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2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第1课时 直线方程


高考调研

高三数学(新课标版· 理)

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)

第九章 平面解析几何

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平面解析几何

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第1课时

直线方程

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2012· 考纲下载

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1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的 直线斜率的计算公式. 2.掌握确定直线位置的几何要素. 3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一 般式),了解斜截式与一次函数的关系.

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请注意!

直线是解析几何中最基本的内容, 对直线的考查一是 在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方 程等基本知识,二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛 物线等知识进行综合考查.

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1.直线的有关概念 (1)直线倾斜角的范围是 0° ≤α<180° . (2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线 l 上两点,则 l 的方向 向量的坐标为(x2-x1,y2-y1) ;若 l 的斜率为 k,则方向向 量的坐标为 (1,k) .

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2.斜率公式 (1)直线 l 的倾斜角为 α≠90° ,则斜率 k=
tanα

.

(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线 l 上且 x1≠x2,则 l 的 y2-y1 斜率为 . x2-x1

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3.直线方程的几种基本形式
y-y (1)点斜式: 1=k(x-x1) ,注意斜率 k 是存在的.

(2)斜截式: y=kx+b , 其中 b 是直线 l 在 y 轴 上 的截距. y-y1 x-x1 (3)两点式: = (x1≠x2 且 y1≠y2),当方程 y2-y1 x2-x1 变形为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 时, 对于一切情 况都成立.

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x y (4)截距式: + =1,其中 a· b≠0,a 为 l 在 x 轴上 a b 的截距,b 是 l 在 y 轴上的截距. (5)一般式: Ax+By+C=0,其中 A、B 不同时为 0.

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1.(课本习题改编)下列四个命题中真命题的是(

)

A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0= k(x-x0)表示. B.经过任意两个不同点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线 可以用方程:(y-y1)(x2-x1)-(x-x1)(y2-y1)=0 表示.

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x y C.不过原点的直线都可以用 + =1 表示. a b D.经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示.

答案

B

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π π 2.直线 xsin +ycos =0 的倾斜角是( 7 7 π A.-7 5π C. 7
答案 D

)

π B.7 6π D. 7

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π 解析 由题意得:直线方程为 y=-tan · x, 7 π 6 ∴k=-tan7=tan7π, 6 ∵0≤α<π,∴α=7π.

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3.若 ab<0,则过点 的倾斜角的取值范围是(
? π? A.?0,2? ? ? ? π? C.?-π,-2? ? ?

? 1? P?0,-b?与 ? ?

?1 ? Q?a,0?的直线 ? ?

PQ

)
?π ? B.?2,π? ? ? ? π ? D.?-2,0? ? ?

答案 B

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解析

1 - -0 b a kPQ= = <0,又倾斜角的取值范围为 1 b 0- a
?π ? 的倾斜角的取值范围为?2,π?. ? ?

[0,π),故直线 PQ

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4.(2012· 济南模拟)过点(1,3)作直线 l,若经过点(a,0) 和(0, 且 a∈N*, b), b∈N*, 则可作出的 l 的条数为( A.1 C.3
答案 B

)

B.2 D.4

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解析
?a=2,? ? ? ?b=6 ?

1 3 由题意 + =1?(a-1)(b-3)=3.有两组解 a b
?a=4,? ? 或? ?b=4. ?

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5.过点(2,1)且在 x 轴上截距与在 y 轴上截距之和为 6 的直线方程为________.
答案 x+y-3=0 或 x+2y-4=0

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x y 解析 由题意可设直线方程为 + =1. a b ?a+b=6,? ? 则?2 1 解得 a=b=3,或 a=4,b=2. ?a+b=1, ?

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题型一

直线的斜率

例 1 (1)设直线 2x+my=1 的倾斜角为 α,若 m∈(-∞, -2 3)∪[2,+∞),则角 α 的取值范围是________.

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【解析】

2 据题意知 tanα=- ,∵m<-2 3或 m≥2. m

3 ∴0<tanα< 或-1≤tanα<0. 3 π 3π ∴α∈(0,6)∪[ 4 ,π).
【答案】 π 3π α∈(0,6)∪[ 4 ,π).

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(2)直线 l 过点 M(-1,2)且与以点 P(-2, -3)、 Q(4,0) 为端点的线段恒相交,则 l 的斜率范围是________.

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【解析】 本题考查直线的倾斜角、 斜率与正切函数 的单调性.

如图,过点 M 作 y 轴的平行线与线段 PQ 相交于点 N.

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2 kMP=5,kMQ=-5.

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当直线 l 从 MP 开始绕 M 逆时针方向旋转到 MN 时, 倾斜角在增大,斜率也在增大,这时,k≥5,当直线 l 从 π MN 开始逆时针旋转到 MQ 时,∵正切函数在( ,π)上仍 2 2 为增函数,∴斜率从-∞开始增加,增大到 kMQ=- , 5 2 故直线 l 的斜率范围是(-∞,- ]∪[5,+∞). 5
【答案】 2 (-∞,-5]∪[5,+∞)
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探究 1 处理斜率范围和倾斜角范围时, 由于涉及到 正切函数的单调性, 因此常常借助正切函数图像, 将角分 π π 为[0, )、( ,π)两部分分别对应斜率中的非负值和负值. 2 2

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思考题 1

已知两点 A(-1,2),B(m,3),求:

(1)求直线 AB 的斜率; (2)求直线 AB 的方程; 3 (3)已知实数 m∈[- 3 -1, 3-1],求直线 AB 的倾 斜角 α 的范围.

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【解析】 (1)当 m=-1 时, 直线 AB 的斜率不存在, 1 当 m≠-1 时,k= . m+1 (2)当 m=-1 时,AB 的方程为 x=-1; 1 当 m≠-1 时,AB 的方程为 y-2= (x+1). m+1

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π (3)①当 m=-1 时,α= ; 2 ②当 m≠-1 时, 1 3 ∵k= ∈(-∞,- 3]∪[ ,+∞), 3 m+1 π π π 2π ∴α∈[6,2)∪(2, 3 ] π 2 综合①②知直线 AB 的倾斜角 α 为[6,3π].

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题型二
例2

求直线方程

求适合下列条件的直线的方程:

3 (1)在 y 轴上的截距为-5,倾斜角的正弦值是5; (2)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; (3)经过点 A(-1,-3),倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角 的 2 倍.

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3 【解析】 (1)设直线的倾斜角为 α,则 sinα= , 5 4 3 ∴cosα=± ,直线的斜率 k=tanα=± . 5 4 又直线在 y 轴上的截距是-5, 3 由斜截式得直线方程为 y=± x-5. 4

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(2)设直线 l 在 x、y 轴上的截距均为 a,若 a=0, 即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l 的方程为 y= x,即 2x-3y=0. 3 x y 若 a≠0,则设 l 的方程为a+a=1, 3 2 ∵l 过点 P(3,2),∴a+a=1, ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0, 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5= 0.
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(3)由已知:设直线 y=3x 的倾斜角为 α,则所求直线 的倾斜角为 2α. 2tanα 3 ∵tanα=3,∴tan2α= =- , 4 1-tan2α 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 4 即 3x+4y+15=0.

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3 【答案】 (1)y=± x-5 (2)2x-3y=0 或 x+y-5 4 =0 (3)3x+4y+15=0

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探究 2 在求直线方程时, 应先选择适当的直线方程 的形式, 并注意各种形式的适用条件, 用斜截式及点斜式 时, 直线的斜率必须存在, 而两点式不能表示与坐标轴垂 直的直线, 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直 线,故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断 截距是否为零, 若采用点斜式, 应先考虑斜率不存在的情 况.

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思考题 2

已知在第一象限的△ABC 中,A(1,1),

π π B(5,1),∠A=3,∠B=4. 求:(1)AB 边的方程; (2)AC 和 BC 所在的直线方程.

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【解析】

(1)AB 边的方程为 y=1.

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π (2)∵∠A= ,AB∥x 轴, 3 π ∴直线 AC 的倾斜角为3,斜率为 3, ∴AC 的直线方程为 3x-y+1- 3=0, π 3π ∵∠B=4,∴直线 BC 的倾斜角为 4 ,∴斜率为-1, ∴BC 的直线方程为 x+y-6=0.

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题型三
例3

直线方程的应用

经过点 P(2,1)的直线 l 分别与两坐标轴的正半轴交

于 A,B 两点; (1)求当△AOB 的面积最小时直线 l 的方程; (2)求当|OA|+|OB|最小时直线 l 的方程; (3)求当|PA|· |PB|最小时直线 l 的方程; (4)求当|OA|· |OB|最小时直线 l 的方程.

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【解析】 由条件知,斜率 k 必存在. 设直线方程为 y-1=k(x-2),显然 k<0, 1 当 x=0 时,y=1-2k;y=0 时,x=2- , k (1)△AOB 的面积为 1 ?- ?+?-4k? k 1 1 S= (1-2k)(2- )=2+ 2 k 2

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≥2+

1 ?- ?· ?-4k?≥2+2=4, k

1 1 当且仅当(-k )=(-4k)即 k=-2时等号成立, 1 此时直线方程为 y-1=-2(x-2), 所以当△AOB 的面积最小时直线 l 的方程为 x+2y- 4=0.

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1 (2)|OA|+|OB|=(1-2k)+(2-k) 1 =3+(-k )+(-2k)≥3+2 =3+2 2.

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1 ?- k ?· ?-2k?

1 2 当且仅当(- )=(-2k)即 k=- 时等号成立,此时 k 2 2 直线方程为 y-1=- (x-2), 2 所以当|OA|+|OB|最小时直线 l 的方程为 x+ 2y-2- 2=0.
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(3)|PA|· |PB| = =2 ≥2 1 ?2-k-2?2+1· 22+?1-2k-1?2 1 ?1+ 2??1+k2?=2 k 2+2 1 2 · =4, k k2

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1 2+ 2+k2 k

1 当且仅当 2=k2 即 k=-1 时等号成立. k 此时直线方程为 y-1=-(x-2). 所以当|PA|· |PB|最小时直线 l 的方程为 x+y-3=0.
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(4)同(1),所以当|OA|· |OB|最小时直线 l 的方程为 x+2y-4=0.
【答案】 (1)x+2y-4=0 0 (3)y-1=-(x-2) (2) x+ 2y-2- 2=

(4)x+2y-4=0

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探究 3 利用待定系数法设出直线方程, 转化为求最 值是一类常见题型. 思考题 3 已知实数 x, 满足 2x+y=8, 2≤x≤3 y 当

y 时,求x的最值.

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【解析】 如图,设点 P(x,y),因为 x,y 满足 2x +y=8,且 2≤x≤3,

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所以点 P(x,y)在线段 AB 上移动,

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并且 A,B 两点的坐标分别是 A(2,4),B(3,2). y 因为 的几何意义是直线 OP 的斜率,且 kOA=2,kOB x 2 =3, y 2 所以x的最大值为 2,最小值为3.
【答案】 2 最大值为 2,最小值为3

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1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范 y2-y1 围,熟记斜率公式:k= ,该公式与两点顺序无关, x2-x1 已知两点坐标(x1≠x2)时, 根据该公式可求出经过两点的直 线的斜率.当 x1=x2,y1≠y2 时,直线的斜率不存在,此 时直线的倾斜角为 90° .

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2.求斜率可用 k=tanα(α≠90° ),其中 α 为倾斜角, 由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割, 牢记: “斜率 变化分两段,90° 是分界,遇到斜率要谨记,存在与否需 讨论”. 3. 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程, 再求直线方程中的系数,这种方法叫待定系数法.

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4.重视轨迹法求直线方程的方法,即在所求直线上 设一任意点 P(x,y),再找出 x,y 的一次关系式.

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