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2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——9.数列


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2011—2017 年新课标全国卷 2 文科数学试题分类汇编
9.数列 一、选择题 (2015· 5)设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? ( A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 (2015· 9)已知等比数列 {an } 满足 a1 ? A. 2 B. 1 )

1 , a3a5 ? 4(a4 ?1) ,则 a2 ? ( 4 1 1 C. D. 2 8



(2014· 5)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项 Sn=( n(n ? 1) n(n ? 1) A. n(n ? 1) B. n(n ? 1) C. D. 2 2 (2012· 12)数列{ an }满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则{ an }的前 60 项和为( A.3690 B.3660 C.1845 D.1830 二、填空题 (2014· 16)数列 {an } 满足 an?1 ? )



1 , = 2,则 =_________. a2 a1 1 ? an
.

(2012· 14)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q =

三、解答题 (2017· 17)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn,a1=-1,b1=1,a2 + b2 = 2. (1)若 a3 + b3 = 5,求{bn}的通项公式;(2)若 T3=21,求 S3.

(2016· 17)等差数列{an}中,a3 + a4 = 4,a5 + a7 = 6. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=[lgan],求数列{bn}的前 10 项和,其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.

(2013· 17)已知等差数列 {an } 的公差不为零, a1 ? 25 ,且 a1 , a11 , a13 成等比数列. (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 ? a4 +a7 ????? a3 n?2 .

(2011· 17)已知等比数列{an}中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 . 3 3 1 ? an (I)Sn 为{an}的前 n 项和,证明: S n ? ; 2 (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? L L ? log3 an ,求数列{bn}的通项公式.

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2011—2017 年新课标全国卷 2 文科数学试题分类汇编
9.数列(解析版) 一、选择题

5 ? a1 ? a5 ? ? 5a3 ? 5 . 2 1 a (2015· 9)C 解析:由 a42 =a3· a5= 4(a4-1),得 a4 = 2,所以 q3 ? 4 ? 8 ? q ? 2 ,故 a2 ? a1q ? . 2 a1
(2015· 5)A 解析: a1 ? a3 ? a5 ? 3a3 ? 3 ? a3 ? 1, S5 ? (2014· 5) A 解析: ∵d=2, a2, a4, a8 成等比, ∴a42 = a2· a8,即 a42=(a4-4)(a4 + 8), 解得 a4=8, ∴a1=a4-3× 2=2, ∴ Sn ? na1 ?

n(n ? 1) n(n ? 1) d ? 2n ? ? 2 ? n(n ? 1) ,故选 A. 2 2

(2012· 12)D 解析: 【法 1】有题设知 a2 ? a1 ? 1 ①, a3 ? a2 =3②, a4 ? a3 =5③, a5 ? a4 =7, a6 ? a5 =9,

a7 ? a6 =11, a8 ? a7 =13, a9 ? a8 =15, a10 ? a9 =17, a11 ? a10 =19, a12 ? a11 ? 21 ,…… a6 ? a8 =24, a9 ? a11 =2, a10 ? a12 =40, ∴②-①得 a1 ? a3 =2, ③+②得 a4 ? a2 =8, 同理可得 a5 ? a7 =2, …, ∴ a1 ? a3 , a5 ? a7 , a9 ? a11 ,…,是各项均为 2 的常数列, a2 ? a4 , a6 ? a8 , a10 ? a12 ,…,是首
1 2 【法 2】 bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16 1 5? 1 4 b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 1 ?0 ? S1 5 1 ?0 1 ?5 ? 1 ?6 ? 1830 2
二、填空题 (2014· 16) 项为 8,公差为 16 的等差数列,∴{ an }的前 60 项和为 15 ? 2 ? 15 ? 8 ? ?16 ?15 ?14 =1830.

1 1 1 1 1 解析:由已知得 an ? 1 ? ,∵ a8 ? 2 ,∴ a7 ? 1 ? ? , a6 ? 1 ? ? ?1 , 2 an ?1 a8 2 a7 1 1 1 a5 ? 1 ? ? 2 , a4 ? ,a3 ? ?1,a2 ? 2,a1 ? . 2 2 a6

(2012· 14)-2 解析:当 q =1 时, S3 = 3a1 , S2 = 2a1 ,由 S3+3S2=0 得, 9a1 =0,∴ a1 =0 与{ an }是等比数

a1 (1 ? q3 ) 3a1 (1 ? q 2 ) 列矛盾,故 q ≠1,由 S3+3S2=0 得, ? ? 0 ,解得 q =-2. 1? q 1? q
三、解答题 (2017· 17)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn,a1=-1,b1=1,a2 + b2 = 2. (1)若 a3 + b3 = 5,求{bn}的通项公式;(2)若 T3=21,求 S3. (2017· 17) 解析: (1) 设{an}的公差为 d, {bn}的公比为 q, 则 an = -1+(n-1)d, bn = qn-1 . 由 a2 + b2 = 2 得 d+q=3

?d ? 3 ?d ? 1 ①,由 a3 + b3 = 5 得 2d+q2=6 ②,联立①和②解得 ? (舍去) ? ,因此{bn}的通项公式 bn =2n+1 . ?q ? 2 ?q ? 0
(2)由 b1=1,T1=21,得 q2+q-20=0. 解得 q =-5 或 q=4,当 q =-5 时,由①得 d=8,则 S3=21;当 q=4 时,由①得 d=-1,则 S3=-6. (2016· 17)等差数列{an}中,a3 + a4 = 4,a5 + a7 = 6. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=[lgan],求数列{bn}的前 10 项和,其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. (2016· 17)解析: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d,由题意有 2a1 ? 5d ? 4, a1 ? 5d ? 3 ,解得 a1 ? 1, d ?

2 ,所 5

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以 ?an ? 的通项公式为 an ? (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 bn ? [ 当 n=6, 7, 8 时, 3 ?

2n ? 3 . 5

2n ? 3 2n ? 3 2n ? 3 ], 当 n=1, 2, 3 时, 当 n=4, 5 时, 2? ? 3, bn ? 2 ; 1? ? 2, bn ? 1; 5 5 5

2n ? 3 2n ? 3 ? 5, bn ? 4 ,所以数列 ?bn ? 的前 10 项 ? 4, bn ? 3 ;当 n=9, 10 时, 4 ? 5 5

和为 1? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 2 ? 24 .

(2013· 17)已知等差数列 {an } 的公差不为零, a1 ? 25 ,且 a1 , a11 , a13 成等比数列. (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 ? a4 +a7 ????? a3 n?2 . (2013· 17)解析:(Ⅰ)设{an}的公差为 d. 由题意,a112=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d). 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2. 故 an=-2n+27. (Ⅱ)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2. 由(Ⅰ)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的 等差数列.从而 Sn=

n n (a1+a3n-2)= (-6n+56)=-3n2+28n. 2 2

(2011· 17)已知等比数列{an}中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 . 3 3 1 ? an (I)Sn 为{an}的前 n 项和,证明: S n ? ; 2 (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? L L ? log3 an ,求数列{bn}的通项公式.

1 1 (1 ? n ) n 1 1 n ?1 1 n 3 ? 1 ? 3 ,? S ? 1 ? an (2011· 17)解析: (Ⅰ)∵ an ? ( ) ? ( ) , Sn ? 3 n 1 3 3 3 2 2 1? 3 n(n ? 1) ( 1 ? 2 ? 3 ? L ? n)= ? (Ⅱ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ???? ? log3 an ? ? ,? 数列{ bn }的通项公 2 n(n ? 1) 式为 bn ? ? 2


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