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数列求和方法与技巧


数列求和
1.求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 n?a1+an? n?n-1? Sn= =na1+ d. 2 2 ②等比数列的前 n 项和公式 (Ⅰ)当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq (Ⅱ)当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和, 即等比数列求和公式 的推导过程的推广. (6)并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an=(-1)nf(n)类型, 可采用两项合并求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 2.常见的裂项公式 (1)

1 1 1 1 1 1 1 = - ; ? ( ? ),,, n n?n+1? n+1 n? n ? k ? k n n ? k

1 ? 1 1 1 - (2) = ? ; ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1? (3) 1 n+ n+1 = n+1- n.

? 1 ? 1. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a5=5, S5=15, 则数列?a a ?的前 100 项和为( ? n n+1?

)

100 99 A. B. 101 101 .

99 101 C. D. 100 100

2.数列{an}的通项公式为 an=(-1)n 1· (4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等于(


)

A.200 B.-200 C.400 D.-400 3.(2014· 广东)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则 ln a1+ln a2+… +ln a20=________ 4.3· 2 1+4· 2 2+5· 2 3+…+(n+2)· 2 n=________.
- - - -

. 题型一 分组转化法求和 例 1 已知数列{an}的通项公式是 an=2· 3n 1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3, 求其前 n 项和


Sn . (1) 数列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1,则数列{an}前 12 项和等于( A.76 B. 78 C.80 D.82 )

对应补充 1:数列{an}中,an+1=(-1)n+1an+n,则数列{an}前 100 项和等于:2 5 5 0

2.在数列{an}中,a1=1,an+2+(-1)nan=1.记 Sn 是数列{an}的前 n 项和, 则 S60=________. (分奇偶分组求和)
(2)已知数列{an}的前 n 项是 3+2-1,6+4-1,9+8-1,12+16-1,…,则数列{an}的通项公 式 an=________,其前 n 项和 Sn=________. 题型二 错位相减法求和 例 2 已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(4-an)qn 1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.


1 已知首项为 的等比数列{an}是递减数列,其前 n 项和为 Sn,且 S1+a1,S2+a2, 2 S3+a3 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; Tn+2 1 (2)若 bn=an· log2an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求满足不等式 ≥ 的最大 n 值. n+2 16 题型三 裂项相消法求和 例3 (2014· 山东)已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(-1)n ) 1? ? 在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S2 n=an Sn-2 . ? ? (1)求 Sn 的表达式;
-1

4n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1

Sn (2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1 , 1 典例:(12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=- n2+kn(其中 k∈N*),且 Sn 的最大值为 8. 2 (1)确定常数 k,并求 an;
?9-2an? (2)求数列? n ?的前 n 项和 Tn. ? 2 ?

专项基础训练 1 1 1 1 1 1.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,…,(2n-1)+ n,…的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 1 A.n2+1- n 2 C.n2+1- 1 - 2n 1 1 B.2n2-n+1- n 2 1 D.n2-n+1- n 2 ) )

2.已知函数 f(n)=n2cos nπ,且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+…+a100 等于( A.0 B.-100 C.100 D.10 200

3.数列 a1+2,…,ak+2k,…,a10+20 共有十项,且其和为 240,则 a1+…+ak+…+a10 的值为( )

A.31 B.120 C.130 D.185 4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-6n,则{|an|}的前 n 项和 Tn 等于( A.6n-n2
?6n-n2?1≤n≤3?, ? C.? 2 ?n -6n+18?n>3? ?

)

B.n2-6n+18
?6n-n2?1≤n≤3?, ? D.? 2 ?n -6n?n>3? ?

5.数列 an=

1 9 ,其前 n 项之和为 ,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0 10 n?n+1? )

在 y 轴上的截距为(

A.-10 B.-9 C.10 D.9 1 6. 数列{an}满足 an+an+1= (n∈N*), 且 a1=1, Sn 是数列{an}的前 n 项和, 则 S21=________. 2 补充:7,已知数列{an}满足

a ? 2, a
1

n?1

? a n ? (?1)n ,则 a100 ?

?-1?n 1 1 7.已知数列{an}满足 an+an+1= (n∈N*),a1=- ,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S2 2 2


013=________.

4x 1 2 2 014 8.设 f(x)= x ,若 S=f( )+f( )+…+f( ),则 S=________. 2 015 2 015 2 015 4 +2 1 1 9.已知数列{an}是首项为 a1= ,公比为 q= 的等比数列,设 bn+2= 3log 1 an (n∈N*),数 4 4
4

列{cn}满足 cn=an· bn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Sn.
2 10.(2013· 江西)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn -(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.

(1)求数列{an}的通项公式 an; n+1 5 (2)令 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明:对于任意的 n∈N*,都有 Tn< . 64 ?n+2?2a2 n 11.已知数列 2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,…,这个数列的特点是从第二项起,每一 项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2 014 项之和 S2 014 等于( A.2 008 B.2 010 C.1 D.0 12.1-4+9-16+…+(-1)n 1n2 等于(


)

)

n?n+1? A. 2 C.(-1)n
+1

n?n+1? B.- 2 n?n+1? 2 D.以上答案均不对

1 13.(2013· 湖南)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1)nan- n,n∈N*,则: 2 (1)a3=________; (2)S1+S2+…+S100=________. 14.已知数列{an}的前 n 项和 Sn,满足:Sn=2an-2n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项 an; bn 1 (2)若数列{bn}满足 bn=log2(an+2),Tn 为数列{ }的前 n 项和,求证:Tn≥ . 2 an+2 15.直线 ln:y=x- 2n与圆 Cn:x2+y2=2an+n 交于不同的两点 An,Bn,n∈N*.数列{an} 1 满足:a1=1,an+1= |AnBn|2. 4 (1)求数列{an}的通项公式;
? ?2n-1?n为奇数?, (2)若 bn=? 求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ?an?n为偶数?, ?


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