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2009年广东省高考数学试题B卷(文数)


概率论与数理统计模拟试题(一) 一、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共 5 小题,每小题 3 分,总计 15 分) 1.设,且)4,5.1(~NX8944.0)25.1(=Φ,9599.0)75.1(=Φ,则 P{-2<x<4}=( ) 。 (A)0.8543 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.2543 2.对于任意随机变量,若 YX,)()()(YEXEXYE=,则( ) 。 (A) )()()(YDXDXYD= (B))()()(YDXDYXD+=+ (C) 一定独立 (D)不独立 YX,YX, 3.设随机变量的概率密度 21() 01qxxfxx..> =. ≤. ,则 q=( ) 。 (A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 4.事件 A,B 为对立事件,则( )不成立。 (A) ()PAB= (B) ()PBAφ= (C) ()PAB= (D) ()PAB+= 5.掷一枚质地均匀的骰子,则在出现奇数点的条件下出现 3 点的概率为( ) 。

(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6 二、填空题(在每个小题填入一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共 5 小题,每小题 3 分,总计 15 分) 1.设随机变量 X 的概率密度 则 ...≤≤ = 其它,010,1)( xxf{}0.4PX>( ) 。 2.设有 7 件产品,其中有 1 件次品,今从中任取出 1 件为次品的概率为( ) 。

3.设 ABφ=,()0.3,()0.4,PAPB==则=∪)(BAP( ) 。 4.设 2~(,)XNμσ,则~Xnμσ. ( ) 。 5.设 D(X)=4, D(Y)=9, 0.4xyρ=,则 D(x+y)=( ) 。 三、计算题(本大题共 6 小题,每小题 10 分,总计 60 分) 1.某电子设备厂所用的晶体管由甲乙丙三家元件制造厂提供。已知甲乙丙三厂 的次品率分别为 0.02,0.01,0.03,又知三个厂提供晶体管的份额分别为 0.15,0.80,0.05, 设三个厂的产品是同规格的(无区别标志) ,且均匀的混合在一起。 求在混合的晶体管中随机的取一支是次品的概率。

2.设二维随机变量的联合分布密度 Y 与 X,0(,) 0, yexfxy..<< =.. 其它 分别求关于 X 与关于 Y 的边缘密度函数。

3.设连续型随机变量 X 的密度为 5,0() 0,0. xKexfxx..> =. ≤.

(1)确定常数 K (2)求 (3)求分布函数 F(x). }2.0{>XP

4.设连续型随即变量 X 的概率密度 1, () 0, cxdfxdc.<<.=.... 其它 , 求 E(X),D(X)

5.设 2~(,)XNμσ,2,μσ 为未知参数,12,,,nxxL 是来自 X 的一个样本值,求 2,μσ 的极大似然估计量。

6.设某产品的某项质量指标服从正态分布,已知它的标准差 150σ=。现从一批 产品中随机地抽取了 26 个,测得该项指标的平均值为 1637。问能否认为这批产 品的该项指标值为 1600(?(查表 0.05α=0.0251.96Z=)

四.证明题(本大题总计 10 分) 设是独立随机变量序列,对它成立中心极限定理,试证对它成 立大数定理的充要条件为。 12,,,,nXXXLL212()nDXXXon+++=L

参考答案 一、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题 共 5 小题,每小题 3 分,总计 15 分) (1)A (2)B (3)B (4)B (5)A 二、填空题(在每个小题填入一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共 5 小题, 每小题 3 分,总计 15 分) (1)0.6 (2)1/7 (3)0.7 (4)N(0,1) (5)8.2 三、计算题(本大题共 6 小题,每小题 10 分,总计 60 分) (1)全概率公式 ()0.150.020.800.010.050.03(6) 0.0125(4) PA=× +× +× = 分 分 (2)()(,)Xxfxfxy+∞=∫ (2 分) ,0,0yxxedyexx+∞...=.=.. ≤. ∫ (3 分) ∫+∞ ∞. =分) (2),()(dxyxfyfy 0,030, yyyedxyey...=>.=... ∫(分) 其它 (3)① 0501()01(3) 5xxdxdxKedxK.+∞+∞. .∞.∞ =+==∫∫∫分

故 。 5K= ② (3 分) .3679.05)2.0(12.05≈==>.+∞.∫edxePxξ ③当 x<0 时,F(x)=0; (1 分) 当时, (2 分) 0≥xxxxxedxedxdxxxF500515)()( . ∞.∞. . .= +==∫∫∫. 故 . (1 分) ... < ≥. = . 00, ,01)( 5xxexFx (4)X 的数学期望为 ()12dccdEXxdxdc+ == .∫ (4 分)

() 222221()(4) 2(2) 12dccdDXEXEXxdxdcdc+..=.=...... . = ∫分 分 (3 分) (5)()()22211;,exp22fxxμσμσπσ..=..... (2 分) ()()222111,exp22niiLμσμσπσ= ..=....Π (2 分) 令 () () 212222211ln01ln022niiniiLxnnLxμμσμσσσ. . ....=.=........ ..=.+.= ... ΣΣ (2 分) 解之得 (2211.., niiXXXnμσ= ==.Σ (2 分) (6)0:1600Hμ=,11600H≠ (2 分) 1600163716001.2581502615026xU.. ==≈ (4 分) 由查表知,0.0251.96Z=,而 1.96U<未落入否定域 (2 分) 故可以认定这批产品指标为 1600 (2 分) 四.证明题(本大题总计 10 分) 充分性:设则由切比雪夫不等式得 (1 分) ).()(21noDnii=Σ=

ξ 0)( })(1{2211..→.≤≥.∞→ = = ΣΣnNiiniiinDEnPεξεξξ 所以大数定理成立。 分) (2 必要性:由于对{成立中心极限定理,对任意 a>0,有}nX

dteaEBPxtniiinn∫Σ∞. . =∞→ =≤.21221}))((1{limπξξ ①(2 分) 又成立大数定理,即,0>.ε 有 1}))((1{ 1lim=≤.Σ= ∞→ εξξniiinEnP ②(2 分) 而 ... <. ... =<.ΣΣ== εξξεξξniiinnniiiEBnBPEnP11))((1}))((1{ (2 分) = ... <. ... Σ= nniiinBnEBPεξξ1))((1,由此式利用①或②可得,当时,应有∞→n,∞→ nBnε 即 0→ nBn,从而. (1 分) )()(212noDBniin==Σ= ξ


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