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2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第22讲简单的三角恒等变换


新课标高中一轮 总复习

理数
1

第四单元

三角函数与平面向量

2

第22讲
简单的三角恒等变换

3

能运用同角三角函数的基本关系、 诱导公式、两角和与差的三角公式进 行简单的三角恒等变换.

4

1.在△ABC中,已知sin(A-B)cosB+cos(AB)sinB≥1,则△ABC是( A ) A.直角三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.等边三角形

由两角和的正弦公式得sinA≥1. 由弦函数有界性知,sinA=1,得A=90°.
5

1 ? cos8 =( B ) 2.化简: 1 ? sin8 2

A.-sin4 C.sin4-2cos4

B.2cos4-sin4 D.2sin4-cos4

2cos 2 4 原式= 1 ? 2sin cos 4 2 =|sin4-cos4|-|cos4|,又sin4-cos4<0,cos4<0,

所以原式=-sin4+cos4+cos4=2cos4-sin4.
6

3 1 3.化简: - cos2x+ 1 cos4x= sin4x . 8 2 8 3 1 1 原式= 8 - 2 (2cos2x-1)+ 8 (2cos22x-1) 2x+ 1 cos22x -cos 4 -cos2x+ 1 (2cos2x-1)2 4

3 = 4 = 3 4

=1-2cos2x+cos4x =(1-cos2x)2=sin4x.
7

4.若A-B=

? 6

,tanA-tanB=
3 4

2 3 3

,

则cosA· cosB=

.
tan A ? tan B 1 ? tan A tan B

tan(A-B)=

=

所以1+tanA· tanB=2,
cos A ? cos B ? sin A ? sin B 即 =2, cos A ? cos B 所以cosA· cosB= 1 cos(A-B)= 3 2 4

3 3

,

.
8

5.化简:tanα+tanβ+tanα· tanβ· tan(α+β) = tan(α+β) .
由tan(α+β)=
tan ? ? tan ? , 1 ? tan ? tan ?

可得tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanα· tanβ),
所以tanα+tanβ+tanα· tanβ· tan(α+β)=

tan(α+β).
9

三角变换的基本题型——化简、求值和 证明 (1)化简. 三角函数式化简的一般要求:三角函数 种数尽量少;项数尽量少;次数尽量低;尽 量使分母不含三角函数式;尽量使被开方数 不含三角函数式;能求出的值应尽量求出值. 依据三角函数式的结构特点,常采用的 变换方法:异角化同角;异名化同名;异次 化同次;高次降次. 10

(2)求值.
常见的有给角求值,给值求值,给值求角.

①给角求值的关键是正确地分析角(已 知角与未知角)之间的关系,准确地选用公 式,注意转化为特殊值.
②给值求值的关键是分析已知式与待求 式之间角、名称、结构的差异,有目的地将 已知式、待求式的一方或两方加以变换,找 出它们之间的联系,最后求待求式的值.
11

③给值求角的关键是求出该角的某一 三角函数值,讨论角的范围,求出该角. (3)证明.它包括无条件的恒等式和附 加条件恒等式的证明.常用方法:从左推 到右;从右推到左;左右互推.

12

典例精讲
题型一 恒等变换下的化简求值 例1 已知:tan2θ=- 2 2,2θ∈(

2cos
2

?

2

? sin ? ? 1

? ,π), 2

2 sin(? ? ) 4
13

?

的值.

因为2θ∈(
2 cos 2

2 tan ? tan2θ=- 2 2 ? 1 ? tan 2 ?=- 2 2 ? , 2 解得tanθ=或tanθ= , 2 2 ? ? ?

2

,π),所以θ∈( .2

, ),所以 4 2

tanθ>0,所以tanθ=
?

? ? ? 件可不可以变形或化简,然后看所求式子 2(sin ? ? cos ? cos ? ? sin ) 2 sin(? ? ) 4 4 4 能否化简,再看它们之间的相互联系,通 1? 2 cos ? ? sin ? = 过分析找到已知与所求的纽带. = = 2 2 ?3 sin ? ? cos ?

? sin ? ? 1 cos? ? sin ? 点评 对于附加条件求值问题,要先看条 2 =

1? 2

14

题型二 恒等变换下的拆角求值
? <α<π,0<β<π,求cos 2

例2 已知cos(α-

? 1 ? )=- ,sin( 2 -β)= 9 2
? 的值.? ?
2

2 ,且 3

分析

? ? 抓住已知角(α- ),( 2-β)与目标角 2 ? ? ?? ? ?? ? 的关系: =(α-2 )-( -β),因此先求 2 2 2 ? -β)的值,再代公式. ? 得sin(α- ),cos( 2 2
15

? ? 3? ? 所以0<α- <π,- < -β< . 4 2 2 2 1 ? ? 又因为cos(α- )=- <0,sin( -β)= 2 9 2 ? ? ? ? 所以 <α- 2<π,0< -β< , 2 2 2 ? 所以sin(α- )= 1 ? cos2 (? ? ? ) 2 2

? 因为 <α<π,0<β<π, 2

2 >0, 3

= =

1 2 1 ? (? ) 9

4 5 9

.
16

? 5 2 ? 1 ? sin ( ? ? ) = 1 ? ( 2 )2 = cos( -β)= , 2 2 3 3 ? ? ? ?? 故cos =cos[(α- )-( -β)] 2 2 2 ? ? ? ? =cos(α- )cos( -β)+sin(α- )sin( -β) 2 2 2 2
5+ 4 5 × 2 =(- )× 3 3 9 = 7 5 . 27
1 9
17

点评 根据已知角与目标角的联系,将题目
中的“目标角整体”变成“已知角整体”之 间的“和、差、倍、半、余、补、负”,应 用已知条件,直接解决问题.常用“凑角” 技巧:
α=(α-β)+β=(α+β)-β,2α+β=(α+β)+α, α= ? ? ? + ? ? ?, β=
2 ? ? ?2 2 ? ? ?, 2

2α=(α-β)+(α+β)等.
18

变式 已知cosα=

? α∈(0, ),α+β∈( 2

1 ,cos(α+β)=7 ?

11 ,且 14

,π),求β的值.
2

? 1 因为α∈(0, 2),且cosα= ,所以 7 sinα= 1 ? cos2 ? = 4 3, 7 11 ? 又因为α+β∈( ,π),cos(α+β)=- , 14 2 5 3 2 所以sin(α+β)= = , 1 ? cos (? ? ? ) 14
19

所以cosβ=cos[(α+β)-α]

=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=? 又α∈(0, ),α+β∈( 2
11 14

1 ×7

+

5 3 ×4 3 14 7

=

β∈(0,π),所以β=

? ,π),则 2 ? . 3

1 2

.

在给角求角的式子中,发现目标角与已知 点评

角的联系,将目标角用已知角表示,求得其某一 名三角函数值.但对于在(0,180°)间的角,选 用余弦或正切比选用正弦好,在(-90°,90°)间 的角,宜选用正弦.注意避开讨论,减少失误.20

题型三 恒等变换下的三角证明 例3 (1)已知2sinβ=sinα+cosα,
sin2γ=2sinα· cosα.
求证:cos2γ=2cos2β;

(2)已知5sinα=3sin(α-2β),
求证:tan(α-β)+4tanβ=0.

21

(1)4sin2β=1+2sinαcosα, 所以4sin2β=1+sin2γ, 所以1-sin2γ=2-4sin2β=2(1-2sin2β), 即cos2γ=2cos2β. (2)因为5sinα=3sin(α-2β), 所以5sin[(α-β)+β]=3sin[(α-β)-β]所以 点评 (1)结论中不含α,所以从条件中 5sin(α-β)· cosβ+5cos(α-β)· sinβ 消去α即可.(2)把条件中的角进行拆拼, =3sin(α-β)· cosβ-3cos(α-β)· sinβ, 使出现α-β,α,实现已知角向未知角转 所以2sin(α-β)·cosβ+8cos(α-β)· sinβ=0,依题意 化即可. ? ? 知,β≠kπ+ ,α-β≠kπ+ ,k∈Z. 2 2 22 所以tan(α-β)+4tanβ=0.

备选题
? a3=1+sin2α,其中 <α<π. 2 3 1 求:(1)2sin2α- cos4α+ 是数列{an}的第几项? 2 2 4 (2)若tan(π-α)= ,求数列{an}的前n项和Sn. 3

等比数列 {an}中,a2=sinα+cosα,

23

设数列{an}的公比为q,
1 ? sin 2? 则q= = sin ? ? cos ? a2 所以a1= q =1.

a3 a2

=

(sin ? ? cos ? ) 2 =sinα+cosα, sin ? ? cos ?

所以an=(sinα+cosα)n-1(n∈N*). (1)2sin2α = =
1 [4sin2α-(1-2sin22α)+3] 2 1 (2sin22α+4sin2α+2)=(1+sin2α)2 2 1 cos4α+ 2 1 cos4α+ 2 3 = 2 1 ×(4sin2α-cos4α+3) 2

=(sinα+cosα)4=a5, 所以2sin2α-

3 是数列{an}中的第5项. 2

24

4 4 (2)由tan(π-α)= ,得tanα=- , 3 3 ? 4 3 又 2 <α<π,所以sinα= ,cosα=- , 5 5 1 1 所以q=sinα+cosα= ,所以an=( )n-1, 5 5

故Sn=

1 2 1? ( ) 5 1 1? 5

=

5 4

-

1 1 n-1 ×( ) . 4 5

25

方法提炼
三角恒等变形的实质是对角、函数名称 及运算结构的转化,而转化的依据就是一 系列的三角公式,因此对三角公式在实现 这种转化中的应用应有足够的了解: (1)同角三角函数关系——可实现函数名 称的转化. (2)诱导公式及和、差、倍角的三角函 数——可以实现角的形式的转化. (3)倍角公式及其变形公式——可实现三 角函数的升幂或降幂的转化,同时也可完成 角的转化. 26

走进高考
上海卷)函数y=2cos2x+sin2x 学例1 (2009· 的最小值是 1- 2 .

? f(x)=cos2x+sin2x+1= 2 sin(2x+ 4 )+1, 所以最小值为1- 2.

27

山东卷)设函数 学例2 (2009·
? f(x)=cos(2x+ )+sin2x. 3

(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;
(2) 设 A,B,C 为 △ ABC 的 三 个 内 角 , 若
1 1 C cosB= ,f( )=- ,且C为锐角,求sinA. 4 3 2

28

? (1)f(x)=cos(2x+ 3 )+sin2x ? ? 1 ? cos 2 x =cos2xcos -sin2xsin + 3 3 2 1 3 = - sin2x. 2 2 ?

所以,当2x=- +2kπ(k∈Z),
2 ? 即x=- +kπ(k∈Z)时, 4

函数f(x)取得最大值,为 1 ? 3 ; 同时,f(x)的最小正周期为π.
2
29

1 3 3 (2)因为f( )= - sinC=- ,所以sinC= . 4 2 2 ? 因为C为锐角,所以C= 3 . 1 2 又因为在△ABC中,cosB= ,所以sinB= 2 . 3 3 C 2 1 2

所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC =
2 1 1 2× + × 3 3 2 3 2

=

2 2? 3 6

.

30

本节完,谢谢聆听
立足教育,开创未来
31


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