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2003年高考天津卷理科数学试题及答案


2003 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工农医类) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. A.

1 ? 3i ? ( 3 ? i) 2
1 3 ? i 4 4
B. ?

1 3 1 3 1 3 C. ? D. ? ? ? i i i 4 4 2 2 2 2 ? 4 2.已知 x ? ( ? , 0) , cos x ? ,则 tan 2x ? 2 5 7 24 7 24 A. B. ? C. D. ? 24 7 24 7 ?x ?2 ? 1( x ? 0) ? 3.设函数 f ( x) ? ? 1 ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是 2 ? x ( x ? 0) ? A. (?1 , 1) B. (?1 , ? ?) C. (?? , ? 2) ? (0 , ? ?) D. (?? , ? 1) ? (1 , ? ?) 4. O 是 平 面 上 一 定 点 , A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , 动 点 P 满 足

??? ? ???? ??? ??? ? ? AB AC ? OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? )(? ? [0 , ? ?)) ,则 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的 | AB | | AC |
B.内心 C.重心 D.垂心

A.外心 5.函数 y ? ln A. y ?

x ?1 , x ? (1 , ? ?) 的反函数为 x ?1

ex ?1 ex ? 1 , x ? (0 , ? ? ) B. y ? x , x ? (0 , ? ? ) ex ? 1 e ?1 ex ?1 ex ? 1 C. y ? x , x ? (?? , 0) D. y ? x , x ? (?? , 0) e ?1 e ?1 6.棱长为 a 的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为 a3 a3 a3 a3 A. B. C. D. 3 4 6 12 2 7.设 a ? 0 , f ( x) ? ax ? bx ? c ,曲线 y ? f (x) 在点 P (x0 , f ( x0 )) 处切处的倾斜角
的取值范围为 [0 , A. [0 , ]
2

?
4

] ,则 P 到曲线 y ? f (x) 对称轴距离的取值范围为
B. [0 ,
2

1 a

1 ] 2a

C. [0 , |

b |] 2a

D. [0 , |

b ?1 |] 2a

8.已知方程 ( x ? 2 x ? m)(x ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成的一个首项为 则 | m ? n |?

1 的等差数列, 4

A.1

B.

3 4

C.

1 2

D.

3 8

9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) , 直线 y ? x ? 1 与其相交于 M 、N 两

2 ,则此双曲线的方程是 3 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 A. B. 3 4 4 3 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 C. D. 5 2 2 5 10.已知长方形的四个顶点 A(0 ,0) , B (2 ,0) ,C (2 ,1) 和 D(0 ,1) .一质点从 AB 的 中点 P0 沿与 AB 夹角为 ? 的方向射到 BC 上的点 P1 后, 依次反射到 CD 、DA 和 AB 上的 点 P2 , P3 和 P4 (入射角等于反射角).设 P4 的坐标为 (x4 , 0) ,若 1 ? x4 ? 2 ,则 tan?
点, MN 中点的横坐标为 ? 的取值范围是

1 2 2 1 2 2 C. ( , ) D. ( , ) 3 3 5 2 5 3 2 2 2 2 C ? C3 ? C 4 ? ? ? C n 11. lim 2 1 ? n?? n(C ? C 1 ? C 1 ? ? ? C 1 ) 2 3 4 n 1 1 A.3 B. C. D.6 3 6 12.一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为 A. 3? B. 4? C. 3 3? D. 6?
A. ( ,1) B. ( , ) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在题中横线上. 13. ( x 2 ?

1 3

1 9 ) 展开式中 x 9 的系数是________________. 2x

14.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1200 辆,6000 辆和 2000 辆.为检验该公司 的产品质量,现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取 ______、__________、__________辆. 15.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如图).现要栽种 4 种不同颜 色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有_____. (以数字作答)

16.下列五个正方体图形中, l 是正方体的一条对角线,点 M 、 N 、 P 分别为其所在棱 的中点,能得出 l ? 面 MNP 的图形的序号是______.(写出所有符合要求的图形序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) . ⑴求函数 f (x) 的最小正周期和最大值; ⑵在给出的直角坐标系中,画出函数 y ? f (x) 在区间 [?

?
2



?
2

] 上的图象.

18.(本小题满分 12 分) ? 如图, 直三棱柱 ABC ? A B1C1 中, 底面是等腰直角三角形, ACB ? 90? , 侧棱 AA1 ? 2 , 1

D、 E 分别是 CC1 与 A1 B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是 ?ABD 的重心 G .
⑴求 A1 B 与平面 ABD 所成角的正弦值; ⑵求点 A1 到平面 AED 的距离.

19.(本小题满分 12 分) 设 a ? 0 ,求函数 f ( x) ? x ? ln( x ? a)( x ? (0 , ?? ) 的单调区间. 20.(本小题满分 12 分) A 、 B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员, A 队队员是 A1 , A2 , A3 , B 队队员是 B1 , B2 , B3 ,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负概率如下: 对阵队员

A1 对 B1

A 队队员胜的概率 2 3

A 队队员负的概率 1 3

A2 对 B2 A3 对 B3

2 5 2 5

3 5 3 5

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队、 B 队最后所得总分分 别为 ? 、 ? . ⑴求 ? 、 ? 的概率分布; ⑵求 E? , E? . 21.(本小题满分 14 分)

已知常数 a ? 0 ,向量 c ? (0,a) , i ? (1 , 0) ,经过原点 O 以 c ? ? i 为方向向量的直 线与经过定点 A(0,a) 以 i ? 2? c 为方向向量的直线相交于点 P ,其中 ? ? R .试问:是 否存在两个定点 E、 F ,使得 | PE | ? | PF | 为定值.若存在,求出 E、 F 的坐标;若不存 在,说明理由. 22.(本小题满分 14 分) 设 a 0 为常数,且 an ? 3n?1 ? 2an?1 (n ? N ) .

?

?

?

?

?

?

1 n [3 ? (?1) n ?1 ? 2n ] ? (?1) n ? 2n a0 ; 5 ⑵假设对任意 n ? 1有 a n ? a n?1 ,求 a 0 的取值范围.
⑴证明对任意 n ? 1 , an ?

2003 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学试题(理工农医类)参考解答 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算 每小题 5 分,满分 60 分 1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 4 分,满分 16 分
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

13. ?

21 2

14.6,30,10

15.120

16.①④⑤

三、解答题 17.本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分 12 分.
2 解: (1) f ( x) ? 2 sin x ? 2 sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x

? cos 2 x sin ) 4 4 所以函数 f (x) 的最小正周期为 ? ,最大值为 1? 2 .

? 1 ? 2 (sin 2 x cos

?

?

? 1 ? 2 sin(2 x ? ) 4

?

(2)由(1)知

x y

?

3? ? ? 3? 5? ? 8 8 8 8 8 1 1? 2 1 1? 2 1

故函数 y ? f (x) 在区间 [?

? ?

, ] 上的图象是 2 2

18.本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空 间想象能力和推理运算能力. 满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)解:连结 BG,则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影,即∠EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 设 F 为 AB 中点,连结 EF、FC,
C1 A1 D E B1

K
A

C G B

F
? D, E分别是CC1 , A1 B的中点, 又DC ? 平面ABC,? CDEF为矩形 连结DE, G是?ADB的重心,? G ? DF.在直角三角形EFD中 1 EF 2 ? FG ? FD ? FD 2 ,? EF ? 1,? FD ? 3.?? (4分) 3 1? 2 6 于是ED ? 2 , EG ? ? . 3 3 ? FC ? CD ? 2 ,? AB ? 2 2 , A1 B ? 2 3 , EB ? 3. ? sin ?EBG ? EG 6 1 2 ? ? ? . EB 3 3 3 2 . 3

? A1 B与平面ABD所成的角是arcsin

(Ⅱ)连结 A1D,有 VA1 ? AED ? VD? AA1E

? ED ? AB, ED ? EF, 又EF ? AB ? F ,
? ED ? 平面A1 AB ,

设 A1 到平面 AED 的距离为 h,
? A1 K ? 2 6. 3

则 S ?AED ? h ? S ?A1 AB ? ED

故 A1 到平面 AED 的距离为

2 6 . 3

19.本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能 力. 满分 12 分. 1 1 解: f ?( x) ? ? ( x ? 0) . 2 x x?a

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 . f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 2 2 (i)当 a ? 1 时,对所有 x ? 0 ,有 x ? (2a ? 4) ? a ? 0 . 即 f ?( x) ? 0 ,此时 f (x) 在 (0,??) 内单调递增.
当 a ? 0, x ? 0 时 (ii)当 a ? 1 时,对 x ? 1 ,有 x ? (2a ? 4) x ? a ? 0 ,
2 2

即 f ?( x) ? 0 ,此时 f (x) 在(0,1)内单调递增,又知函数 f (x) 在 x=1 处连续,因 此, 函数 f (x) 在(0,+ ? )内单调递增 (iii)当 0 ? a ? 1 时,令 f ?( x) ? 0 ,即 x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 . 解得 x ? 2 ? a ? 2 1 ? a , 或x ? 2 ? a ? 2 1 ? a . 因此, 函数 f (x) 在区间 (0,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递增, 在区间 (2 ? a ? 2 1 ? a ,??) 内也单调递增. 令 f ?( x) ? 0,即x ? (2a ? 4) x ? a ? 0 ,
2 2

解得 2 ? a ? 2 1 ? a ? x ? 2 ? a ? 2 1 ? a . 因此,函数 f (x) 在区间 2 ? a - 2 1 ? a ,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递减. ( 20.本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际 问题的能力(满分 12 分). 解: (1)ξ 、η 的可能取值分别为 3,2,1,0. 2 2 2 8 P(? ? 3) ? ? ? ? 3 5 5 75 2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75
P(? ? 1) ? 2 3 3 1 2 3 1 3 2 2, ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5 1 3 3 3 P(? ? 0) ? ? ? ? 3 5 5 25

1 1 1 6, S ?A AB ? A1 A ? AB ? 2 , S ?AED ? AE ? ED ? 2 1 4 2 2 2? 2 2 6 . h? ? 3 6 2 解法二: (1)连结 BG,则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影,即∠A1BG 是 A1B 与平面 ABD 所成 的角. 如图所示建立坐标系,坐标原点为 O,设 CA=2a, 则 A(2a,0,0) ,B(0,2a,0) ,D(0,0,1) A1(2a,0,2)
又 S ?B1 AE ? E(a,a,1) G(

2a 2a 1 , , ). 3 3 3

a a 2 ? GE ? ( , , ), BD ? (0,?2a,1) , 3 3 3

2 2 ? GE ? BD ? ? a 2 ? ? 0 ,解得 a=1. 3 3 2 4 1 ? BA1 ? (2,?2,2), BG ? ( ,? , ), 3 3 3
? cos?A1 BG ? BA1 ? BG ? | BA1 || BG | 14 / 3 7. ? 1 3 2 3? 21 3

A1B 与平面 ABD 所成角是 arccos

7 3

z C1 A1 D E B1

K
A x

C G B

. (2)由(1)有 A(2,0,0) 1(2,0,2) ,A ,E(1,1,1) ,D(0,0,1)

F

y

AE ? ED ? (?1,1,1) ? (?1,?1 0) 0, 1 ? ED ? (0,0,2) ? (?1,?1,0) ? 0 , ? AA ?ED ? 平面 AA1E,又 ED ? 平面 AED. ∴平面 AED⊥平面 AA1E,又面 AED ? 面 AA1E=AE,
∴点 A 在平面 AED 的射影 K 在 AE 上. 设 AK ? ? AE , 则 A1 K ? A1 A ? AK ? (??, ?, ? ? 2) 由 A1 K ? AE ? 0 ,即 ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 , 解得 ? ?

2 . 3

2 2 4 ? A1 K ? (? , ,? ) 3 3 3
8 28 , P(η =1)=P(ξ =2)= 75 75 2 3 P(η =2)=P(ξ =1)= , P(η =3)=P(ξ =0)= . 5 25
根据题意知ξ +η =3,所以 P(η =0)=P(ξ =3)= ( 2 ) E? ? 3 ?

8 28 2 3 22 ; ? 2? ? 1? ? 0 ? ? 75 75 5 25 15

因 为 ξ + η =3 , 所 以

E? ? 3 ? E? ?

23 . 15

21.本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方 程判定曲线的性质,曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力,满 分 12 分. 解:根据题设条件,首先求出点 P 坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得 点 P 到两定点距离的和为定值. ∵i=(1,0) ,c=(0,a) ∴c+λ i=(λ ,a) i-2λ c=(1,-2λ a). , , 因此,直线 OP 和 AP 的方程分别为 ?y ? ax 和 y ? a ? ?2?ax . 消去参数λ ,得点 P ( x, y ) 的坐标满足方程 y( y ? a) ? ?2a 2 x 2 . 整理得
x2 ? 1 8 a ( y ? )2 2 ? 1. ……① a 2 ( ) 2

因为 a ? 0, 所以得:

(i)当 a ?

2 时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点 E 和 F; 2

(ii)当 0 ? a ? 2 时,方程①表示椭圆,焦点 E ( 1 1 ? a 2 , a ) 和 F (? 1 1 ? a 2 , a ) 为 2 2 2 2 2 2 2 合乎题意的两个定点; ( iii ) 当 a ? 2 时 , 方 程 ① 也 表 示 椭 圆 , 焦 点 E (0, 1 (a ? a 2 ? 1 )) 和 2 2 2 1 1 F (0, (a ? a 2 ? )) 为合乎题意的两个定点. 2 2 22.本小题主要考查数列、等比数列的概念,考查数学归纳法,考查灵活运用数学知识 分析问题和解决问题的能力,满分 14 分. (1)证法一: (i)当 n=1 时,由已知 a1=1-2a0,等式成立; (ii)假设当 n=k(k≥1)等式成立,则 a k ? 那么 a k ?1 ? 3 ? 2a k ? 3 ?
k k

1 k [3 ? (?1) k ?1 2 k ] ? (?1) k 2a 0 , 5

2 k [3 ? (?1) k ?1 2 k ] ? (?1) k 2 k ?1 a 0 5

1 ? [3 k ?1 ? (?1) k 2 k ?1 ] ? (?1) k ?1 2 k ?1 a 0 . 5
也就是说,当 n=k+1 时,等式也成立. 根据(i)和(ii) ,可知等式对任何 n∈N, 成立. 证法二:如果设 an ? 3
n?1

? 2(an?1 ? a3n?1 ),

用 an ? 3

n ?1

? 2an?1 代入,可解出

1 a? . 5
n 所以 ?an ? 3 ? 是公比为-2,首项为 a1 ? 3 的等比数列. ? ? 5 5? ? n 3 3 3 n ? (?1) n ?1 2 n ? an ? ? (1 ? 2a0 ? )(?2) n ?1 (n ? N ). 即 a n ? ? (?1) n 2 n a0 . 5 5 5

2 ? 3n?1 ? (?1) n?1 3 ? 2 n?1 ? (?1) n 3 ? 2 n?1 a0 . 5 3 n?2 n ?1 ? an ? an?1 (n ? N ) 等价于 (?1) (5a0 ? 1) ? ( ) (n ? N ). ……① 2 3 (i)当 n=2k-1,k=1,2,…时,①式即为 (?1) 2 k ? 2 (5a 0 ? 1) ? ( ) 2 k ?3 2 1 3 2k ?3 1 ……② 即为 a0 ? ( ) ? . 5 2 5 ②式对 k=1,2,…都成立,有 a0 ? 1 ? ( 3 ) ?1 ? 1 ? 1 .
(2)解法一:由 a n 通项公式

a n ? a n?1 ?

5

2

5

3

(ii)当 n=2k,k=1,2,…时,①式即为 即为

3 (?1) 2 k ?1 (5a 0 ? 1) ? ( ) 2 k ? 2 . 2

1 3 1 ③式对 k=1,2,…都成立,有 a0 ? ? ? ( ) 2k ?2 ? . ……③ 5 2 5 1 3 1 1 a 0 ? ? ? ( ) 2?1? 2 ? ? 0. 综上,①式对任意 n∈N*,成立,有 0 ?a 0 ? . 5 2 5 3 1 故 a0 的取值范围为 (0, ). 3 解法二:如果 a n ? a n?1 (n∈N*)成立,特别取 n=1,2 有 a1 ? a0 ? 1 ? 3a0 ? 0. 1 1 a2 ? a1 ? 6a0 ? 0. 因此 0 ? a0 ? . 下面证明当 0 ? a0 ? . 时,对任意 n 3 3
∈N*, an ? an?1 ? 0.
n?1 n?1 n?1


n

an
n?1











5(an ? an?1 ) ? 2 ? 3 ? (?1) 3 ? 2 ? (?1) 5 ? 3 ? 2 a0 . (i)当 n=2k-1,k=1,2…时, 5(an ? an?1 ) ? 2 ? 3n?1 ? 3? 2 n?1 ? 5 ? 3? 2 n?1 a0

? 2 ? 2 n?1 ? 3 ? 2 n?1 ? 5 ? 3 ? 2 n?1 ? 0
(ii)当 n=2k,k=1,2…时, 5(an ? an?1 ) ? 2 ? 3n?1 ? 3? 2 n?1 ? 5 ? 3? 2 n?1 a0

? 2 ? 3 n ?1 ? 3 ? 2 n ?1 ? 0.
故 a0 的取值范围为 (0, ). 本试卷来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn

1 3


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