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2013-2014学年 - 湖南 - 衡阳市 - 耒阳二中 - 高三 - 名校试卷(第一次月考) - 理科 - 数学


耒阳二中 2014 届第一次月考理科数学试题
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,每小题只有一个选项是正确的). 1、设集合 A={x|1<x<4},B={x|x2-2x-3≤0},则 A∩( CR B )= A、(1,4) B、(3,4) 2、下列命题中,真命题的是 A、 ?x0 ? R , e 0 <0


x

C、(1,3)

D、(1,2)∪(3,4) B、 ?x ? R , 2 x ? x 2

C、“a+b=0”的充要条件是“ 条件 3.已知 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ?

a =-1” D、“a>1,b>1”是“ab>1“的充分 b

?? ? , ? ? ,则 tan ? ? ( ?2 ?
C.



A.

? 3 2

B.

?3 5

? 3 3

D. ? 3

4.执行如图所示的程序框图,若输入 x=3,则输出 y 的值为( ) A.5 B.9 C.17 D.33 开始 输入 x y=2x-1 1 |x-y|>8 是 输出 y 结束 5.已知公比不为 1 的等比数列 {an } 的首项为 1, 3a1 , 2a2 , a3 成等差数列, 若 则数列 { 前 5 项和为( 121 A. 81 ) B. 31 16 C. 121 D. 31 否

x=y

1 } 的 an

6、函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上(其中 m,n>0),则 A.16

1 2 ? 的最小值等于( m n
C.9

) D.8

B.12

7、已知函数 y=sinax+b(a>0)的图象如图所示,则函数 y ? log a ( x ? b) 的图象可能是

8、设函数 f(x)(x ? R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x? [0,1]时, f(x)=x2,又函数 g(x)=|xcos( ? x)|,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 [? A、5 上的零点个数为 二、填空题(35 分) 9、设 a,b ? R,a+bi= B、6 C、7 D、8

1 3 , ] 2 2

11 ? 7i (i 为虚数单位),则 a+b=_____ 1 ? 2i ? ? ? ? ? ? ? ? 10.已知 a ? 4 , b ? 3 , 2a ? 3b ? 2a ? b ? 61 ,则 a 与 b 的夹角 ? 为

?

??

?

11、已知曲线 y=3x +2x 在点(1,5)处的切线与直线 2ax-y-6=0 平行, 则 a= .

2

(? ?
12.已知:tan

?
4

)?

(sin ? ? cos ? ) 2 1 cos 2? 3 ,则 =__

13.设 a>0.若曲线 y ? 14. 已 知 an ?

x 与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a,则 a=____

?

1 (2 x ? 1)dx , 数 列 { } 的 前 n 项 和 为 S n , 数 列 {bn } 的 通 项 公 式 为 0 an
n

bn ? n ? 33, n ? N * ,则 bn S n 的最小值为

15、如图所示,将数以斜线作如下分群:(1),(2,3),(4,6,5),(8,12,10,7), (16,24,20,14,9),?,并顺次称其为第 1 群,第 2 群,第 3 群,第 4 群,?,

(1)、第 7 群中的第 2 项是: (2)、第 n 群中 n 个数的和是:



三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分) 16 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 a = (sinx , - cosx) , b ? (cos x, 3 cos x) , 函 数

f ( x) ? a ? b ?
域.

3 ? .(1)求 f(x)的最小正周期;(2)当 0 ? x ? 时,求函数 f(x)的值 2 2

17、(本小题满分 12 分) 递增的等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且 S 2 ? 6, S 4 ? 30 (I)求数列{ an }的通项公式。 (II)若 b n = an log 1 an ,数列{ bn }的前 n 项和为 Tn,求 Tn ? n ? 2 n ?1 ? 50 成立的最小正
2

整数 n 的值。

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x x x 3 sin ? cos ? cos 2 . 4 4 4

(Ⅰ)若 f ( x) ? 1 ,求 cos(

2? ? x) 的值; 3 1 c ? b ,求 f ( B) 的 2

(Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 a cos C ? 取值范围.

19.(本小题满分 13 分)为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,长沙市计划用若干 时间更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,替换车为电力型和混 合动力型车.今年初投入了电力型公交车 128 辆,混合动力型公交车 400 辆;计划以后电 力型车每年的投入量比上一年增加 50%,混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆. (1)求经过 n 年,该市被更换的公交车总数 S(n); (2)若该市计划 7 年内完成全部更换,求 a 的最小值. 20、(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=a(lnx-x)(a ? R)。 (I)讨论函数 f(x)的单调性; (II)若函数 y=f(x)的 图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45°,函数 g(x)= x 3 ? x 2 [

m ? f ( x)] 在区间(2,3)上总存在极值,求实数 m 的取值范围。 2
2

21.(本小题满分 13 分)已知 f(x)=lnx-ax -bx. (1)若 a=-1,函数 f(x)在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (2)f(x)的图象与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)( x1<x2)两点,AB 中点为 C(x0,0),求证: f ′(x0)<0.

耒阳二中 2014 届第一次月考理科数学答卷
时间:120 分钟 总分:150 分 一。选择题(每小题 5 分,8 小题,共 40分) 题号 答案 B 1 D 2 D 3 D 4 A 5 D 6 C 7 B 8

二、填空题(每小题 5 分,7 小题,共 35 分) 10、

9、

8

2 π 3

11、

4

12、

3

13、

a?

9 4
96 3·2 -2n-3
n

14、

-

70 3

15、

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解:(1)∵ f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos 2 x ?

3 2

??????1 分

?

1 3 3 sin 2 x ? (cos 2 x ? 1) ? 2 2 2

??????3 分

? sin(2 x ?

?
3

).

??????5 分 ??????6 分

∴函数 f(x)的最小正周期为 π . (2)∵ 0 ? x ? ∴?

?

2

,∴ ?

?

3

? 2x ?

?
3

?

2? ,??????8 分 3
??????11 分

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 3 3 ≦f(x)≦1 2
f(x)的值域:[ ?

即?

3 ,1] ??????12 分 2

座位号:
17、(12 分) .解析:(Ⅰ) S 2 ? 6, S 4 ? 30 ? q ? ?2 ,????????????2 分 ∵数列 ?a n ? 递增,∴ q ? 2 ? a1 ? 2 ,∴ a n ? 2 n ?????????????5 分 (Ⅱ) bn ? 2 log 1 2 ? ? n ? 2 , Tn ? ?(1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n )
n n n 2

设 H n ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n …………..①

2 H n ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? 3 ? 2 4 ? ? ? n ? 2 n ?1 ………..②
①-②得: ? H n ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? ?2n ? n ? 2n ?1 ,

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? ?n ? 2n +1 ? 2n ?1 ? 2=Tn ,………………………………………………… 1? 2

……..10 分

Tn ? n ? 2 n ?1 ? 50 ,即 ?n ? 2n +1 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 ? 50 , 2 n ?1 ? 52
∴正整数 n 的最小值是 5???????????????????12 分 18、(12 分)

19、(13 分) 解析:(1)设 an,bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车,混合动力型公交车的数量, 依题意,{an}是首项为 128,公比为 1 ? 50% ? {bn}是首项为 400,公差为 a 的等差数列.

3 的的等比数列, 2

3 128 ? [1 ? ( ) n ] 3 2 ? 256[( ) n ? 1] , {an}的前 n 项和 S n ? 3 2 1? 2 n(n ? 1) {bn}的前 n 项和 Tn ? 400n ? a. 2
所以经过 n 年,该市更换的公交车总数为

3 n(n ? 1) S (n) ? S n ? Tn ? 256[( ) n ? 1] ? 400n ? a . ????7 分 2 2
(2)若计划 7 年内完成全部更换,所以 S(7)≥10000,

所以 256[( ) 7 ? 1] ? 400 ? 7 ?

3 2

7?6 16 a ? 10000 ,即 21a≥3082,所以 a ? 146 . 2 21

又 a∈N*,所以 a 的最小值为 147.????13 分 20、(13分) 解析:(Ⅰ)易知 f ? x ? 的定义域为 (0, ??). f ?( x) ? 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ?

a (1 ? x) (1 ? x) ? 0, 即 ? 0, 解得增区间为 (1, ??) .同理减区间为(0,1); x x a (1 ? x) (1 ? x) 当 a >0 时,令 f ?( x) ? ? 0, 即 >0, 解得增区间为(0,1).同理减区间为 (1, ??) ; x x
当 a ? 0 时, f ? x ? 不是单调函数. ???????????????????6 分

a (1 ? x) .?????????1 分 x

(Ⅱ)∵ y ? f ? x ? 的图像在点 ?2, f ?2 ?? 处的切线的倾斜角为 45°,

a (1 ? 2) ? tan 45? ? 1,? a ? -2 ??????????????7 分 2 ?2(1 ? x) 2( x ? 1) f ?( x) ? ? x x m 2( x ? 1) m g ( x) ? x3 ? x 2 ( ? ) ? x 3 ? ( ? 2) x 2 ? 2 x, ???????????9 分 2 x 2
∴ f ?(2) ?

g ?( x) ? 3x 2 ? (m ? 4) x ? 2 ,
?m ? ? g ?(0) ? ?2 ? 0, 要使函数 g ?x ? ? x 3 ? x 2 ? ? f ??x ?? 在区间(2,3)上总存在极值,只需 ?2 ?

37 ? g ?(2) ? 0 解得 ? <m ? ?9. ???????????????????13 分 , 3 ? ? g ?(3)>0
21、(13 分) 2 解析:(1)依题意:f(x)=lnx+x -bx.

1 ? 2 x ? b ? 0 对 x∈(0,+∞)恒成立, x 1 1 即 b ? ? 2 x 对 x∈(0,+∞)恒成立,只需 b ? ( ? 2 x) min . ????4 分 x x
∵f(x)在(0,+∞)上递增,∴ f ?( x) ? ∵x>0,∴

2 1 时取“=”, ? 2 x ? 2 2 ,当且仅当 x ? 2 x

∴≦,∴b 的取值范围为 (??, 2 2] . ??????6 分

? f ( x1 ) ? ln x1 ? ax12 ? bx1 ? 0 ?ln x1 ? ax12 ? bx1 ? ? (2)由已知得 ? , ?? 2 2 ? f ( x2 ) ? ln x2 ? ax2 ? bx2 ? 0 ?ln x1 ? ax1 ? bx1 ? ?

两式相减,得 ln

x1 ? a( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? b( x1 ? x2 ) x2 ? ln x1 ? ( x1 ? x2 )[a( x1 ? x2 ) ? b] .????10 分 x2

由 f ?( x) ?

1 ? 2ax ? b 及 2x0=x1+x2,得 x

f ?( x0 ) ?

x 1 2 2 1 ? 2ax0 ? b ? ? [a ( x1 ? x2 ) ? b] ? ? ln 1 x0 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x2
2(

x1 ? 1) 2( x1 ? x2 ) x1 x2 x 1 1 ? [ ? ln ] ? [ ? ln 1 ] x1 ? x2 x1 ? x2 x2 x1 ? x2 x1 x2 ( ? 1) x2
令t ?

x1 2t ? 2 , ? (t ) ? ? ln t (0 ? t ? 1) . x2 t ?1
(t ? 1) 2 ? 0 ,∴φ (t)在(0,1)上递减,∴φ (t)>φ (1)=0. t (t ? 1) 2

∵ ? ?(t ) ? ?

∵x1<x2,∴f ′(x0)<0. ????13 分


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