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2014届高三理科压轴题训练(函数、导数、不等式)


压轴题冲刺训练
1.已知函数 f ( x) ?

ex (a ? 0) , x 2 ? ax ? 1

(1) 试讨论函数 f ( x) 的单调区间; (2) 若不等式 f ( x) ? x 对于任意的 x ? [0, a ? 1] 恒成立,求 a 的取值范围。

2.己知函数 f ( x) ?

r />1 . ( x ? 1) ln( x ? 1)

(1) 求函数 f ( x) 的定义域; (2) 求函数 f ( x) 的增区间; (3) 是否存在实数 m ,使不等式 2 x ?1 ? ( x ? 1)m 在 ?1 ? x ? 0 时恒成立?若存在,求出实数 m 的取值范围; 若不存在,请说明理由.
1

3. 已知函数 f ( x) ? ln

x ?1 x ?1

(Ⅰ)求函数的定义域,并证明 f ( x) ? ln (Ⅱ)若 x ? [2, 6] f ( x) ? ln

x ?1 在定义域上是奇函数; x ?1

x ?1 m 恒成立,求实数 m 的取值范围; ? ln x ?1 ( x ? 1)(7 ? x)
2

(Ⅲ)当 n ? N 时,试比较 f (2) ? f (4) ? f (6) ? ... ? f (2n) 与 2n ? 2n 的大小关系.
*

21、(本小题13分)已知函数f ( x) ? ln(1 ? x) ? ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行。 (1)求实数a的值; 1 (2)若方程f(x)= (m ? 3 x)在 ? 2, 4 ? 上有两个不相等的实数根,求实数m的值范围; ? 4 (3)设常数p ? 1,数列?an ? 满足an ?1 ? an ? ln( p ? an)(n ? N ? ), a1 ? ln p.求证:an ?1 ? an .

5.已知函数 f (x)=

1? x ? ln x 。 ax 1 ,2]上的最大值和最小值。 2 n 1 ? 。 n ?1 n

(1)若函数 f (x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (2)当 a =1 时,求 f (x)在[

(3)求证:对于大于 1 的正整数 n, ln

6. 已 知 在 数 列

?a n ?

中 ,

a1 ? t , a 2 ? t 2 , 其 中 t ? 0 , x ? t

是 函 数

f ( x) ? a n ?1 x 3 ? 3[(t ? 1)a n ? a n ?1 ]x ? 1(n ? 2) 的一个极值点.
(1)求数列 ?a n ?的通项公式;
n ? 2a n 1 1 1 1 * n (n ? N ) ,求证: ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 . (2)若 ? t ? 2 , bn ? 2 b1 b2 bn 2 1 ? an

7.已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, a ? R. (I)当 a=-1 时,求 f(x)的最大值; ( II ) 对 f ( x) 图 象 上 的 任 意 不 同 两 点 P ( x1 , x2 ), P( x2 , y2 )(0 ? x1 ? x2 ) , 证 明 f ( x) 图 象 上 存 在 点 1

P0 ( x0 , y0 ), 满足x1 ? x0 ? x2 ,且 f ( x) 图象上以 P0 为切点的切线与直线 P1P2 平行;
(III)当 a ? 范围。

3 * 时,设正项数列 {an } 满足: an ?1 ? f '(an )(n ? N ), 若数列 {a2 n } 是递减数列,求 a1 的取值 2

答案:
1.已知函数 f ( x) ?

ex (a ? 0) , x 2 ? ax ? 1

(1)试讨论函数 f ( x) 的单调区间; (2)若不等式 f ( x) ? x 对于任意的 x ? [0, a ? 1] 恒成立,求 a 的取值范围。

解: (1)

f / ( x) ?

e x ( x 2 ? ax ? 1 ? 2 x ? a) e x ( x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? a) e x ( x ? 1)( x ? (a ? 1)) ? ? ( x 2 ? ax ? 1) 2 ( x 2 ? ax ? 1) 2 ( x 2 ? ax ? 1) 2 e x ( x ? 1) 2 ? 0,? f ( x) 在 R 上单调递增 ( x 2 ? 1) 2

当a

? 0 时,函数定义域为 R , f / ( x) ?

当 a ? (0, 2) 时,? ?

? a 2 ? 4 ? 0,? x 2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立,函数定义域为 R ,又 a ? 1 ? 1,? f ( x) 在 (??,1) 单

调递增, (1,1 ? a) 单调递减, (1 ? a, ??) 单调递增

当a

? 2 时,函数定义域为 (??,1) ? (1, ??) ,

f / ( x) ?

e x ( x ? 3) ,? f ( x) 在 (??,1) 单调递增, (1,3) 单调递减, ( x ? 1)

(3, ??) 单调递增
当 a ? (2, ??) 时,? ? 根,且

? a 2 ? 4 ? 0, 设 x 2 ? ax ? 1 ? 0 的两个根为 x1 , x2 , 且 x1 ? x2 ,由韦达定理易知两根均为正
,所以函数的定义域为

0 ? x1 ? 1 ? x2

(??, x1 ) ? ( x2 , ??)

, 又 对 称 轴

x?

a ? a ?1 2

, 且

(a ? 12) ? a ( ? 1 ? 1a ? 2? 2 0x a ) ? ?
减, (1 ? a, ??) 单调递增 (2)由(1)可知当 a 当a

a,??f1 x) 在 (??, x1 ), ( x1 ,1) 单调递增, (1, x2 ), ( x2 , a ? 1) 单调递 ? (

? 2 时, x ? [ x1 , x2 ] ? [0, a ? 1] 时,有 f ( x) ? 0 即 f ( x) ? x 不成立,
e ? 1, f ( x) 单调递增,所以 f ( x) ? x 在 x ?[0, a ? 1] 上成立 2
e ea ?1 ? 1, f (1 ? a) ? , 2?a a?2

? 0 时, f (0) ? 1, f (1) ?

当 a ? (0, 2) 时,

f (0) ? 1, f (1) ?

下面证明:

f (1 ? a) ?
x

ea ?1 ? a ? 1 即证 e x ? ( x ? 1) x ? 0( x ? a ? 1? (1,3)) a?2

令 g ( x) ? e

? ( x ? 1) x, g / ( x) ? e x ? 2 x ? 1, g / / ( x) ? e x ? 2

? x ? (1,3),? g / / ( x) ? 0,? g / ( x) 单调递增,? g / (1) ? 0, g / (3) ? 0,??x0 使得 g / ( x0 ) ? e x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0

? g ( x)



(1, x0 )















( x0 ,3)

















2 2 2 g ( x) ? g ( x0 ) ? e x0 ? x0 ? x0 ? 2 x0 ? 1 ? x0 ? x0 ? ? x0 ? x0 ? 1

1? 5 1? 5 1? 5 1? 5 1? 5 2 ?g ( )?e ? 2?( ) ? 1 ? e 2 ? (2 ? 5) ? 0,? x0 ? ? g ( x0 ) ? 0 2 2 2 /

所以不等式 e

x

? ( x ? 1) x ? 0( x ? a ? 1? (1,3)) 所以 f (1 ? a) ?

ea ?1 ? a ?1 a?2

由 (1) 知

所以不等式 f ( x) ? x 对于任意的 x ? [0, a ? 1] 恒成立当 a ? 2 f ( x) 在 (0,1) 单调递增,(1,1 ? a) 单调递减,

时,由函数定义域可知 1? [0,3] ,显然不符合题意 综上所述,当 a ? [0, 2) 时,不等式

f ( x) ? x 对于任意的 x ?[0, a ? 1] 恒成立

2.己知函数 f ( x) ?

1 . ( x ? 1) ln( x ? 1)
1 x ?1

(1) 求函数 f ( x) 的定义域;

(2) 求函数 f ( x) 的增区间;

(3) 是否存在实数 m ,使不等式 2 若不存在,请说明理由.

? ( x ? 1)m 在 ?1 ? x ? 0 时恒成立?若存在,求出实数 m 的取值范围;

解:(1)函数 f ( x) 的定义域是 x x ? R, x ? ?1且x ? 0 . ……3 分

?

?

(2)

f ?( x) ? ?
?1

ln( x ? 1) ? 1 ?函数 f ( x) 的增区间为 (?1, e?1 ? 1) . 2 2 ( x ? 1) ln ( x ? 1)

………8 分

(3)? e

? 1 ? x ? 0, ? e?1 ? x ? 1 ? 1. ??1 ? ln( x ? 1) ? 0. ? ln( x ? 1) ? 1 ? 0

? e?1 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? ?

ln( x ? 1) ? 1 ? 0. ?在区间 ? ?1, 0 ? 上, ( x ? 1) 2 ln 2 ( x ? 1)
1

当x?e

?1

? 1 时, f ( x) 取得最大值.

?? f ( x)?最大 ? f (e?1 ? 1) ? ?e .

m ? 2 x?1 ? (x ? 1) 在 ?1 ? x ? 0 时恒成立.

?

ln 2 1 在 ?1 ? x ? 0 时恒成立. ln 2 ? m ln( x ? 1) 在 ?1 ? x ? 0 时恒成立.? m ? ( x ? 1) ln( x ? 1) x ?1 ln 2 在 ?1 ? x ? 0 时的最大值等于 ?e ln 2 .?m ? ?e ln 2. ( x ? 1) ln( x ? 1)
1 x ?1

?

?当 m ? ?e ln 2 时,不等式 2
3. 已知函数 f ( x) ? ln

? ( x ? 1)m 在 ?1 ? x ? 0 时恒成立.………14 分

x ?1 x ?1 (Ⅰ)求函数的定义域,并证明 f ( x) ? ln 在定义域上是奇函数; x ?1 x ?1
x ?1 m ? ln 恒成立,求实数 m 的取值范围; x ?1 ( x ? 1)(7 ? x)

(Ⅱ)若 x ? [2, 6] f ( x) ? ln

(Ⅲ)当 n ? N 时,试比较 f (2) ? f (4) ? f (6) ? ... ? f (2n) 与 2n ? 2n 的大小关系.
* 2

解: (Ⅰ)函数的定义域为 (??, ?1) ? (1, ??) 证明奇函数略

(Ⅱ)由 x ? [2, 6] 时,

f ( x) ? ln

x ?1 m 恒成立, ? ln x ?1 ( x ? 1)(7 ? x)



x ?1 m ? ? 0,? x ? [2, 6] ∴ 0 ? m ? ( x ? 1)(7 ? x) 在 x ? [2, 6] 成立 x ? 1 ( x ? 1)(7 ? x)
2

令 g ( x) ? ( x ? 1)(7 ? x) ? ?( x ? 3)

? 16 , x ? [2, 6] ,由二次函数的性质可知

x ? [2,3] 时函数单调递增, x ? [3, 6] 时函数单调递减, x ? [2, 6] 时, g ( x)min ? g (6) ? 7 ∴ 0 ? m ? 7

3 5 7 2n ? 1 f (2) ? f (4) ? f (6) ? ??? ? f (2n) = ln ? ? ????? ? ln(2n ? 1) 1 3 5 2n ? 1 1? x 证法一:设 h( x) ? ln x ? ( x ? 1)( x ? 1) , x ? [1, ??) 则 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? ? 0 ,即 h( x) 在 (1 , ??) 上 x
(Ⅲ) 递减,所以 h( x) ? h(1) ? 0 , 则当 x 故 ln x ?

x ? 1 ln x ? x ? 1在 x ? [1, ??) 成立,

? 2n ? 1(n ? N ? ) 时, ln(2n ? 1) ? 2n ? 2n2 ? 2n 成立.………14 分

证法二:构造函数 h( x)

? ln(1 ? x) ? ( x ?

x2 1 ? x2 ? 2 x )( x ? 0) , h?( x) ? ? x ?1 ? 2 x ?1 x ?1 x2 ) 在 (0, ??) 单调递减,? h( x) ? h(0) ? 0 2
……12 分

当x

? 0 时, h?( x) ? 0 ,∴ h( x) ? ln(1 ? x) ? ( x ?
?
2

当 x ? 2n ( n ? N )时, ln(1 ? 2n) ? (2n ? 2n

) ? 0 ? ln(1 ? 2n) ? 2n ? 2n2

21、(本小题13分)已知函数f ( x) ? ln(1 ? x) ? ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行。 (1)求实数a的值; 1 (2)若方程f(x)= (m ? 3 x)在 ? 2, 4 ? 上有两个不相等的实数根,求实数m的值范围; ? 4 (3)设常数p ? 1,数列?an ? 满足an ?1 ? an ? ln( p ? an)(n ? N ? ), a1 ? ln p.求证:an ?1 ? an .

21、()f ' ( x) ? 1

1 1 1 1 ? a,? f ' (1) ? -a由题意知 -a ? ? ? a ? 1 x ?1 2 2 2 4 ?1 1? x

(2)由()f(x)=ln(1+x)-x,? 原方程为4ln(1+x)-x=m,设g(x)=4ln(1+x)-x,得g ' ( x) ? 1 ?

3? x ,?当3 ? x ? 4时, g ' ( x) ? 0, 当2 ? x ? 3时,g ' ( x) ? 0, g ' (3) ? 0, g ( x)在 ? 2,? 上是增函数, 3 1? x 在 ?3,4 ? 上是减函数。 g(x)max ? 4 ln 4 ? 3, 又g (2) ? 4 ln 3 ? 2, g (4) ? 4 ln 5 ? 4。 ? 9e ? 0 ? g (2) ? g (4). 25 ? a的取值范围是 ? 4 ln 5 ? 4,ln 4 ? 3 ?。 4 由g (2) ? g (4) ? 2 ln (3)证明:由f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)有f ' ( x) ? 1 x ?1 ? ,f ' (0) ? 0,当x ? 0时, x ?1 1? x f ' ( x) ? 0, 当-1 ? x ? 0时,f ' ( x) ? 0, f ( x)在 ? 0, ?? ? 上是增函数, f ( x)在 ? ?1,? 上是减函数. f(x)max ? 0, 在 ? ?1, ?? ? 上f(x) ? 0 ?ln(1+x) ? x。又p>a n 0 ? ? p ? a n ? 1 ? ?1,由an ?1 ? an ? ln (p-a n ) ? ln (1+p-1-a n ),? an ?1 ? an ? p-1-a n , 即an ?1 ? p ? 1, ?当n ? 2时,an ?1 ? an ? ln (p-a n ) ? ln ? p ? ( p ? 1)? 0,即an ?1 ? an。 ? 当n ? 1时,a2 ? a1 ? ln( p ? ln p ),由 ln p ? ln(1 ? p ? 1)) ? p ? 1 ( ? a2 ? a1 ? ln( p ? p ? 1)) ? a1 , 结论成立。 ( ? 对n ? N ? , an ?1 ? an

5.已知函数 f (x)=

1? x ? ln x 。 ax 1 ,2]上的最大值和最小值。 2 n 1 ? 。 n ?1 n

(1)若函数 f (x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (2)当 a =1 时,求 f (x)在[

(3)求证:对于大于 1 的正整数 n, ln 解: (1)a≥1
(2)易证 x=1 是 f (x 在[

1 ,2]上唯一的极小值点,∴ 2

[f (x)]min=f (1)=0

ln e3 ? ln 24 3 1 1 又f (2)= -2ln2= >0, ∴f ( )>f (2), ∴[f (x)] =f ( )=1-ln2 2 2 2 2 1? x n (3)由(1)知 f (x)= ,则 x>1,故 f ? ln x 在[1,+∞)上为增函数,当 n>1 时,令 x= x n ?1

1 ( )-f 2

max

(x)>f (1)=0,

即f

n 1? n n ? 1 +ln n =- 1 +ln n >0,∴ln n > 1 ( )= n n ?1 n ?1 n n ?1 n ?1 n n ?1

6. 已 知 在 数 列

?a n ?

中 ,

a1 ? t , a 2 ? t 2 , 其 中 t ? 0 , x ? t

是 函 数

f ( x) ? a n ?1 x 3 ? 3[(t ? 1)a n ? a n ?1 ]x ? 1(n ? 2) 的一个极值点.
(1)求数列 ?a n ?的通项公式;

(2)若

n ? 2a n 1 1 1 1 (n ? N * ) ,求证: ? ? ? ? ? 2n ? 2 2 . ? t ? 2 , bn ? 2 b1 b2 bn 2 1 ? an

解:(1) 由题意得: f ( t ) ? 0 ,即 3an ?1t ? 3[(t ? 1)an ? an ?1 ] ? 0
'

故 a n ?1 ? a n ? t (a n ? a n ?1 )( n ? 2) ,则当 t ? 1 时,数列 ?a n ?1 ? a n ?是以

t 2 ? t 为首项, t 为公比的等比数列,所以 a n ?1 ? a n ? (t 2 ? t )t n ?1



a n ? a1 ? (a 2 ? a1 ) ? (a3 ? a 2 ) ? ? ? (a n ? a n ?1 ) ? t ? (t 2 ? t )[1 ? t ? t 2 ? ? ? t n ? 2 ] ? t ? (t 2 ? t ) ? 1 ? t n ?1 ? tn 1? t
n *

此式对 t ? 1 也成立,所以 a n ? t (n ? N ) (2)

1 1 1 1 1 ? (a n ? ) ? (t n ? t ?n ) ,因为 ? t ? 2 ,所以 (2t ) n ? 1, t n ? 2 n , bn 2 an 2 2
n ?n n ?n)

则 (2 ? 2 ) ? (t ? t

)?

1 1 1 (2 n ? t n )[( 2t ) n ? 1] ? 0 ,有 ? (2 n ? 2 ? n ) n bn 2 (2t )



1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? [( 2 ? ) ? (2 2 ? 2 ) ? ? ? (2 n ? n )] b1 b2 bn 2 2 2 2
n)

1 1 1 1 2(1 ? 2 ? ??? ? [ b1 b2 bn 2 1 ? 2

1 1 (1 ? n ) 2 ] ? 2 n ? 1 (1 ? 1 ) ?2 1 2 2n 1? 2
n

? 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2n ? ? 2 n ? 2n ? 2 2 b1 b2 bn 2 2

7.已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, a ? R. (I)当 a=-1 时,求 f(x)的最大值; ( II ) 对 f ( x) 图 象 上 的 任 意 不 同 两 点 P ( x1 , x2 ), P( x2 , y2 )(0 ? x1 ? x2 ) , 证 明 f ( x) 图 象 上 存 在 点 1

P0 ( x0 , y0 ), 满足x1 ? x0 ? x2 ,且 f ( x) 图象上以 P0 为切点的切线与直线 P1P2 平等;
(III)当 a ? 范围。

3 * 时,设正项数列 {an } 满足: an ?1 ? f '(an )(n ? N ), 若数列 {a2 n } 是递减数列,求 a1 的取值 2


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