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龙泉中学2012年高二(上)数学周练(4)


龙泉中学 2012 年高二(上)数学周练(4)
命题人 班级: 刘灵力 学号: 审题人 王晓敏 姓名:

A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3


D.

4 5

9.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( A. 3 B. 4 C. ? D. ? 10.设 m, n ? R ,若直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆

一.选择题 1.从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机, 对其销售额进行统 计,统计数据用茎叶图表示(如图所示) ,设甲乙两组数据的平均数 分别为 x甲 , x乙 ,中位数分别为 m甲 , m乙 ,则( A. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 C. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 )

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1相切,则 m+n 的取值范围是(
A. [1 ? 3,1 ? 3] B. (??,1 ? 3] ? [1 ? 3,??) C. [2 ? 2 2,2 ? 2 2 ]



B. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 D. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙

2.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,?,960,分组 后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入区间 ?1, 450? 的人做 问卷 A ,编号落入区间 ? 451,750? 的人做问卷 B ,其余的人做问卷 C .则抽到的人中,做问卷 B 的 人数为( ) A. 7 B.9 C.10 D.15 3.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据 (xi,yi) (i=1,2,?,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 ? y =0.85x-85.71,则下列结论中不正 确的是( ) B.回归直线过样本点的中心( x , y )

D. (??,2 ? 2 2 ] ? [2 ? 2 2 ,??) 二.填空题 第 9 题图 11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择 的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示). 12.一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为_________m3.

6
3 2 正视图

3
1

3 2 侧视图

A.y 与 x 具有正的线性相关关系

3
俯视图

C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 4.一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( A. 3×3! B. 3×(3!)3 C. (3!)4 D . 9! 2012 5.设 a ? Z ,且 0 ? a ? 13 ,若 51 ? a 能被 13 整除,则 a ? ( ) A.0 B.1 C.11 D.12 6. ( x ? 2)(
2



D. ? 7. 6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两 位同学互赠一份纪念品,已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收到 4 份纪念品的同学人数为 ( ) A. 1 或 3 B. 1 或 4 C. 2 或 3 D. 2 或 4 8.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形 面积小于 32cm2 的概率为( )

1 ? 1)5 的展开式的常数项是( ) 2 x A. ? 3 B. ? 2 C. ?

第 12 题图 第 14 题图 13.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个不同场馆服务, 不同的分配方案有 种(用数字作答). 14.从某小学随机抽取 100 名同学, 将他们的身高 (单位: 厘米) 数据绘制成频率分布直方图 (如图) 。 由图中数据可知 a ? .若要从身高在[ 120 , 130) ,[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中, 用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在 [140 , 150] 内的学生中选取的人数应 为 . 15.记 [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数,例如, [2] ? 2 , [1.5] ? 1 , [?0.3] ? ?1.设 a 为正整数,数

xn ? [
列 {xn } 满足 x1 ? a , xn ?1 ? [

a ] xn

2

](n ? N ? ) ,现有下列命题:

①当 a ? 5 时,数列 {xn } 的前 3 项依次为 5,3,2; ②对数列 {xn } 都存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 xn ? xk ;

③当 n ? 1 时, xn ? a ?1 ; ④对某个正整数 k ,若 xk ?1 ? xk ,则 xk ? [ a ] . 其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号) 三.解答题 16. (12 分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和 B 在任意时 刻发生故障的概率分别为

AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点. (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值.

1 和p. 10

49 ,求 p 的值; 50 (Ⅱ)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? ,求 ? 的概率分布列.
(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
2 20. (13 分) 函数 f ( x) ? 6cos

?x
2

? 3 sin ? x ? 3( ? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, A 为图象

的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形. (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ? 17. (12 分)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如下表: 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9. 求: 降水量 X 工期延误天数 Y
X ? 300

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 3 3 5

300 ? X ? 700

700 ? X ? 900

X ? 900

0

2

6

10 21. ( 14 分) 设数 列 ?an ? 的前 n 项 和 为 Sn , 对任 意的正整 数 n , 都有 an ? 5Sn ? 1 成 立 ,记

(Ⅰ)工期延误天数 Y 的分布列; (Ⅱ)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率.

bn ?

(I)求数列 ?bn ? 的通项公式; 18.(12 分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投第三次,某同 学在 A 处的命中率 q 1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q 2 ,该同学选择先在 A 处投一球,以后都在 B 处 投,用 ? 表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为: 0 2 3 4 ? p 0.03 P1 P2 P3 5 P4
* (II) 记 cn ? b2n ? b 设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 求证: 对任意正整数 n 都有 Tn ? 2 n 1 ? (n ? N ) ,

4 ? an (n ? N * ) . 1 ? an

(III) 设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn .是否存在正整数 k , 使 Rk ? 4k 成立, 若存在, 求出 k 的最小值, 若不存在,说明理由.

3 ; 2

(1)求 q 2 的值; (2)求随机变量 ? 的分布列; (3) 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小.

19. (12 分) 如图, 在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 底面 ABCD 为等腰梯形, AB//CD, AB=4, BC=CD=2, D1 A1 C1 B1

龙泉中学2012年高二数学周练(4)参考答案
1 B 11. 2 C 3 D 4 C 13. 1080 5 D 6 D 14. 0.03 3 7 D 8 C 15.①③④ 9 B 10 D

(2)当 ? =2 时, P1= P( ABB ? ABB) ? P( ABB) ? P( ABB)

? P( A) P( B) P( B) ? P( A) P( B) P( B) =0.75 q 2 ( 1 ? q2 )×2=1.5 q 2 ( 1 ? q2 )=0.24
当 ? =3 时, P2 = P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.25(1 ? q2 )2 =0.01, 当 ? =4 时, P3= P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75q22 =0.48, 当 ? =5 时, P4= P( ABB ? AB) ? P( ABB) ? P( AB) 所以随机变量 ? 的分布列为 0 2 ? p 0.03

2 3

12. 18+9 ?

16.解: (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C ,则

1 49 1 ?p? ? p? . 10 50 5 1 0 1 3 (2)由题意, p (? ? 0) ? C 3 ( ) ? ; 10 1000 9 27 1 1 2 p(? ? 1) ? C 3 ( ) (1 ? ) ? ; 10 10 1000 1 1 243 p (? ? 2) ? C 32 ( )(1 ? ) 2 ? ; 10 10 1000 1 729 3 p(? ? 3) ? C3 (1 ? ) 3 ? . 10 1000 1 ? p(C ) ? 1 ?
所以,随机变量 ? 的分布列为:

? P( A)P(B)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.25q2 (1 ? q2 ) ? 0.25q2 =0.24
3 0.01 4 0.48 5 0.24

0.24

随机变量 ? 的数学期望 E? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 (3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P( BBB ? BBB ? BB)

? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) ? 2(1 ? q2 )q22 ? q22 ? 0.896 ;
该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大. D1 C1 19.(1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1, 连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, A1 F1 B1 // 所以 CD = A1F1,A1F1CD 为平行四边形,所以 CF1//A1D, P 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1//A1D, D E1 C 所以 CF1//EE1,又因为 EE1 ? 平面 FCC 1 , CF1 ? 平面 FCC 1 , O E 所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . A B F (2)因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1⊥平面 ABCD,所以 CC1⊥BO,所以 OB⊥平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一个平面角, 在△BCF 为正

?
p

0

1

2

3

1 1000

27 1000

243 1000

729 1000

17.(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有: P( X ? 300) ? 0.3, P(300 ? X ? 700) ? P( X ? 700) ? P( X ? 300) ? 0.7 ? 0.3 ? 0.4 , P(700 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 700) ? 0.9 ? 0.7 ? 0.2 . P( X ? 900) ? 1 ? P( X ? 900) ? 1 ? 0.9 ? 0.1 . 所以 Y 的分布列为:

Y
P

0 0.3

2 0.4

6 0.2

10 0.1

于是, E (Y ) ? 0 ? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 6 ? 0.2 ? 10 ? 0.1 ? 3 ;

D(Y ) ? (0 ? 3)2 ? 0.3 ? (2 ? 3)2 ? 0.4 ? (6 ? 3)2 ? 0.2 ? (10 ? 3)2 ? 0.1 ? 9.8 . 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8 . (Ⅱ)由概率的加法公式, P( X ? 300) ? 1 ? P( X ? 300) ? 0.7, 又 P(300 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 300) ? 0.9 ? 0.3 ? 0.6 . P(300 ? X ? 900) 0.6 6 ? ? . 由条件概率,得 P(Y ? 6 X ? 300) ? P( X ? 900 X ? 300) ? P( X ? 300) 0.7 7 6 故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是 . 7 18. 解 : ( 1 ) 设该同学 在 A 处 投中为事 件 A, 在 B 处 投中为事 件 B, 则 事件 A,B 相 互独立 , 且
P(A)=0.25, P( A) ? 0.75 , P(B)= q 2 , P(B) ? 1 ? q2 . 根据分布列知: ? =0 时 P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75(1 ? q2 )2 =0.03,所以 1 ? q2 ? 0.2 ,q 2 =0.8.

OP OF 1 2 ∴ OP ? , ? ?2 ? CC1 C1 F 2 22 ? 22 2 OP 7 1 14 2 2 ? 2 ? 在 Rt△ OPF 中 , BP ? OP ? OB ? , cos ?OPB ? , 所以二面角 ?3 ? BP 7 2 2 14 2 7 B-FC 1 -C 的余弦值为 . 7 ? 20.解: (1)由已知可得: f ( x) ? 3 cos ?x ? 3sian ?x ? 2 3 sin(?x ? ) ,三角形的高为 2 3 , 3 ? 从而 BC ? 4 ,所以函数 f ( x) 的周期为 8, ? ? ,函数 f ( x) 的值域为 [?2 3,2 3] . 4 8 3 (2)因为 f ( x0 ) ? ,由(1)有: 5
三角形中, OB ? 3 ,在 Rt△CC1F 中, △OPF∽△CC1F,∵

? ? 4 ? ? 8 3 ,即: sin( x0 ? ) ? . f ( x0 ) ? 2 3 sin( x0 ? ) ? 4 3 5 4 3 5 10 2 ? ? ? ? ? ? 4 3 由 x0 ? ( , ) ,知 x0 ? ? (? , ) ,所以: cos( x0 ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? . 3 3 4 3 2 2 4 3 5 5 ? ? ? 2 4 3 7 6 故: f ( x0 ? 1) ? 2 3 sin( x0 ? ? ) ? 2 3 ? . ( ? )? 4 4 3 2 5 5 5 1 21.解: (I)当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 4 又? an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1 a 1 ? an?1 ? an ? 5an?1 ,即 n?1 ? ? an 4 1 1 ∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4 1 4 ? (? ) n 1 n 4 (n ? N * ) . ∴ an ? ( ? ) , bn ? 1 4 1 ? (? ) n 4 5 (II)由 bn ? 4 ? 得: (?4) n ?1
5 5 15 ?16n 15 ?16n 15 ?16n 15 又 cn ? b2 n?1 ? b2 n ? 2n ? ? ? ? ? 4 ? 1 42n?1 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4) (16n ) 2 ? 3 ?16n ? 4 (16n ) 2 16n 13 4 b1 ? 3, b2 ? ,? c2 ? , 3 3 3 当 n ? 1 时, T1 ? , 2 当 n ? 2 时, 1 1 [1 ? ( ) n ? 2 ] 2 4 1 1 1 4 16 Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 25 ? 16 1 3 16 16 16 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? 1 3 48 2 1? 16 (III)不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。 1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? 证明:由(I)知 bn ? 1 (?4) n ?1 1 ? (? ) n 4

? b2k ?1 ? b2 k ? 8 ?

5 5 20 15 ?16k ? 40 ? 8 ? ? ? 8 ? ? 8. (?4)2 k ?1 ? 1 (?4)2 k ? 1 16k ? 1 16k ? 4 (16k ?1)(16k ? 4) ∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ? ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?1 ? b2m ) ? 8m ? 4n 5 ?
.

当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N ? ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 ? 8(m ?1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ∴对于一切的正整数 n,都有 Rn ? 4k ∴不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立.


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