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平面向量的解题技巧


第二讲

平面向量的解题技巧

【命题趋向】 由 2007 年高考题分析可知: 1.这部分内容高考中所占分数一般在 10 分左右. 2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题. 3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主. 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空 题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主. 透析高考试题,知命题热点为: 1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积. 2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义. 3.两非零向量平行、垂直的充要条件. 4.图形平移、线段的定比分点坐标公式. 5.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三 角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关 问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等. 6.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转 化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题. 【例题解析】 1. 向量的概念,向量的基本运算 (1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度 和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例 1 ( 2007 年 北 京 卷 理 ) 已 知 O 是 △ ABC 所 在 平 面 内 一 点 , D 为 BC 边 中 点 , 且 ) 2OA? OB? OC?0 ,那么( A. AO ? OD B. AO ? 2OD C. AO ? 3OD D. 2 AO ? OD 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力. 解: 2OA ? OB ? OC ? 2OA ? (DB ? OD) ? (DC ? OD) = 0, DB ? ?DC,?2OA ? 2OD ? 0,? AO ? OD. 故选 A. 例 2( .2006 年安徽卷) 在 ABCD 中, M 为 BC 的中点, 则 MN ? ______. AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC , (用 a、 b 表示) 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解: 所以, MN ? 3 (a ? b) ? (a ? 1 b) ? ? 1 a ? 1 b . 由AN ? 3NC得4 AN ? 3AC=3(a ? b) ,AM ? a ? 1 b ,
2
4 2 4 4

例 3. (2006 年广东卷)如图 1 所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD ? ( ) (A) ? BC ? 1 BA (B) ? BC ? 1 BA
2

2

(C) BC ? 1 BA
2

(D) BC ? 1 BA
2

命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解: CD ? CB ? BD ? ? BC ? 1 BA ,故选 A.
2

1 7? 例 4. ( 2006 年重庆卷)与向量 a = ? 7 , 1 ? , b ? ? ? , ? 的夹解相等,且模为 1 的向量是 ( )

? ? ? 2 2?

4 3? (A) ? ? ,? ?

? 5 5? 2 2 1? (C) ? ? ? 3 ,? 3? ? ?

?2 2? 4 3? ? 4 3? (B) ? ? ,? ? 或?? , ? ? 5 5? ? 5 5?

2 2 1 ? 或? 2 2 1 ? (D) ? ? ,? ? ? , ? ? ?? ? 3 3? ? 3 3?

命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. ? 4 3? ? 4 3? c ? ? , ? ? 或 ? - , ? 时, c ? 1. 解:设所求平面向量为 c , 由 ? 5 5 ? ? 5 5 ? 7 4 1 ? 3? ? ? ?? ? ? a ?c 1 2 5 2 ? 5? ? 4 3? c ? ? , ? ? 时, cos a , c ? ? ? . 2 2 2 2 5 5 a ? c 2 ? ? ?7? ?1? ? 4? ? 3? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? 2? ? 2? ? 5? ? 5? 另一方面,当 7 ? 4? 1 ? 3? ?? ? ? ? ?? ? a ?c 1 2 ? 5? 2 ? 5? ? 4 3? c ? ? ? , ? 时, cos a , c ? ? ?? . 2 2 2 2 a?c 2 ? 5 5? ?7? ?1? ? 4? ? 3? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? 2? ? 2? ? 5? ? 5? 当
7 1? ? 1 7 ? 的夹角相等.故选 B. 故平面向量 c 与向量 a = ? ? , ?,b ? ? , ? ? 2 2?
2 2 ? ? ? ? ? ? ? 例 5. (2006 年天津卷)设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,且 a os ? ? __. ? (3,3) ,2b ? a ? (?1,1) ,则 c

命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量 积处理有关角度的问题. 解: 设b ? ? x, y ? ,由2b ? a ? 2 ? x, y ? ? ? 3,3? ? ? 2 x ? 3, 2 y ? 3? ? ? ?1,1? .
?2 x ? 3 ? ?1 ? x ? 1, 得? ?? ?b ? ?1, 2? . ? 2y ? 3 ?1 ? y ? 2.

cos a, b ?

a ?b a?b

?

3 ?1 ? 3 ? 2 3 ?3 ? 1 ?2
2 2 2 2

?

3 10 . 10

故填

3 10 . 10

例 6.(2006 年湖北卷)已知向量 a ? 则 b = ()
3 1? (A) ? ? ? ? 2 ,2? ? ?

?

3,1 , b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a ? b ? 3 ,

?

1 3? (B) ? ? , ? ? ? ?2 2 ?

1 3 3? (C) ? ? , ? ?4 ? 4 ? ?

(D) ?1,0?

命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想 解题的能力.
1 ? 2 2 x? , ? ? x ? y ? 1, ? 解:设 b ? ? x, y ? ( x ? y) ,则依题意有 ? 2 ? ? 3 x ? y ? 3. ? ? ?y ? 3 . ? ? 2

故选 B. 例 7.设平面向量 a1 、 a2 、 a3 的和 a1 ? a2 ? a3 ? 0 .如果向量 b1 、 b2 、 b3 ,满足 bi ? 2 ai ,且 ai 顺

时针旋转 30o 后与 bi 同向,其中 i ? 1, 2,3 ,则( (A) ?b1 ? b2 ? b3 ? 0 (C) b1 ? b2 ? b3 ? 0

) (B) b1 ? b2 ? b3 ? 0 (D) b1 ? b2 ? b3 ? 0

命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念. 常规解法:∵ a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,∴ 2a1 ? 2a2 ? 2a3 ? 0. 故把 2 ai (i=1,2,3),分别按顺时针旋 转 30 后与 bi 重合,故 b1 ? b2 ? b3 ? 0 ,应选 D. 巧妙解法:令 a1 = 0 ,则 a2 = ?a3 ,由题意知 b2 = ?b3 ,从而排除 B,C,同理排除 A,故选(D). 点评:巧妙解法巧在取 a1 = 0 ,使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来 解决. 2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合 (1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题,由于结合性强,因而 综合能力较强,所以复习时,通过解题过程,力争达到既回顾知识要点,又感悟思维方法的 双重效果,解题要点是运用向量知识,将所给问题转化为代数问题求解. (2)解答题考查圆锥曲线中典型问题,如垂直、平行、共线等,此类题综合性比较强,难度 大. 例 8. (2007 年陕西卷理 17.)设函数 f(x)=a-b,其中向量 a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈ ?? ? R,且函数 y=f(x)的图象经过点 ? ,2 ? , ?4 ? (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合. 解: (Ⅰ) f ( x) ? a b ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x , 由已知 f ?
?

π? π ?π? ? ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 ,得 m ? 1 . 2? 2 ?4? ? ? ? π? ?, 4?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ?

π? ? ? 当 sin ? 2 x ? ? ? ?1时, f ( x) 的最小值为 1 ? 2 , 4? ?
由 sin ? 2 x ?

? ?

? 3π ? π? ? ? ?1,得 x 值的集合为 ? x x ? kπ ? ,k ? Z? 4? 8 ? ?
π 2

例 2. (2007 年陕西卷文 17) 设函数 f ( x) ? a、b .其中向量 a ? (m, cos x), b ? (1 ? sin x,1), x ? R, 且f ( ) ? 2 .

(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值. 解: (Ⅰ) f ( x) ? a b ? m(1 ? sin x) ? cos x , f ?

π? π ?π? ? ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 ,得 2? 2 ?2? ?

m ? 1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin x ? cos x ? 1 ?

π? π? ? ? 2 sin ? x ? ? ? 1 ,? 当 sin ? x ? ? ? ?1时, 4? 4? ? ?

f ( x) 的最小值为 1 ? 2 .
例 9. (2007 年湖北卷理 16) 已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0 ≤ AB AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? . (I)求 ? 的取值范围; (II)求函数 f (? ) ? 2sin 2 ?

?π ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大 ?4 ?

,B,C 的对边分别为 a,b,c , 解: (Ⅰ)设 △ ABC 中角 A
则由

1 ?π π? bc sin ? ? 3 , 0 ≤ bc cos ? ≤ 6 ,可得 0 ≤ cot ? ≤1,∴? ? ? , ? . 2 ?4 2?

(Ⅱ) f (? ) ? 2sin 2 ?

? ?π ?? ?π ? ? ? ? ? 3 cos 2? ? ?1 ? cos ? ? 2? ? ? ? 3 cos 2? ?4 ? ?2 ?? ?

π? ? ? (1 ? sin 2? ) ? 3 cos 2? ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 1 ? 2sin ? 2? ? ? ? 1. 3? ?
π ? π 2π ? π? ? ?π π? ∵? ? ? , ? , 2? ? ? ? , ? ,∴ 2 ≤ 2sin ? 2? ? ? ? 1≤ 3 . 3 ?6 3 ? 3? ? ?4 2?
即当 ? ?

5π π 时, f (? )max ? 3 ;当 ? ? 时, f (? )min ? 2 . 12 4

例 10. (2007 年广东卷理) 已知 ABC 的三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0) (1)若 c=5,求 sin∠A 的值; (2)若∠A 为钝角,求 c 的取值范围; 解: (1) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) ,若 c=5, 则 AC ? (2, ?4) , ∴ cos ?A ? cos ? AC, AB ??
?6 ? 16 ? 1

5? 2 5 5 ??3c ? 9 ? 16 ? 0, 25 25 (2)∠A 为钝角,则 ? 解得 c ? ,∴c 的取值范围是 ( , ??) 3 3 ?c ? 0,

,∴sin∠A=

2 5 ; 5

例 11. (2007 年山东卷文 17) 在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? 3 7 .

(1)求 cos C ; (2)若 CB CA ? 解: (1)

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2


tan C ? 3 7, ?

sin C ?3 7 cos C

sin 2 C ? cos2 C ? 1

1 tan C ? 0 ,? C 是锐角. . 8 5 5 (2) CB CA ? , ? ab cos C ? , ? ab ? 20 . 2 2
解得 cos C ? ? 又

1 ? cos C ? . 8

a?b ?9

? a2 ? 2ab ? b2 ? 81 .

? a 2 ? b2 ? 41.

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 .

?c ? 6 .
例 12.(2006 年湖北卷) 设函数 f ? x ? ? a ? ? b ? c ? , 其中向量 a ? ? sin x, ? cos x ? , b ? ? sin x, ?3cos x ? ,
c ? ? ? cos x,sin x ? , x ? R .

(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的最大值和最小正周期; (Ⅱ)将函数 y ? f ?x ?的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对 称,求长度最小的 d . 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像 的基本知识,考查推理和运算能力. 解:(Ⅰ)由题意得,f(x)= a ·( b ? c )=(sinx,-cosx)·(sinx-cosx,sinx-3cosx)

=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+ 2 sin(2x+ 3? ).
4

所以,f(x)的最大值为 2+ 2 ,最小正周期是 2? = ? .
2

(Ⅱ)由 sin(2x+ 3? )=0 得 2x+ 3? =k. ? ,即 x= k? ? 3? ,k∈Z,
4 4 2 8

于是 d =( k? ? 3? ,-2) , d ? ( k? ? 3? ) 24 , ? 2 8 2 8

k∈Z.

因为 k 为整数,要使 d 最小,则只有 k=1,此时 d =(― ? ,―2)即为所求.
8

π π 例 13. (2006 年全国卷 II)已知向量 a =(sinθ ,1), b =(1,cosθ ),- <θ < . 2 2 (Ⅰ)若 a ⊥ b ,求 θ ; (Ⅱ)求| a + b |的最大值. 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三 角函数的性质等基本知识,考查推理和运算能力. 解: (Ⅰ)若 a ⊥ b ,则 sinθ +cosθ =0, π π π 由此得 tanθ =-1(- <θ < ),所以 θ =- ; 2 2 4 (Ⅱ)由 a =(sinθ ,1), b =(1,cosθ )得

| a + b |= (sinθ +1)2+(1+cosθ )2= 3+2(sinθ +cosθ ) π = 3+2 2sin(θ + ), 4 π π 当 sin(θ + )=1 时,|a+b|取得最大值,即当 θ = 时,|a+b|最大值为 2+1. 4 4 例 14. (2006 年陕西卷)如图,三定点 A(2,1), B(0, ?1), C (?2,1); 三动点 D、E、M 满足
AD ? t AB, BE ? tBC, DM ? tDE, t ?[0,1].
y C 1 O - 2 - 1 E - 1 1 B 图2 2 D x A

(I)求动直线 DE 斜率的变化范围; (II)求动点 M 的轨迹方程。 命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、三角公式、 三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基本知识, 考查推理和运算能力.

解法一: 如图, (Ⅰ)设 D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t , ?xD=-2t+2 y 知 (xD - 2,yD - 1)=t( - 2, - 2). ∴? 同理 ?yD=-2t+1 A ?xE=-2t C ? . ?yE=2t-1 M D yE-yD 2t-1-(-2t+1) x ∴kDE = = = 1-2t. 1 2 -2 -1 O xE-xD -2t-(-2t+2) E ∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[-1,1]. -1 B ( Ⅱ ) ∵ =t ∴ (x+2t - 2,y+2t - 1)=t( - 2t+2t - 2,2t - 1+2t - ?x=2(1-2t) 2 图3 1)=t( - 2,4t - 2)=( - 2t,4t - 2t). ∴ ? , ∴ 2 ?y=(1-2t) 2 x 2 y= , 即 x =4y. ∵t∈[0,1], x=2(1-2t)∈[-2,2]. 4 2 即所求轨迹方程为: x =4y, x∈[-2,2] 解法二: (Ⅰ)同上. (Ⅱ) 如图, =+ = + t = + t(-) = (1-t) +t, = + = +t = +t(-) =(1-t) +t, = += + t= +t(-)=(1-t) + t 2 2 = (1-t ) + 2(1-t)t+t . 设 M 点的坐标为(x,y),由=(2,1), =(0,-1), =(-2,1)得 2 2 ?x=(1-t )·2+2(1-t)t·0+t ·(-2)=2(1-2t) 2 ? 消去 t 得 x =4y, ∵t∈[0,1], x∈[- 2 2 2 ?y=(1-t) ·1+2(1-t)t·(-1)+t ·1=(1-2t) 2,2]. 2 故所求轨迹方程为: x =4y, x∈[-2,2] → 2 例 15. (2006 年全国卷 II) 已知抛物线 x =4y 的焦点为 F, A、 B 是抛物线上的两动点, 且 AF → =λ FB (λ >0) .过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M. → → (Ⅰ)证明 FM · AB 为定值; (Ⅱ)设△ABM 的面积为 S,写出 S=f(λ )的表达式,并求 S 的最小值. 命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、 和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等 基本知识,考查推理和运算能力. 解:(Ⅰ)由已知条件,得 F(0,1),λ >0.

→ → 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 AF =λ FB , 即得 (-x1,1-y)=λ (x2,y2-1), ?-x1=λ x2 ① ? ? ? ?1-y1=λ (y2-1) ② 1 2 1 2 将①式两边平方并把 y1= x1 ,y2= x2 代入得 y1=λ 2y2 ③ 4 4 1 2 解②、③式得 y1=λ ,y2= ,且有 x1x2=-λ x2 =-4λ y2=-4, λ 1 2 1 抛物线方程为 y= x ,求导得 y′= x. 4 2 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 1 1 y= x1(x-x1)+y1,y= x2(x-x2)+y2, 2 2 1 1 2 1 1 2 即 y= x1x- x1 ,y= x2x- x2 . 2 4 2 4 解出两条切线的交点 M 的坐标为( 2 , 2 )=( 2 ,-1). → → 1 2 1 2 1 2 2 所以 FM · AB =( x1 ? x2 ,-2)·(x2-x1,y2-y1)= (x2 -x1 )-2( x2 - x1 )=0. 2 4 4 2 → → 所以 FM · AB 为定值,其值为 0. 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中,FM⊥AB,因而 S= |AB||FM|. 2 |FM| = 1 2 (
x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2

x1+x2
2

)2+(-2)2



1 2 1 2 1 x + x + x x +4 4 1 4 2 2 1 2



1 1 λ + +2= λ + . λ λ 因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y=-1 的距离,所以 1 1 2 |AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ + +2=( λ + ). λ λ

y1+y2+ ×(-4)+4=

于是 由 λ +

S= |AB||FM|=( λ +
1

1 2

1 λ

),

3

≥2 知 S≥4,且当 λ =1 时,S 取得最小值 4. λ 【专题训练与高考预测】 一、选择题 1.已知 a ? (2,3),b ? (4, x),且a // b, 则x 的值为 A.-6 B.6 C. ( )

8 3

D.-

8 3

2.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2DB, CD ? r AB ? s AC, 则 r ? s 的值是( ) A.

2 3

B.

4 3

C.-3

D.0

3.把直线 x ? 2 y ? 0 按向量 a ? (?1,?2) 平移后,所得直线与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? ? 相
5

切,则实数 ? 的值为

( A )

A.39

B.13

C.-21

D.-39

4. 给出下列命题: ①a · 则 a =0 或 b =0. b =0, ③ a · a · a =| a | .
3

②若 e 为单位向量且 a // e , 则 a =| a |· e.

④若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 . 其中正确的个数是 D.3

( ) A.0 B.1 C.2 5.在以下关于向量的命题中,不正确的是( ) A.若向量 a=(x,y),向量 b=(-y,x)(x、y≠0),则 a⊥b B.四边形 ABCD 是菱形的充要条件是 AB = DC ,且| AB |=| AD | C.点 G 是△ABC 的重心,则 GA + GB + CG =0 D.△ABC 中, AB 和 CA 的夹角等于 180°-A 6.若 O 为平行四边形 ABCD 的中心, AB = 4e1, A. AO B. BO C. CO

= 6e2,则 3e2-2e1 等于( D. DO



7.将函数 y=x+2 的图象按 a=(6,-2)平移后,得到的新图象的解析式为( ) A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 8.已知向量 m=(a,b),向量 m⊥n 且|m|=|n|,则 n 的坐标为 A.(a, -b) B.( -a,b) C.(b, -a) D.( -b, -a) 9.给出如下命题:命题(1)设 e1、e2 是平面内两个已知向量,则对于平面内任意向量 a,都 存在惟一的一对实数 x、y,使 a=xe1+ye 2 成立;命题( 2)若定义域为 R 的函数 f(x)恒满 足| f(-x)|=|f(x)|,则 f(x)或为奇函数,或为偶函数.则下述判断正确的是( ) A.命题(1) (2)均为假命题 B.命题(1) (2)均为真命题 C.命题(1)为真命题,命题(2)为假命题 D.命题(1)为假命题,命题(2)为真命题 10.若|a+b|=|a-b|,则向量 a 与 b 的关系是( ) A. a= 0 或 b= 0
? ?

B.|a|=|b|

C. a?b=0

D.以上都不对

11 . O 是 平 面 上 一 定 点 , A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足
OP ? OA ? ? ( AB AC ? ), ? ?[0, ??). 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 | AB | | AC





A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

12. 若 a ? ?2,?3,1? , b ? ?2,0,3?, c ? ?0,2,2 ? , 则 a ? b ? c = A. 4 B. 15 C. 7 二、填空题

?

?

( D.

) 3

1.已知 | AB |? 3, | AC |? 4, AB 与 AC 的夹角为 60°,则 AB 与 AB - AC 的夹角余弦为 2. 已知 a =(—4,2,x) , b =(2,1,3),且 a ⊥ b ,则 x=
? ? ? ?

.

.

3. 向量 ( a ? 3b) ? 7 a ? 5b , a ? 4b ? 7 a ? 2b ,则 a 和 b 所夹角是

?

? ?

? ?

?

4. 已知 A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 点 D 满足条件:DB⊥AC, DC⊥AB, 则 D 的坐标为 .

AD=BC,

5 . 设 a , b 是直线, ? , ? 是平面, a ? ? , b ? ? ,向量 a1 在 a 上,向量 b1 在 b 上,

a1 ? {1,1,1}, b1 ? {?3,4,0} ,则 ? , ? 所成二面角中较小的一个的大小为
三、解答题 1.△ABC 中,三个内角分别是 A、B、C,向量 a ? ( 5 cos C , cos A ? B ),当 tan A ? tan B
2 2 2



?

1 时,求 | a | . 9

2.在平行四边形 ABCD 中,A(1,1) , AB ? (6,0) ,点 M 是线段 AB 的中点,线段 CM 与 BD 交于点 P. (1)若 AD ? (3,5), 求点 C 的坐标; (2)当 | AB |?| AD | 时,求点 P 的轨迹. 3.平面内三个力 F1 , F2 , F3 作用于同丄点 O 且处于平衡状态,已知 F1 , F2 的大小分别 为 1kg, 6 ? 2 kg, F1 、 F2 的夹角是 45°,求 F3 的大小及 F3 与 F1 夹角的大小.
2

4.已知 a,b 都是非零向量,且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直,求 a 与 b 的夹 角. 5.设 a=(1+cosα ,sinα ), b=(1-cosβ ,sinβ ),c=(1,0),α ∈(0,π )β ∈(π ,2π ),a 与 c 的夹角为θ 1,b 与 c 的夹角为θ 2,且θ 1-θ 2= 6.已知平面向量 a=( 3 ,-1) ,b=(

? ??? ,求 sin . 4 6

3 1 , ). 2 2

(1)证明:a⊥b; 2 (2)若存在实数 k 和 t,使得 x=a+(t -3)b,y=-ka+tb,且 x⊥y,试求函数关系式 k=f(t); (3)根据(2)的结论,确定 k=f(t)的单调区间. 【参考答案】 一、选择题 1.B 2.D 3.A4.A 5. 答案:C 提示:若点 G 是△ABC 的重心,则有 GA + GB + GC =0,而 C 的结论是 GA + GB + CG =0, 显然是不成立的,选 C. 6.B 7.B 8.C 9.A 10. C 11.B 二、填空题 1. 13 2. 2
13

12.D 5. arccos
3 15 .

3.60°

4. (1,1,1)或 (? 1 ,? 1 ,? 1 ) 3 3 3

3.解:由 a ? 3b ? 7 a ? 5b ? 0 , a ? 4b ? 7a ? 2b ? 0 ,

?

??

?

?

??

?

有 7a ? 16a ? b

2

2

-

1

5

b

=

0

, 7a ? 30a ? b ? 8b ? 0 ,

2

2

2 2 2 解得 a ? b , b ? 2a ? b , ? cos a, b ? a ? b ? 1 2.

a?b

4.解:设 D(x, y, z), 则 BD ? ( x, y ? 1, z ) , CD ? ? x, y, z ? 1?, AD ? (x-1, y, z),

AC ? (-1, 0, 1),
DC⊥AB ? -x+y=0,

AB ? (-1,1, 0),

BC ? (0, -1, 1). 又 DB⊥AC ? -x+z=0,

AD=BC ? ? x ? 1?2 ? y 2 ? z 2 ? 2,

联立解得 x=y=z=1 或 x=y=z= ? 1 . 所以 D 点为(1,1,1)或 (? 1 ,? 1 ,? 1 )。 3 3 3

3

三、解答题
2 2 2 5 C A ? B 5 A? B A? B ?| a | 2 ? ? cos2 ? cos2 ? sin 2 ? cos2 4 2 2 4 2 2 5 1 ? cos(A ? B) 1 ? cos(A ? B) 1 ? ? ? ? [9 ? 4 cos(A ? B) ? 5 cos(A ? B)] 4 2 2 8 1 ? (9 ? 4 cos A cos B ? 4 sin A sin B ? 5 cos A cos B ? 5 sin A sin B) 8 1 ? (9 ? 9 sin A sin B ? cos A cos B). 8 1 sin A sin B 1 又 tan A tan B ? , 即 ? . 9 cos A cos B 9 ? 9 sin A sin B ? cos A cos B.

1.?| a | 2 ? ( 5 cos C ) 2 ? cos2 A ? B ,

9 3 2 ?| a | 2 ? , 故 | a |? . 8 4

2.解: (1)设点 C 坐标为( x0 , y 0 ) , 又 AC ? AD ? AB ? (3,5) ? (6,0) ? (9,5) ,即 ( x0 ? 1, y0 ? 1) ? (9,5) .

? x0 ? 10, y0 ? 6 .

即点 C(0,6).

(2)解一:设 P( x, y) ,则
BP ? AP ? AB ? ( x ? 1, y ? 1) ? (6,0) ? ( x ? 7, y ? 1) .
AC ? AM ? MC ? 1 1 1 AB ? 3MP ? AB ? 3( AP ? AB) 2 2 2

? 3 AP ? AB ? (3( x ? 1),3( y ? 1)) ? (6,0) ? (3x ? 9,3 y ? 3).

? | AB |?| AD | .

?

ABCD 为菱形.

? AC ? AD,

即( x ? 7, y ?1) ? (3x ? 9,3y ? 3) ? 0.

( x ? 7)(3x ? 9) ? ( y ? 1)(3 y ? 3) ? 0

? x 2 ? y 2 ? 10x ? 2 y ? 22 ? 0( y ? 1) .

故点 P 的轨迹是以(5,1)为圆心,2 为半圆去掉与直线 y ? 1 的两个交点. 解法二:? | AB |?| AD |

? D 的轨迹方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 36 ? M 为 AB 中点, ? P分BD 的比为
设 P( x, y),
B(7,1) ,

( y ? 1) .

1 . 2

? D(3x ? 14,3 y ? 2). .

? P 的轨迹方程

(3x ? 15) 2 ? (3 y ? 3) 2 ? 36.
( y ? 1) .

整理得 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4

故点 P 的轨迹是以(5,1)为圆心,2 为半径的圆去掉与直线 y ? 1 的两个交点. 3.设 F1 与 F2 的合力为 F ,则|F|=|F3|. ∵∠F1OF2=45° ∴∠FF1O=135°. 在△OF1F 中,由余弦定理
| OF |2 ?| OF1 |2 ? | F1 F |2 ?2 | OF1 || F1 F | ? cos135? = 4 ? 2 3 .

F F1 O F2

? | OF |? 1 ? 3,即 | F3 |? 3 ? 1 .

又由正弦定理,得 sin ?F OF ? | F1 F | sin ?FF1O ? 1 . 1
| OF | 2

F3

∴∠F1OF=30° 从而 F1 与 F3 的夹角为 150°. 答:F3 的大小是( 3 +1)kg,F1 与 F3 的夹角为 150°. 4..解:∵a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直, ∴(a+3b)·(7a-5b)=0,(a-4b)·(7a-2b) =0.
2 2 ?7 | a | ?16a ? b ? 15 | b | ? 0, 即? ?

? ?7 | a | ?30a ? b ? 8 | b | ? 0.
2 2

① ②

两式相减:a·b=

1 2 2 2 |b| ,代入①得|a| =|b| . 2

∴cosα = a ? b = 1 .∴α =60°,即 a 与 b 的夹角为 60°.
| a || b | 2

?

? ?

?

5.解:a=(2cos 2 ,2sin 2 cos 2 )

2

?

?

=2cos 2 (cos 2 ,sin 2 )

?
∴θ 1= 2 ,

?

?

?

b=(2sin2 2 ,2sin 2 cos 2 ) ? ? ?

? ? ? ? ? ? ??? ? + ? ? ∴θ 2= 2 - 2 ,又θ 1-θ 2= 6 2 = -3 2-2 2=6 ??? ? 1 ∴sin 2 =sin(- 6 )=- 2

=2sin 2 (sin 2 ,cos 2 )

?

6.(1)证明:∵a=( 3 ,-1),b=( ∴ 3×

3 1 , ) 2 2

3 1 +(-1)× =0∴a⊥b 2 2

(2)解:由题意知

t2 ? 2 3 ? 3 3t 2 ? 3 3 ? 2 , ), 2 2 3 1 y=( t- 3 k, t+k) 2 2 t2 ? 2 3 ? 3 3t 2 ? 3 3 ? 2 3 1 又 x⊥y 故 x·y= ×( t- 3 k)+ ×( t+k)=0 2 2 2 2 1 3 3 2 整理得:t -3t-4k=0 即 k= t - t 4 4 1 3 3 (3)解:由(2)知:k=f(t)= t- t 4 4 3 2 3 ∴k′=f′(t)= t- 4 4 令 k′<0 得-1<t<1;令 k′>0 得 t<-1 或 t>1 故 k=f(t)单调递减区间是(-1,1) ,单调递增区间是(-∞,-1)∪(1,+∞)

x=(


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