ABCD 所成的角. ……1 分 由已知∠SBA=45°,所以 AB=SA=1 建立空间直角坐标系(如图) 由已知,P 为 BC 中点. 于是 A(0,0,0) 、B(1,0,0) 、P(1,1,0) 、D(0,2,0) 、S(0,0,1)……………3 分 (Ⅰ)易求得 AP = (1,1,0) ,

PD = (?1,1,0) , PS = (?1,?1,1) . …………………4 分 ,0 ? , = ,0 ? ?, ) 因为 AP ? PD = (11,)( ? 11,0) 0 , PD ? PS = ( ?11,)( ? 1, 11 = 0 .
所以 AP ⊥ PD , PS ⊥ PD . 由于 AP ∩ SP = P ,所以 PD ⊥ 平面 SAP . …………………6 分 (Ⅱ)设平面 SPD 的法向量为 n = ( x, y,1) .

? ? n ?PS = 0 ?x + y ?1 = 0 1 ? ? x= y= ? 2, 由 ?n ? PD = 0 ,得 ? ? x + y = 0 解得 1 1 所以 n = ( , ,1) . …………………9 分 2 2
又因为 AB⊥平面 SAD,所以 AB 是平面 SAD 的法向量, 易得 AB = (1, 0, 0 ) . …………………9 分

1 6 2 所以 COS < AB, n >= = = . …………………13 分 6 1 1 AB ? n + +1 4 4 6 所以所求二面角 B ? SA ? C 的余弦值为 .…………………14 分 6 AB ? n
18、解: (Ⅰ)由 S n +1 = 2λ S n + 1 得 S 2 = 2λ S1 + 1 , S3 = 2λ S 2 + 1 = 4λ + 2λ + 1 .
2

2λ 2 + λ ? 3 = 0 ∵ λ > 0,∴ λ = 1 …………………………………………………………3 分
(Ⅱ)由 S n +1 = 2 S n + 1 整理得: S n +1 + 1 = 2( S n + 1)



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所以数列 {S n + 1} 是以 S1 + 1 = 2 为首项,2 为公比的等比数列.…………………………5 分

∴ S n + 1 = 2 ? 2 n ?1 ,∴ S n = 2 n ? 1, ………………………………………………………………
6分

∴ an = S n ? S n ?1 = 2n ?1 (n ≥ 2) .………………………………………………………………
7分 因为当 n = 1 时, a1 = 1, 满足 an = 2 分 (Ⅲ) Tn = 1 ? 2 + 2 ? 2 + 3 ? 2 + ? + (n ? 1) ? 2
0 1 2 n?2 n ?1

,∴ an = 2

n ?1

………………………………………8

+ n ? 2n ?1

① ②

2Tn = 1 ? 2 + 2 ? 22 + 3 ? 23 + ? + (n ? 2) ? 2n ? 2 + (n ? 1) ? 2 n ?1 + n ? 2n
①-②得: ?Tn = 1 + 2 + 2 + ? + 2
2 n n n?2

+ 2 n ?1 ? n ? 2n .

则 Tn = n ? 2 ? 2 + 1 ,…………………………………………………………………… 11 分


12 分

Tn n ? 2n ? 2n + 1 3 ? Sn = ? (2n ? 1) = (n ? 3) ? 2n ?1 + .…………………………… 2 2 2

T1 1 ? S1 = ? < 0 . 2 2 T 1 当 n = 2 时, 2 ? S 2 = ? < 0 . 2 2 Tn T 即当 n = 1 或 n = 2 时, ? S n < 0, n < S n .………………………………………… 2 2
∴当 n = 1 时, 13 分 当 n ≥ 3 时, 分 19、 (I)如图,设点 C ( x, y )( x ≠ 0) , E ( xE , 0)、F ( xF , 0) ,由 A、C、E 三点共线,

Tn T ? S n > 0, n > S n .……………………………………………………14 2 2

AC · AE ? x(?1) ? ( y ? 1) x E = 0 ,xE =
2分 同理,由 B、C、F 三点共线可得 xF = 分

x . 1? y

…………………

x . 1+ y

…………………4

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∵ OE ·OF = 4 ,∴ xE ? xF = 化简,得点 C 的轨迹方程为 扣 1 分) (Ⅱ)若 BC = ?8CF , ①设 F ( xF , 0),C ( xC , yC ) , ∴ BC = ?8CF ? . ( x C , y C + 1) = ?8( x F ? x C ,? y C ) ∴ xC =

x x · = 4, 1? y 1+ y

x2 + y 2 = 1( x ≠ 0) .……………6 分(若没有注明 x ≠ 0 则 4

8 1 xF , yC = . 7 7

x2 代入 + y 2 = 1 , 得 xF = ± 3 . F (± 3, 0) , F 为椭圆的焦点. ∴ 即 ………………… 4
10 分 ②猜想:取 F2 ( 3, 0) ,设 F1 ( ? 3, 0) 是椭圆左焦点,则当 P 点位于直线 BF1 与椭圆的 交点处时, ?PBF 周长最大,最大值为 8. 证明如下: | PF2 | + | PB |= 4? | PF1 | + | PB |≤ 4+ | BF1 | ∴

l ≤ 4+ | BF1 | + | BF2 |≤ 8
20、 (I)

?PBF



周 …………………14 分



∵ f ( x) =

∴ f ′( x) =

mx , x +n m ( x 2 + n ) ? mx ? 2 x
2

(x

2

+ n)

2

=

mn ? mx 2

(x

2

+ n)

2

.………2 分

又 f ( x ) 在 x = 1 处取得极值 2.

? ? f ′ (1) = 0 ∴? ? f (1) = 2 ? ∴ f ( x) =

? m(n ? 1) =0 ? ? (1 + n) 2 即? ? m = 2, ?1 + n ?

?m = 4 ?m = 0 解得 ? 或? (舍去) ?n = 1 ? n = ?1

4x x +1
2

………………4 分 (Ⅱ)由(I)得 f ′ ( x ) =

(x

4 ? 4x2
2

+ 1)

2

假设存在满足条件的点 A,且 A ? x0 ,

? ?

4 x0 ? 4 ………………6 分 ? ,则 kOA = 2 2 x0 + 1 ? x0 + 1

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?x ? 4 ? 4? 0 ? 2 ? x0 ? ? 2 ? = 16 ( 4 ? x0 ) f ′? ? = 2 2 ? 2 ? ?? x ? 2 ? ( x02 + 4 ) 0 ?? ? + 1? ?? 2 ? ? ? ? 依题意得kOA
2

16 ( 4 ? x0 ) 4 ?x ? 4 2 ,∴ 5 x0 = 4 x0 ………………8 分 = f ′ ? 0 ? ,即 2 = 2 2 x0 + 1 ( x + 4 ) ?2? 0
2

4 2 2 5 ∵ x0 ≠ 0,∴ x0 = , x0 = ± 5 5
所以存在满足条件的点 A,此时点 A 是坐标为 ? (Ⅲ) f ′ ( x ) =

?2 5 8 5? ? 2 5 8 5? 或 ……9 分 ? 5 , 9 ? ? ? 5 ,- 9 ? ? ? ? ? ? ? ?

?4 ( x + 1)( x ? 1)

(x

2

+ 1)

2

,令 f ′ ( x ) = 0,得x = ?1或x = 1 .

当 x 变化时, f ′ ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ′( x) f ( x)

( ?∞,-1)
单调递减

?1
0 极小值

, ( ?11)
+ 单调递增

1 0 极大值

+ (1, ∞ )
单调递减

∴ f ( x ) 在 x = ?1 处取得极小值 f ( ?1) = ?2 ,在 x = 1 处取得极大值 f (1) = 2
又∵ x ? 0 时, f ( x ) ? 0 ,∴ f ( x ) 的最小值为-2………………………11 分

∵ 对于任意的 x1 ∈ R ,总存在 x2 ∈ [ ?1,1] ,使得 g ( x2 ) ≤ f ( x1 ) ∴ 当 x ∈ [ ?1,1] 时, g ( x ) 最小值不大于-2
又 g ( x ) = x 2 ? 2 ax + a = ( x ? a ) + a ? a 2
2

当 a ≤ ?1 时, g ( x ) 的最小值为 g ( ?1) = 1 + 3a ,由 1 + 3a ≤ ?2 得 a ≤ ?1 ………………………………………12 分 当 a ≥ 1 时, g ( x ) 最小值为 g (1) = 1 ? a ,由 1 ? a ≤ ?2 ,得 a ≥ 3 当 ?1 ? a ? 1 时, g ( x ) 的最小值为 g ( a ) = a ? a
2

2 由 a ? a ≤ ?2 ,得 a ≤ ?1 或 a ≥ 2 ,又 ?1 ? a ? 1 ,

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所以此时 a 不存在.………………………………13 分

? + 综上, a 的取值范围是 ( ?∞, 1] ∪ [3, ∞ ) ………………………14 分
(Ⅲ)解法二:解法过程同上可求出 f(x)的最小值为-2

∵ 对于任意的 x1 ∈ R ,总存在 x2 ∈ [ ?1,1] ,使得 g ( x2 ) ≤ f ( x1 )

, ∴ 当 x ∈ [ ?1,1] 时, g ( x ) ≤ ?2 有解 ,即 x 2 ? 2ax + a + 2 ≤ 0 在 [ ?11] 有解
设 h ( x ) = x ? 2ax + a + 2
2

? = ( ?2a ) ? 4 ( a + 2 ) = 4 ( a 2 ? a ? 2 ) = 4 ( a ? 2 )( a + 1)
2

由? ? 0, 得 -1 ? a ? 2; 由? = 0, 得a = 2或a = ?1 a = 2时,由x 2 ? 2ax + a + 2 ≤ 0,解得x = 2 a = ?1,由x 2 ? 2ax + a + 2 ≤ 0,解得x = ?1 ?? ? 0, ? 由 ?h ( ?1) ? 0, 知a不存在 ? a ? ?1 ? ?? ? 0, ? 由 ?h (1) ? 0, 解得2 ? a ? 3 ?a ? 1 ? 综上,当 ? 1 ? a ? 3时,x 2 ? 2ax + a + 2 ≤ 0在 [ ?11] ,上无解

,上有解 所以当 a ≤ ?1 或 a ≥ 3 时, x ? 2ax + a + 2 ≤ 0在 [ ?11]
2

(Ⅲ)解法三:解法过程同上可求出 f(x)的最小值为-2

∵ 对于任意的 x1 ∈ R ,总存在 x2 ∈ [ ?1,1] ,使得 g ( x2 ) ≤ f ( x1 ) ∴ 当 x ∈ [ ?1,1] 时, g ( x ) ≤ ?2 有解.

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9 + 2t + t 2 , t ∈ [3,1] 4 1?9 ? 当t ∈ [ ?3, 0]时, a ≤ ? + 2 + t ? 4? t ? 令2 x ? 1 = t , 则at ≥ 9 ? ? 9 ?? ∵ + 2 + t = 2 ? ?( ?t ) + ? ? ? ? ≤ ?4,当且仅当t = ?3时,等号成立 t ? t ?? ? ∴ a ≤ ?1 9 当t = 0时, 0 ≥ 不成立, a不存在 ∵ ∴ 4 1?9 9 ? 当t ∈ ( 0,时,a ≥ ? + 2 + t ? , 设h ( x ) = + 2 + t , t ∈ ( 0, 1] 1] 4? t t ? 9 ∵ t ∈ ( 0, , h′ ( x ) = 1 ? 2 ? 0 1] t ∴ h ( t ) 在 ( 0,为减函数 1] h ( t ) ≥ h (1) = 12,从而a ≥ 3

? + 综上, a 的取值范围是 ( ?∞, 1] ∪ [3, ∞ ) .

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