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宁夏银川一中2014高三第一次月考数学理


银川一中 2014 届高三年级第一次月考

数 学 试 卷(理)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1. 设集合

M ? {x | x ?

则 k 1 k 1 ? , k ? Z }, N ? {x | x ? ? , k ? Z } 2 2 4 2 B. D.

A. C.

M ?N
M ?N

M?N
M ?N ??

2. 命题“若 A.若

a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0且b ? 0 ”的逆否命题是
B.若 D.若

a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0且b ? 0 a ? 0且b ? 0, 则a 2 ? b 2 ? 0

a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0或b ? 0 a ? 0或b ? 0, 则a 2 ? b 2 ? 0

C.若则

3.给出下列四个命题: ①命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 ,则 ?p : ?x ? R, sin x ? 1 . ②当 a ③当 x

? 1 时,不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 的解集为非空.
? 1 时,有 ln x ?
1 ? 2. ln x

④设复数 z 满足(1-i)z=2 i,则 z=1-i 其中真命题的个数是 A.1 4.若 a ? b ? c ,则函数 位于区间 A. C. B.2 C.3 D.4 的两个零点分别

f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ?

? b, c ? 和 ? c, ?? ? 内

B. D.

? ??, a ? 和 ? a, b ? 内

? a, b ? 和 ? b, c ? 内

? ??, a ? 和 ? c, ?? ? 内
2 2

5. 设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x +y ≥4”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 6. 曲线 B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件

y?

2 与直线 y ? x ? 1 及 x ? 4 所围成的封闭图形的面积为 x
B. 2 ? ln 2 C. 4 ? ln 2 D. 4 ? 2 ln 2

A. 2 ln 2

7. 设点 P 在曲线 A.

y ? e x 上,点 Q 在曲线 y ? ln x 上,则|PQ|最小值为
B.

2 ?1

2

C.

1? 2

D. ln 2

8. 若定义在 R 上的偶函数

f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 且 x ? ?0,1? 时, f ? x ? ? x, 则方程

f ? x ? ? log 3 x
A. 2个

的零点个数是 B. 3个 C. 4 个 D. 多于 4 个

9.已知函数 f ( x) ?

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? ?ln( x ? 1), x ? 0
B.

,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是

A.

(??, 0]

(??,1]

C. [ ?2,1]

D. [ ?2, 0]

10.设直线 x ? t 与函数 小时 t 的值为 A.1

f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ln x 的图象分别交于点 M , N ,则当 | MN | 达到最

B. 1

C.

2

5 2

D.

2 2

11.已知函数 f ( x ) 定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? e x ( x ? 1) ,给出下列命题: ①当 x ? 0 时, f ( x ) ? e x (1 ? x ); ③ f ( x ) ? 0 的解集为 ( ?1, 0) ? (1, ? ? ) 其中正确命题个数是 A.1 12. 已知函数 B.2 C.3 D.4 设 表示 p, q 中的 ②函数 f ( x ) 有 2 个零点 ④ ?x , x ? R ,都有 | f ( x ) ? f ( x ) |? 2 1 2 1 2

f ? x ? ? x 2 ? 2 ? a ? 2 ? x ? a 2 , g ? x ? ? ? x 2 ? 2 ? a ? 2 ? x ? a 2 ? 8.

H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ?? , H 2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ?? , ? max ? p, q? ?
较大值,

min ? p, q?

表示 p, q 中的较小值,记 H

1

? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 得最大值为 B ,
C. ?16 D. 16

则 A? B ? A. a 2 ? 2a ? 16 B. a 2 ? 2a ? 16

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 设集合 P={x|? (3t -10t+6)dt=0,x>0},则集合 P 的非空子集个数是
x
2

?

. .

0

14. 方程 x -3x=k 有 3 个不等的实根, 则常数 k 的取值范围是

3

15. 已知“命题

p : ( x ? m) 2 ? 3( x ? m) ”是“命题 q : x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 ”成立的必要不充分条
,有下列命题: x2 ? 1 ( x ? 0) |x|

件,则实数 m 的取值范围为_________________. 16. 关于函数

f ( x) ? lg

①其图象关于 y 轴对称; ②当 x>0 时,f(x)是增函数;当 x<0 时,f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是 lg2; ④f(x)在区间(-1,0)(2,+≦)上是增函数; 、 ⑤f(x)无最大值,也无最小值. 其中所有正确结论的序号是 17. (本小题满分 12 分) 设命题 p:函数 f(x)=lg(ax -4x+a)的定义域为 R;命题 q:不等式 2x +x>2+ax,对
2 2



三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤

? x∈(-≦,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值
范围.

18. (本小题满分 12 分) 设函数

f n ( x) ? x n ? bx ? c (n ? N ? , b, c ? R )
c ? ?1 ,证明: f n ( x) 在区间 ? 1 ? 内存在唯一的零点; ? ,1? ?2 ?

(1)设 n ? 2 , b ? 1,

(2) 设 n ? 2 ,若对任意 (3)在(1)的条件下,设

x1 , x2 ? [?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围;

x n 是 f n (x) 在 ? 1 ? 内的零点,判断数列 x 2 , x3 , ? x n ? 的增减性. ? ,1? ?2 ?

19. (本小题满分 12 分) 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C (x) ,当年 ..

产量不足 80 千件时,

C ( x) ?

(万元).当年产量不小于 80 千件时, 1 2 x ? 10 x 3

C ( x) ? 51x ?

(万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的 .. 10000 ? 1450 x

商品能全部售完. (Ⅰ)写出年利润 L(x ) (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; .. (Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? ..

20. (本小题满分 12 分) 设 a 为实数,函数

f ( x) ? e x ? 2 x ? 2a, x ? R.

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 a

? ln 2 ? 1 且 x ? 0 时, e x ? x 2 ? 2ax ? 1.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) = x 2 ? ax ? b , g ( x) = e x (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x) 都过

点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y (Ⅰ)求 a , b , c , d 的值;

? 4x ? 2 .

(Ⅱ)若 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x ) ,求 k 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲. 如图,已知 PE 切⊙ O 于点 E,割线 PBA 交⊙ O 于

A、B 两点,∠APE 的平分线和 AE、BE 分别交于点 C、D.
求证:(Ⅰ) CE

? DE ;

(Ⅱ) CA

CE

?

PE . PB

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程. 在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

C : p sin 2 ? ? 2a cos ? (a ? 0) 过点 P(-2,-4)的直线 ?

为参数)与曲线 C 相交

2 t, ? x ? ?2 ? ? 2 l:? (t ? y ? ?4 ? 2 t ? ? 2

于点 M,N 两点. (Ⅰ)求曲线 C 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN |成等比数列,求实数 a 的值 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? | x ? 1| . (Ⅰ)当 a = 3 时,求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ)若 f ( x) ? 5 ? x 对 ?x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

银川一中 2014 届高三第一次月考数学(理科)试卷参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 1 D A C A D B C D D B C 答案 B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 3 14. -2<k<2 15. ( ??, ?7] ? [1, ??)

16.①③④

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. 解:p:?<0 且 a>0,故 a>2; q:a>2x-2/x+1,对 ? x∈(-∞,-1),上恒成立,增函数(2x-2/x+1)<1 此时 x=-1,故 a≥1 “p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,等价于 p,q 一真一假.故 1≤a≤2 18. 解析:(1) b ? 1, c ? ?1 , n ? 2 时, n

f n ( x) ? x ? x ? 1



,∴ 1 1 1 f n ( x) 在 ? 1 ? 内存在零点. f n ( ) f n (1) ? ( n ? ) ?1 ? 0 ? ,1? 2 2 2 ?2 ?

又当

?1 ? x ? ? ,1? ?2 ?

时,

f n?( x) ? nx n ?1 ? 1 ? 0



f n ( x) 在 ? 1 ? 上是单调递增的,所以 f n ( x) 在 ? 1 ? 内存在唯一零点. ? ,1? ? ,1? ?2 ? ?2 ?
f 2 ( x) ? x 2 ? bx ? c
,即 | b |? 2 时,

(2)当 n ? 2 时, 对任意

x1 , x2 ? [?1,1] 都有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 等价于 f 2 ( x) 在 [?1,1] 上最大值与最小值
| 2 |? 1

之差 M ? 4 ,据此分类讨论如下:(ⅰ)当 b

M ?| f 2 (1) ? f 2 (?1) |? 2 | b |? 4
(ⅱ)当

,与题设矛盾

?1 ? ?

,即 0 ? b ? 2 时, b ?0 2

恒成立 b b M ? f 2 (?1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4 2 2 (ⅲ)当 ,即 ?2 ? b ? 0 时, b 0 ? ?1 2 恒成立. b b M ? f 2 (?1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4 2 2 综上可知, ?2 ? b ? 2 注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用 max{a, b} 表示 a, b 中的较大者.当 ,即 ?2 ? b ? 2 时, b ?1 2

?1 ?

b M ? max{ f 2 (1), f 2 (?1)} ? f 2 (? ) 2 f (?1) ? f 2 (1) | f 2 (?1) ? f 2 (1) | b ? 2 ? ? f 2 (? ) 2 2 2

b2 ? 1 ? c ? | b | ?( ? ? c ) 4
? (1 ?
恒成立 |b| 2 ) ?4 2 设

(3)证法一

xn 是 f n ( x) 在 ? 1 ? 内的唯一零点 (n ? 2) ? ,1? ?2 ?
, ,

n n ?1 f n ( xn ) ? xn ? xn ? 1 f n ?1 ( xn ?1 ) ? xn ?1 ? xn ?1 ? 1 ? 0

?1 ? xn ?1 ? ? ,1? ?2 ?

于是有

n ?1 n f n ( xn ) ? 0 ? f n ?1 ( xn ?1 ) ? xn ?1 ? xn ?1 ? 1 ? xn ?1 ? xn ?1 ? 1 ? f n ( xn ?1 )

又由(1)知

f n ( x) 在 ? 1 ? 上是递增的,故 xn ? xn ?1 (n ? 2) , ? ,1? ?2 ? x2 , x3 ,? , xn ? 是递增数列.

所以,数列 证法二

xn 是 f n ( x) 在 ? 1 ? 内的唯一零点 ? ,1? ?2 ? n ?1 n n f n ?1 ( xn ) f n ?1 (1) ? ( xn ? xn ? 1)(1n ?1 ? 1 ? 1) ? xn ?1 ? xn ? 1 ? xn ? xn ? 1 ? 0 f n ?1 ( x) 的零点 xn ?1 在 ( xn ,1) 内,故 xn ? xn ?1 (n ? 2) , x2 , x3 ,? , xn ? 是递增数列.





所以,数列

19.解: (Ⅰ)因为每件商品售价为 0.05 万元,则 x 千件商品销售额为 0.05×1000 x 万元,依题 .. .. 意得: 当 0 ? x ? 80 时,

1 L( x) ? (0.05 ?1000 x) ? x 2 ? 10 x ? 250 3

.????????????2 分 1 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 3 当 x ? 80 时, 10000 L( x) ? (0.05 ?1000 x) ? 51x ? ? 1450 ? 250 x =

10000 ? ? 1200 ? ? x ? ? x ? ?

.??????????????????4 分

所以

????6 分 ? 1 2 ? x ? 40 x ? 250(0 ? x ? 80), ? 3 ? L( x) ? ? ?1200 ? ? x ? 10000 ?( x ? 80). ? ? ? x ? ? ?

(Ⅱ)当 0 ?

x ? 80 时,

1 L( x) ? ? ( x ? 60) 2 ? 950. 3
??????8 分

此时,当 x ? 60 时, L(x ) 取得最大值 L(60) ? 950 万元.

当 x ? 80 时,

10000 ? ? L( x) ? 1200 ? ? x ? ? x ? ? ? 1200 ? 2 x ? 10000 ? 1200 ? 200 ? 1000 x

10000 时,即 x ? 100 时 L(x) 取得最大值 1000 万元.??????11 分 x ? 950 ? 1000
此时,当

x?

所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元. ????????????????????????????????????12 分 20. (1)解:由 知, ' . x x

f ( x ) ? e ? 2 x ? 2a, x ? R

f ( x) ? e ? 2, x ? R



f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 .于是,当 x 变化时, f ?? x ? 和 f ? x ? 的变化情况如下表: x (??, ln 2) (ln 2, ??) ln 2 f ' ( x) f ( x)

?
单调递减

0

+ 单调递增

2 ? 2 ln 2 ? 2a

故 f ( x) 的单调递减区间是 ( ??, ln 2) ,单调递增区间是 (ln 2, ??) . f ( x) 在 x ? ln 2 处取得 极小值,极小值为 f (ln 2) ? 2 ? 2 ln 2 ? 2a . (2)证明:设

g ( x) ? e x ? x 2 ? 2ax ? 1, x ? R ,于是 g ?( x) ? e x ? 2 x ? 2a, x ? R . g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 R 内单调递增.
x 2 e x ? x 2 ? 2ax ? 1 ? 0, 故 e ? x ? 2ax ? 1.

由(1)知,对任意 x ? R ,都有 于是,当 a

? ln 2 ? 1 时,对任意 x ? (0, ??) ,都有 g ( x) ? g (0) ,而 g (0) ? 0 ,

从而对任意 x ? (0, ??) ,都有 g ( x) ? 0 ,即 21. (Ⅰ)由已知得 而

f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 ,
f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 , g ( x) ? 2e x ( x ? 1) ,

f ?( x) = 2x ? b , g ?( x) = e x (cx ? d ? c) ,∴ a =4, b =2, c =2, d =2; f ( x) = 2ke x ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ? 2 ( x ? ?2 ),

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

设函数 F ( x) = kg ( x) ?

F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ? 1) , 有题设可得 F (0) ≥0,即 k ? 1 ,
令 F ?( x) =0 得, (1)若 1 ? k 即 F ( x) 在

x1 = ? ln k , x2 =-2,

? e 2 ,则-2< x1 ≤0,∴当 x ? (?2, x1 ) 时, F ( x) <0,当 x ? ( x1 , ??) 时, F ( x) >0,
(?2, x1 ) 单调递减,在 ( x1 , ??) 单调递增,故 F ( x) 在 x = x1 取最小值 F ( x1 ) ,而

F ( x1 ) = 2 x1 ? 2 ? x12 ? 4 x1 ? 2 = ? x1 ( x1 ? 2) ≥0,
∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x ) 恒成立, (2)若 k

? e 2 ,则 F ?( x) = 2e 2 ( x ? 2)(e x ? e 2 ) ,

∴当 x ≥-2 时, F ?( x) ≥0,∴ F ( x) 在(-2,+∞)单调递增,而 F ( ?2) =0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x ) 恒成立, (3)若 k

? e 2 ,则 F (?2) = ?2ke ?2 ? 2 = ?2e ?2 (k ? e 2 ) <0,

∴当 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x ) 不可能恒成立, 综上所述, k 的取值范围为[1, e 2 ]. 22. (Ⅰ)证明:? PE 切⊙ O 于点 E ,??A ? ?BEP

? PC 平分??A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE

? ?ECD ? ?A ? ?CPA , ?EDC ? ?BEP ? ?DPE , ??ECD ? ?EDC ,? EC ? ED
(Ⅱ)证明:? ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE

??BPD ? ?EPC ,??PBD ∽ ?PEC ,
同理 ?PDE ∽ ?PCA ,

?

PE PC ? PB PD

PC CA ? PD DE PE CA CA PE ? ? ? DE ? CE , ? ? PB DE CE PB ?

23.

24.解:(Ⅰ) a ①当

? 3 时,即求解 2 x ? 3 ? x ? 1 ? 2

3 时, 2 x ? 3 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 2 2 ②当 3 时, 3 ? 2 x ? x ? 1 ? 2 ? 2 ? x ? 2 ? x ? 0 1? x ? 2 ③当 x ? 1 时, 2 3 ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 3x ? 2 ? x ? 3 ? 综上,解集为 ? 2 ? ? 5? ? x x ? 或x ? 2 ? 3 ? ? x?
(Ⅱ)即 令

y
4

2x ? a ? 5 ? x ? x ?1

恒成立 则函数图象为

? 6 ? 2 x, x ? 1 g ( x) ? 5 ? x ? x ? 1 ? ? ? 4, x ? 1 ,? a ? 6 ?10? a ? ?3 2

o

3

a 2

x


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