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高中数学《集合的概念与运算》错误解题分析


1.1《集合的概念与运算》错误解题分析
一、知识导学
1、集合:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。 2、元素:集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元。 3、子集:如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素(若 a ? A 则 a ? B ),则称 集合 A 为集合 B 的子集,记为 A ? B 或 B ? A;如果 A ? B,并且 A ? B,这时集合 A 称为集合 B 的真子 集,记为 A B 或 B A。

4、集合的相等:如果集合 A、B 同时满足 A ? B、B ? A,则 A=B。 5、补集:设 A ? S,由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集,记为 C s A 。 6、全集:如果集合 S 包含所要研究的各个集合,这时 S 可以看做一个全集,全集通常记作 U。 7、交集:一般地,由所有属于集合 A 且属于 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的交集,记作 A ? B。 8、并集:一般地,由所有属于集合 A 或者属于 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的并集,记作 A ? B。 9、空集:不含任何元素的集合称为空集,记作 ? 。 10、有限集:含有有限个元素的集合称为有限集。 11、无限集:含有无限个元素的集合称为无限集。 12、集合的常用表示方法:列举法、描述法、图示法(Venn 图)。 13、常用数集的记法:自然数集记作 N,正整数集记作 N+或 N ,整数集记作 Z,有理数集记作 Q,实数 集记作 R。 二、疑难知识导析 1、符号 ? , , ? , ,=,表示集合与集合之间的关系,其中“ ? ”包括“ ”和“=”两种情况,同样“ ? ”
*

包括“ ”和“=”两种情况。符号 ? , ? 表示元素与集合之间的关系。要注意两类不同符号的区别。 2、在判断给定对象能否构成集合时,特别要注意它的“确定性”,在表示一个集合时,要特别注意它的“互 异性”、“无序性”。 3、在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质。 4、对由条件给出的集合要明白它所表示的意义,即元素指什么,是什么范围。用集合表示不等式(组)的 解集时,要注意分辨是交集还是并集,结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断。空集是任何集合的子集, 但因为不好用文氏图形表示,容易被忽视,如在关系式 中,B= ? 易漏掉的情况。

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5、若集合中的元素是用坐标形式表示的,要注意满足条件的点构成的图形是什么,用数形结合法解之。 6、若集合中含有参数,须对参数进行分类讨论,讨论时既不重复又不遗漏。 7、在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来。 8、要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用。 9、含有 n 个元素的集合的所有子集个数为: 2 ,所有真子集个数为: 2 -1 三、经典例题导讲 [例 1] 已知集合 M={y|y =x2+1,x∈R},N={y|y =x+1,x∈R},则 M∩N=( ) A、(0,1),(1,2) C、{y|y=1,或 y=2} B、{(0,1),(1,2)} D、{y|y≥1}
n n

?y ? x2 ?1 ?x ? 0 ?x ? 1 【错解】求 M∩N 及解方程组 ? 得? 或 ? ∴选 B ?y ? 1 ?y ? 2 ?y ? x ?1
【错因】在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么。事实上 M、N 的元素是数而不是实数对(x,y),因此 M、N 是数集而不是点集,M、N 分别表示函数 y=x2+1(x∈R), y=x+1(x∈R)的值域,求 M∩N 即求两函数值域的交集。 【正解】M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}。 ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴应选 D。

【备注】集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x2+1}、{y|y=x2+1,x∈ R}、 {(x,y)|y=x2+1,x∈ R},这三个集合是不同的。 例 2] 已知 A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0}且 A∪B=A,求实数 a 组成的集合 C。 【错解】由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 2。 ?x | x ? 2a ? 1, a ? Z ?当 x=1 时,a=2, 【错因】上述解答只注意了 B 为非空集合,实际上,B= 时,仍满足 A∪B=A。 当 a=0 时,B= ,符合题设,应补上,故正确答案为 C={0,1,2}。 【正解】∵A∪B=A ∴B A 又 A={x|x2-3x+2=0}={1,2}∴B= 或 ?? ?2? 1或 ∴C={0,1,2} 当 x=2 时,a=1。

[例 3]已知 m ? A,n ? B, 且集合 A= ?x | x ? 2a, a ? Z ?,B=,又 C= ?x | x ? 4a ? 1, a ? Z ?,则有: A。m+n ? A B。 m+n ? B C。m+n ? C D。 m+n 不属于 A,B,C 中任意一个

【错解】∵m ? A,∴m=2a,a ? Z ,同理 n=2a+1,a ? Z, ∴m+n=4a+1,故选 C 错因是上述解法缩小了 m+n 的取值范围。 【正解】∵m ? A, ∴设 m=2a1,a1 ? Z, 又∵n ? B ,∴n=2a2+1,a2 ? Z ,

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∴m+n=2(a1+a2)+1,而 a1+a2 ? Z , ∴m+n ? B, 故选 B。 [例 4] 已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},集合 B={x|p+1≤x≤2p-1}。若 B 【错解】由 x2-3x-10≤0 得-2≤x≤5。 欲使 B A,只须 ? A,求实数 p 的取值范围。

?? 2 ? p ? 1 ? ?3 ? p ? 3 ∴ p 的取值范围是-3≤p≤3。 ?2 p ? 1 ? 5

【错因】上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论,即 B= 时,符合题设。 【正解】①当 B≠ 时,即 p+1≤2p-1 由B p≥2。

A 得:-2≤p+1 且 2p-1≤5。由-3≤p≤3。∴ 2≤p≤3 p<2。由①、②得:p≤3。 B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏

②当 B= 时,即 p+1>2p-1

【点评】从以上解答应看到:解决有关 A∩B= 、A∪ B= ,A 解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题。

[例 5] 已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2}。若 A=B,求 c 的值。 分析:要解决 c 的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集 合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式。 解:分两种情况进行讨论。 (1)若 a+b=ac 且 a+2b=ac2,消去 b 得:a+ac2-2ac=0, a=0 时,集合 B 中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故 a≠0。 ∴c2-2c+1=0,即 c=1,但 c=1 时,B 中的三元素又相同,此时无解。 (2)若 a+b=ac2 且 a+2b=ac,消去 b 得:2ac2-ac-a=0, ∵a≠0,∴2c2-c-1=0, 即(c-1)(2c+1)=0,又 c≠1,故 c=-

1 。 2 1 ? A, a ? 1 且 1?A。 1? a

【点评】决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验。 [例 6] 设 A 是实数集,满足若 a∈A,则

⑴若 2∈A,则 A 中至少还有几个元素?求出这几个元素。 ⑵A 能否为单元素集合?请说明理由。 ⑶若 a∈A,证明:1-

1 ∈A。 a 1 ∈A ? 2∈A 2
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⑷求证:集合 A 中至少含有三个不同的元素。 解:⑴2∈A ? -1∈A ?

1 。 2 1 2 ⑵如果 A 为单元素集合,则 a= ,即 a ? a ? 1 =0,该方程无实数解,故在实数范围内,A 不可能 1? a
∴ A 中至少还有两个元素:-1 和 是单元素集。 ⑶a∈A ?

1 ∈A ? 1? a

1 1? 1 1? a

∈A?

1? a ? 1 A,即 1- ∈A。 a 1? a ?1

1 1 1 1 1 ∈A, 1- ∈A 。现在证明 a,1- , 三数互不相等。①若 a= ,即 a a 1? a 1? a 1? a 1 a2-a+1=0 ,方程无解,∴a≠ 。 1? a 1 1 ②若 a=1- ,即 a2-a+1=0,方程无解∴a≠1- 。 a a 1 1 1 1 ③若 1- = ,即 a2-a+1=0,方程无解∴1- ≠ 。 a 1? a a 1? a
⑷由⑶知 a∈A 时, 综上所述,集合 A 中至少有三个不同的元素。 【点评】⑷的证明中要说明三个数互不相等,否则证明欠严谨。 [例 7] 设集合 A={ a | a = n ? 1 , n ∈N+},集合 B={ b | b = k ? 4k ? 5 , k ∈N+},试证:A B。
2 2

证明:任设 a ∈A, 则 a = n ? 1 =( n +2)2-4( n +2)+5 ( n ∈N+),
2

∵ n∈N*,∴ n+2∈N* ∴ a∈B 故 ①

k 显然, ? A ? a | a ? n 2 ? 1, n ? N * , 1 而由 B={ b | b = k ? 4k ? 5 , k ∈N+}={ b | b = (k ? 2) 2 ? 1 , ∈N+}
2

?

?

知 1∈B,于是 A≠B 由①、② 得 A B。



【点评】 (1)判定集合间的关系,其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系。 (2)判定两集合相等, 主要是根据集合相等的定义。

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