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龙泉中学2013届高三周练理科数学试卷(19)


龙泉中学 2013 届高三周练理科数学试卷(19)
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8、定义在 R 上的函数 f ( x)满足f ( x) ? f (5 ? x), 且( 5 ? x) f ?( x) ? 0,已知x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 5 ,则(
2



A. f ( x1 ) ? f ( x

2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 (A) (0,1] (B) (0, 2) (C) [1, 2) (D) (0, 2) (A) ?4 ? 2 ( ) (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2

B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
*

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的)
1、复数

9、设等比数列 {an } 的各项均为正数,前 n 项和为 Sn .若对 ?n ? N 有 S 2n ? 3S n ,则公比 q 的取值范围是 10、已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小值为

等于 (
2 2

??? ??? ? ?

)

A.8 2、已知方程

B.-8

C.-8i

D.8i

(D) ?3 ? 2 2

x y ? ? 1(k ? R) 表示焦点在 x 轴上 的椭圆,则 k 的取值范围是 k ?1 3 ? k A. k ? 1或k ? 3 B. 1 ? k ? 3 C. k ? 1 D. k ? 3

3、某圆柱被一平面所截得到的几何体如图(1)所示,若该几何体的 正视图是等腰直角三角形,俯视图是圆(如右图) ,则它的侧视图 是 ( )

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) x2 y2 16 11、双曲线 =1上有一点 P 到左准线的距离为 ,则 P 到右焦点的距离为 9 16 5 3 12、 已知曲线 y ? ? a ? 3? x ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 1 在 ?1, 2? 上单调递增, 则 a 的范围为 . 13、 设点 P 是 ?ABC 内一点 (不包括边界) 且 AP ? mAB ? nAC, m, n ? R , m2 ? (n ? 2)2 , 则 的取值范围是_______ 14、设椭圆 C:

??? ?

??? ?

??? ?

A

4、已知 f(x)=sin(ωx+

? )(ω>0)的图象与 y=-1 的图象的相邻两交点间的距离为 π,要得到 y=f(x)的图象, 3
)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B a 2 b2 ??? ? ??? ? 两点,直线 l 的倾斜角为 60o, AF ? 2 FB .椭圆 C 的离心率为 ;

P B Q C

只需把 y=cos2x 的图象 ( A.向左平移

? ? 个单位 B.向右平移 个单位 12 12 5? 5? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 12 12 5、 若圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 6 ? 0 对称, 则由点 ( a, b) 向圆所作的切线长的最小
值是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D.6

15、已知关于 x 的实系数一元二次不等式 ax2 ? bx ? c 0 ( a ? b) 的解集为 R ,则 M ? a ? 2b ? 4c 的最小值 ≥ b?a 是 . 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16、 (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) ,设函数 f ( x) ? 2(a ? b) ? b , 已知在△ ABC 中, 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 a ? 的取值范围.

?

3 ? 4

? ? ?

3, b ? 2, sin B ?

6 ? ? ,求 f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ( x ? ?0, ? ) ? ? ? 3? 3 6? ? ? ?

?2 x ? y ? 0 ? 6、已知变量 x、y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? log4 (2 x ? y ? 4) 的最大值为 ?x ? 0 ?
A.2
2

B.

3 2

C.

2 3

D.1

7、过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若 AF ? 3 ; 则 ?AOB 的面积为 A. ( B. 2 C. )

2 2

3 2 2

D. 2 2

17、(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2an ? n, 且bn ? ( 1)求证: {an ?1} 为等比数列; (2)求数列 {bn } 的前 n 项和。

an ? 1 . an an?1

20、(本小题满分 13 分)已知椭圆 (1)若 e ?

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3,0) ,离心率为 e . a2 b2

3 ,求椭圆的方程; 2
2 3 ,求 k 的取值范围. ?e? 2 2

(2)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A,B 两点,M , N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点. 若坐标原点 O 在以 MN 为 直径的圆上,且

18、(本小题满分 12 分)已知平面 BCC1B1 是圆柱的轴截面(经过圆柱的轴的截面) ,BC 是圆柱底面的直径, O 为底面圆心,E 为母线 CC1 的中点,已知 AB ? AC ? AA ? 4 1 (I) )求证: B1O ⊥平面 AEO ; (II)求二面角 B1 ? AE ? O 的余弦值. (Ⅲ)求三棱锥 A ? B1OE 的体积.

21、(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? x, h( x) ? (1)求 h( x) 的最大值;

ln x . x

(2)若关于 x 的不等式 xf ( x) ? ?2 x2 ? ax ?12 对一切 x? ? 0, ??? 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 f ? x ? ? x ? 2ex ? bx ? 0 恰有一解,其中 e 为自然对数的底数,求实数 b 的值.
3 2

19.(本小题满分 12 分)某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示.其 上部分是以 AB 为直径的半圆,点 O 为圆心,下部分是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,DE、DF 是两根支 π 杆,其中 AB=2 m,∠EOA=∠FOB=2x(0<x< ).现在弧 EF、线段 DE 与线段 DF 上装彩灯,在弧 AE、 4 弧 BF、线段 AD 与线段 BD 上装节能灯.若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且 彩灯的比例系数为 2k,节能灯的比例系数为 k(k>0),假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y 是所有灯“心悦 效果”的和. (1) 试将 y 表示为 x 的函数; (2) 试确定当 x 取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳?

龙泉中学 2013 届高三周练理科数学试卷(19)参考答案
命题: 陆晓峰 一、选择题(50 分) 1 序号 D 答案 二、填空题 11、 6 ? 2 B 3 D 13、 (1, 5) 4 B 5 C 审核:李祖安 6 B 7 C 8 B 9 A 10 D

(II) 平面 AEO 的法向量为 B1O ? (?2, ? 4) ,设平面 B1AE 的法向量为 2,

16 3

12、 ? ??,0?

14、 e ?

c 2 ? a 3

15、 8

? ? ??? ?n AE ? 0 ?2 y ? z ? 0 ? ?· , 即? n ? ( x,y,z ),∴? ? ???? ?x ? z ? 0 ?n B1 A ? 0 ?· ? 令 x=2,则 z ? ?2,y ? 1 ,∴z ? (2,? 2) 1 , ? ???? n B1O · 6 6 ? ???? ???? ? ∴ cos ? n,1O ? ? ? B ? 6 | n · B1O | | | 9× 24
∴二面角 B1—AE—F 的余弦值为

三、解答题 16. 解: f ( x) ? 2(a ? b) ? b ?

? 3 2 sin(2 x ? ) + 由正弦定理得 4 2 a b 2 ? ? ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 或 A ? 3? 因为 b ? a ,所以 A ? sin A sin B 2 4 4 4 1 ? ?? ? ? ? 11? ? ? ? ?? , f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 sin(2 x ? ) ? ,? x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , 2 4 6? 4 ? 4 12 ? ? 3? ? ?
? ? ?

6 ???????????????????????8 分 6 ???? ??? ? ???? ??? ? (Ⅲ)因为 AO?EO ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ? 0 ,∴ AO ? EO , ∴ AO ? EO ???? ??? ? ∵ AO ?| AO |? 22 ? 22 ? 0 ? 2 2 , EO ?| EO |? 2 3 1 1 1 ∴ VA? B1OE ? VB1 ? AOE ? S?AOE ? B1O ? ? ? 2 2 ? 2 3 ? 2 6 ? 8 ?????????12 分 3 3 2
19、解:解:(1) 因为∠EOA=∠FOB=2x,所以弧 EF、AE、BF 的长分别为 π-4x,2x,2x.(2 分) π 连结 OD,则由 OD=OE=OF=1,∠FOD=∠EOD=2x+ , 2 π 所以 DE=DF= 1+1-2cos?2x+ ?= 2+2sin2x= 2(sinx+cosx).???????4 分 2 所以 y=2k[2 2(sinx+cosx)+π-4x]+k(2 2+4x) =2k[2 2(sinx+cosx)-2x+ 2+π](6 分) (2) 因为由 y′=4k[ 2(cosx-sinx)-1]=0,??????????????????7 分 π 1 π 解得 cos(x+ )= ,即 x= . 4 2 12 π π 又当 x∈(0, )时,y′>0,所以此时 y 在(0, )上单调递增; 12 12 π π π π 当 x∈( , )时,y′<0,所以此时 y 在( , )上单调递减. 12 4 12 4 π 故当 x= 时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳.(12 分) 12

所以

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? ?????????????????12 分 2 6? 2 ?

17.(1)解:由 Sn ? 2an ? n 得: Sn?1 ? 2an?1 ? n ? 1 ∴ an?1 ? Sn?1 ? Sn ? 2an?1 ? 2an ? 1 ,即 an ?1 ? 2an ? 1 ??????????????????2 分 ∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ????????????????????????????????4 分 又因为 S1 ? 2a1 ? 1 ,所以 a1 =-1,a1-1 =-2≠0, ∴ {an ? 1} 是以-2 为首项,2 为公比的等比数列.??????????????????6 分 (2)解:由(1)知, an ? 1 ? ?2 ? 2n?1 ? ?2n ,即 an ? ?2n ? 1????????????????8 分
?2n 1 1 ? ? ??????????????????????10 分 (1 ? 2 )(1 ? 2n ?1 ) 2n ?1 ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 故 Tn ? ?[( ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ?? ( n ? n?1 )] ? n?1 ? 1 .?????12 分 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

∴ bn ?

n

18、解:依题意可知, AA1 ? 平面 ABC,∠ BAC =90° , 空间向量法 如图建立空间直角坐标系 o ? xyz ,因为 AB ? AC ? AA1 =4, 则 A(0,0,0), B(4,0,0) E(0, 4, 2), O(2, 2,0), B1 (4,0, 4) (I) B1O ? (?2 2 ? 4), ? (2 ? 2 ? 2) , AO ? (2, 2,0) , , EO , ,

????

??? ?

????

?c ? 3 2 2 2 2 2 20、解: (1)由题意得 ? ?c 3 ,得 a ? 2 3 . 结合 a ? b ? c ,解得 a ? 12 , b ? 3 . ? ? 2 ?a 2 x y2 所以椭圆的方程为 ? ? 1 .?????????????????????5 分 12 3
? x2 y 2 (2)由 ? a 2 ? b 2 ? 1, 得 (b2 ? a2k 2 ) x2 ? a2b2 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , ? ? y ? kx, ?

???? ??? ? ???? ??? ? B1O?EO ? (?2) 2 ? 2 (?2) ? (?4) (?2) ? 0 ,∴ B1O ? EO ,∴ B1O ? EO × × × ???? ??? ? ???? ???? ∴ B1O ? AO ,∴ B1O ? AO B1O?AO ? (?2) 2 ? 2 2 ? (?4) 0 ? 0 , × × × ∵ AO ? EO ? O, A O E O 平面 AEO ∴ B1O ⊥平面 AEO ???????????4 分 , ?

k 2 a 2b 2 a 2b 2 2 所以 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? ? 2 ,则 y1 y2 ? k x1 x2 ? ? 2 . b ? a2k 2 b ? a2k 2

因为 M ? 3 ? x1 , y1 ? 、 N ? 3 ? x2 , y2 ? ,且 OM ? ON , ? ? ? ? 2? 2? ? 2 ? 2 所以 kOM ? kON ? ?1 ,即
2 2 2 y1 y ? 2 ? ?1 . 即 y1 y2 ? x1 x2 ? 9 ? 0 ,即 ? a b (1 ? k2 ) ? 9 ? 0 , 3 ? x1 3 ? x2 a2k 2 ? b

因为 b2 ? a2 ? c2 ? a2 ? 9 ,所以 ? 整理得 k 2 ?

a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) ?9 ? 0. a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)

a 4 ? 18a 2 ? 81 81 81 . ? ?1 ? 4 ? ?1 ? 2 4 2 2 ?a ? 18a a ? 18a ? a2 ? 9? ? 81

因为 2 ? e ? 3 ,所以 2 3 ? a ? 3 2 , 12 ? a 2 ? 18 . 2 2 ? ? 1 2? ? 2 所以 k 2 ? ,即 k ? ? ??, ? , ?? ? .????????????????????13 分 ??? ? ? 8 4 ? ? 4 ? ?

ln x 1 ? ln x ,????????????????2 分 , ? x ? 0? ,所以 h? ? x ? ? x x2 由 h?( x) ? 0 ,且 x ? 0 ,得 0 ? x ? e ,由 h?( x) ? 0 ,且 x ? 0 , x ? e ,
21. (1)因为 h ? x ? ? 所以函数 h ? x ? 的单调增区间是 (0, e] ,单调减区间是 [e, ??) , 所以当 x ? e 时, h ? x ? 取得最大值 ;?????????????????????????4 分 (2)因为 xf ( x) ≥ ?2 x2 ? ax ? 12 对一切 x ? (0,??) 恒成立,即 x ln x ? x 2 ≥ ?2 x 2 ? ax ? 12 对一切 x ? (0,??) 恒成立,亦即 a ≤ ln x ? x ? 设 ? ( x) ? ln x ? x ?

1 e

12 对一切 x ? (0,??) 恒成立, x

12 x 2 ? x ? 12 ( x ? 3)(x ? 4) ? ,因为 ? ?( x) ? , x x2 x2 故 ? (x) 在 (0,3] 上递减,在 [3,??) 上递增, ? ( x) min ? ? (3) ? 7 ? ln 3 ,
所以 a ≤ 7 ? ln 3 .??????????????????????????????????9 分
3 2 (4)因为方程 f ( x) ? x ? 2ex ? bx ? 0 恰有一解,即 ln x ? x ? x ? 2ex ? bx ? 0 恰有一解,
3 2

ln x 1 ? x 2 ? 2ex ? b ? 1 恰有一解,由(1)知, h(x) 在 x ? e 时, h( x) max ? , x e 2 而函数 k ?x? ? x ? 2ex ? b ? 1 在 (0, e] 上单调递减,在 [e,??) 上单调递增, ln x 1 ? x 2 ? 2ex ? b ? 1 恰有一解当且仅当 b ? 1 ? e 2 ? , 故 x ? e 时, k ?x?min ? b ? 1 ? e 2 ,故方程 x e 1 2 即 b ? e ? ? 1 . ?????????????????????????????????14 分 e



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