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2015-2016年北京昌平高三上学期期末数学(理科)试题与答案


2015-2016 年北京昌平高三上学期期末理科数学试题及答案

昌平区 2015-2016 学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷(理科)
第Ⅰ卷(选择题
一、

2016.1

共 40 分)

选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分

.在每小题列出的四个选项中,选

出符合题目要求的一项.) (1)若集合 Α ? ??2, ?1, 0,1, 2? , Β ? x | x 2 ? 1 ,则 Α ? Β = A. {x | x ? ?1或x ? 1} C. ?2? B. ??2, 2? D. {0}

?

?

(2) 下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是 A. y ?

x

B.

y?

1 x

C. y ? ( )

1 2

x

D. y ? log 1 x
2

(3) 已知两点 O(0, 0), A(?2, 0) ,以线段 OA 为直径的圆的方程是 A. ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 C. ( x ?1) ? y ? 1
2 2

B. ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 D. ( x ? 1) ? y ? 1
2 2

(4) 在 ?ABC 中, a A.19

? 3, c ? 2, B ?
B.7

? ,则 b ? 3
C.

19

D. 7

⑸ 某三棱锥的三视图如图所示,则该三 棱锥四个面的面积中最大的是 A.

2 3 正(主)视图 1 2 俯视图 1 侧(左)视图

5

B. 3 C.

3 5 2

D. 3 5

( 6 )已知函数 f (x) 的部分对应值如表所示 . 数列 {an } 满足 a1 ? 1, 且对任意 n ? N ,点
*

(an , an ?1 ) 都在函数 f ( x) 的图象上,则 a2016 的值为
x
1 3 B.2 2 1 3 2 C. 3 4 4 D. 4

f ( x)
A.1

? y ? 0, ? ⑺ 若 x, y 满足 ? x ? y ? 3 ? 0, 且 z ? 2 x ? y 的最大值为 4,则 k 的值为 ? kx ? y ? 3 ? 0, ?
A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

2 3

D.

2 3

(8) 某大学进行自主招生时, 需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测 试的 200 名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、 乙、丙三位同学的排名情况如下图所示:

200 总 成 绩 排 名

200 阅 读 表 达 成 绩 排 名







O

逻辑思维成绩排名 200

O

逻辑思维成绩排名

200

下列叙述一定正确的是 A.甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 B.乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 C.甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 D.乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

2 6 (9)在 (2 x ? ) 的展开式中,常数项是

1 x

(用数字作答).

(10) 双曲线 C :

x2 y 2 某抛物线的焦点与双曲线 C ? ? 1的渐近线方程为__________________; 9 16

的右焦点重合,则此抛物线的标准方程为____________. (11)执行如图所示的程序框图, 输出的 S 值为_______.

(12)将序号为 1,2,3,4 的四张电影票全部分给 3 人,每人至少一张. 要求分给同一人 的两张电影票连号,那么不同的分法种数为________________.(用数字作答) ( 13 ) 如 图 , 在 矩 形 ABCD 中 , D P ? 3 P C, 若

? ? ??

? ? ??

??? ? ??? ? ???? P B? m A B ? nA ,则 D m ? ______;

D

P

C

n ? _________.
A
2

B

(14)已知函数 f ( x) ?| x ? 3x |, x ? R. 若方程 f ( x) ? a | x ? 1|? 0 恰有 4 个互异的实数根, 则实数 a 的取值范围是_____________________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (15)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) =

3sin( π ? x)cos x ? cos 2 x .

(I) 求函数 f ( x) 的最小正周期;

(II)求函数 f ( x) 的单调递减区间.

(16)(本小题满分 13 分) 小王为了锻炼身体, 每天坚持 “健步走” , 并用计步器进行统计.小王最近 8 天 “健步走” 步数的频数分布直方图(图 1)及相应的消耗能量数据表(表 1)如下.
频数(天) 3 2 1 O 16 17 18 19 步数(千步)

图1 (Ⅰ)求小王这 8 天 “健步走”步数的平均数;

表1

(Ⅱ)从步数为 16 千步,17 千步,18 千步的几天中任选 2 天,设小王这 2 天通过健步 走消耗的“能量和”为 X ,求 X 的分布列.

(17)(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , ?PAD 为等边三角形,

AB ? AD ?

1 CD , AB ? AD , AB // CD ,点 M 是 PC 的中点. 2
P D A B

(I)求证: MB // 平面 PAD ; (II)求二面角 P ? BC ? D 的余弦值; (III)在线段 PB 上是否存在点 N ,使得

M C

DN ? 平面 PBC ?若存在,请求出
的值;若不存在,请说明理由.

PN PB

(18)(本小题满分 13 分)

已知函数 f ? x ? ? 2 ln ? x ? 1? . (Ⅰ)若函数 f ? x ? 在点 P ? x0 ,f ? x0 ? ? 处的切线方程为 y ? 2 x ,求切点 P 的坐标; (Ⅱ)求证:当 x ? [0,e ? 1] 时, f ? x ? ? x 2 ? 2 x ;(其中 e ? 2.71828 ??? ) (Ⅲ)确定非负实数 ....a 的取值范围,使得 ?x ? 0, f ? x ? ? a 2 x ? x

?

2

? 成立.

(19)(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,点 ( 3, ) 在椭圆 C 上. 直线 l 过点 2 2 a b 2

(1,1) ,且与椭圆 C 交于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 M .
(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 O 为坐标原点,延长线段 OM 与椭圆 C 交于点 P ,四边形 OAPB 能否为平行 四边形?若能,求出此时直线 l 的方程,若不能,说明理由.

(20)(本小题满分 14 分) 对于任意的 n ? N * ,记集合 En ? {1,2,3, ???, n} , Pn ? ? x x ?

? ?

? a , a ? En , b ? En ? .若 b ?

集合 A 满足下列条件:

k ? N * ,使 x1 ? x2 ? k ,则称 A 具有 ① A? P n ;② ?x1 , x2 ? A ,且 x1 ? x2 ,不存在
2

性质 ? . 如当 n ? 2 时, E2 ? {1, 2} , P2 ? {1, 2,

1 2 , } . ?x1 , x2 ? P 2 ,且 x1 ? x2 ,不存在 2 2

?. k ? N * ,使 x1 ? x2 ? k 2 ,所以 P 2 具有性质 ?. (Ⅰ) 写出集合 P 3, P 5 中的元素个数,并判断 P 3 是否具有性质

(Ⅱ)证明:不存在 A, B 具有性质 ? ,且 A ? B ? ? ,使 E15 ? A ? B . (Ⅲ)若存在 A, B 具有性质 ? ,且 A ? B ? ? ,使 P n ? A ? B ,求 n 的最大值.

昌平区 2015-2016 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷参考答案(理科) 2016.1

一.

选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选

出符合题目要求的一项.) 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 D 5 C 6 B 7 A 8 C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)60 (10) y ? ?

4 x; y 2 ? 20 x 3

(11)

5 2

(12)18

(13)

1 ; ?1 4

(14) (0,1) ? (9, ??)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (15)(本小题满分 13 分) 解:(I) f ( x) =

3 sin x cos x ? cos2 x

=

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

π 1 = sin(2 x ? ) ? 6 2
所以 最小正周期 T =

2π 2π = = π. ω 2

…………………………..7 分

(II) 由 得

π π 3π + 2kπ ? 2 x ? + 2kπ, k ? Z, 2 6 2
?????????11 分

π 5π + kπ ? x ? + kπ, k ? Z. 3 6

所以函数 f ( x) 的单调递减区间是 [ + kπ,

π 3

5π + kπ], k ? Z. ?????13 分 6

(16)(本小题满分 13 分) 解: (I) 小王这 8 天 “健步走”步数的平均数为
16 ? 3 ? 17 ? 2 ? 18 ?1 ? 19 ? 2 ? 17.25 (千步). 8

…………………………..4 分

(II) X 的各种取值可能为 800,840,880,920.
P( X ? 800) ?
1 1 C32 1 C3 C2 2 , ? P ( X ? 840) ? ? , 2 2 C6 5 C6 5

2 C1C 1? C 2 4 P( X ? 8 8 0 ?) 3 1 2 ? C6 15

P , ( X ? 920) ?

1 1 C2 C1 2 ? , 2 C6 15

X 的分布列为: X P
800 1 5 840 2 5 880 4 15 920 2 15

…………………………..13 分 (17)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:取 PD 中点 H ,连结 MH , AH . 因为 M 为 PC 中点 , 所以 HM // CD, HM ?

z P H D A x O B K y M C

1 CD . 2

因为 AB // CD, AB ?

1 CD . 2

所以 AB / / HM 且 AB ? HM . 所以四边形 ABMH 为平行四边形, 所以 BM // AH . 因为 BM ? 平面PAD ,

AH ? 平面 PAD , 所以 BM // 平面 PAD .
(Ⅱ) 取 AD 中点 O ,连结 PO. 因为 PA ? PD , 所以 PO ? AD . 因为 平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD I 平面 ABCD ? AD ,

…………………………..4 分

PO ? 平面 PAD ,
所以 PO ? 平面ABCD . 取 BC 中点 K ,连结 OK ,则 OK / / AB. 以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 设 AB ? 2, 则 A(1, 0, 0), B (1, 2, 0), C ( ?1, 4, 0), D( ?1, 0, 0), P(0, 0, 3),

uuu r uur BC ? (?2, 2, 0), PB ? (1, 2, ? 3) .
平面 BCD 的法向量 OP ? (0, 0, 3) , 设平面 PBC 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,

uuu r

ur

uuu r ur ? BC ? ? n ? 0, ? ??2 x ? 2 y ? 0, 由 ? uur ur 得? ? x ? 2 y ? 3z ? 0. ? ? PB ? n ? 0, ? ur 令 x ? 1 ,则 n ? (1,1, 3) .
uuu r r uuu r ur OP ? n 15 cos ? OP, n ?? uuu r ur ? . 5 | OP || n |
由图可知,二面角 P ? BC ? D 是锐二面角, 所以二面角 P ? BC ? D 的余弦值为 (Ⅲ) 不存在. 设点 N ( x, y, z ) ,且 则 PN ? ? PB, 所以 ( x, y, z ? 3) ? ? (1, 2, ? 3) .

15 . 5

…………………………..9 分

PN ? ? , ? ? [0,1] , PB

??? ?

??? ?

? x ? ?, ? 则 ? y ? 2? , ? ? z ? 3 ? 3?.
所以 N (? , 2? , 3 ? 3? ) , DN ? (? ? 1, 2? , 3 ? 3? ) . 若 DN ? 平面PBC ,则 DN / / n , 即 ? ? 1 ? 2? ?

uuu r

uuu r

ur

3 ? 3? ,此方程无解, 3
…………………………..14 分

所以在线段 PB 上不存在点 N ,使得 DN ? 平面PBC .

(18)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:定义域为 (?1, ??) , f ' ? x ? ?

2 . x ?1

由题意, f ' ? x0 ? ? 2 ,所以 x0 ? 0, f ? 0 ? ? 0 ,即切点 P 的坐标为 (0, 0) . ………3 分 (Ⅱ)证明:当 x ? [0,e ? 1] 时, f ? x ? ? x 2 ? 2 x ,可转化为 当 x ? [0,e ? 1] 时, f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 0 恒成立. 设 g ( x) ? f ? x ? ? x 2 ? 2 x , 所以原问题转化为当 x ? [0, e ? 1] 时, g ? x ?min ? 0 恒成立. 所以 g '( x) ?
2 4 ? 2 x2 . ? 2x ? 2 ? x ?1 x ?1

令 g '( x) ? 0 ,则 x1 ? ? 2 (舍), x2 ? 2 . 所以 g ( x) , g '( x ) 变化如下:
x
g '( x )

0

(0, 2)

2

( 2,e ? 1)

e ?1

?
g (0)

0 极大值

? ↘
g (e ? 1)

g ( x)



因为 g (0) ? f ? 0 ? ? 0 ? 0 , g (e ? 1) ? 2 ? (e ? 1) 2 ? 2(e ? 1) ? 2 ? (e ? 1)(3 ? e) ? 0 , 所以 g ( x) min ? 0 . 当 x ? [0,e ? 1] 时, f ? x ? ? x 2 ? 2 x 成立. (Ⅲ)解: ?x ? 0, f ? x ? ? a 2 x ? x 当 x ? 0 时, f ? x ? ? a 2 x ? x ………………..8 分

?

2

? ,可转化为

?

2

? ? 0 恒成立.

设 h( x ) ? f ? x ? ? a ? 2 x ? x 2 ? , 所以 h '( x) ?
2 2(ax 2 ? 1 ? a) . ? 2a ? 2ax ? x ?1 x ?1
2 ?0, x ?1

⑴当 a ? 0 时,对于任意的 x ? 0 , h '( x) ?

所以 h( x) 在 [0, ??) 上为增函数,所以 h( x) min ? h ? 0 ? ? 0 , 所以命题成立. 当 a ? 0 时,令 h '( x) ? 0 ,则 ax 2 ? 1 ? a ? 0 , ⑵当 1 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,对于任意的 x ? 0 , h '( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 [0, ??) 上为增函数,所以 h( x) min ? h ? 0 ? ? 0 ,

所以命题成立. ⑶当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时, a ?1 1 a ?1 ? 1? ? 0. 则 x1 ? ? (舍), x2 ? a a a 所以 h( x) , h '( x) 变化如下:
x
h '( x)

0

(0, x2 )

x2

( x2 , ??)

? ↘

0 极小值

? ↗

h( x )

因为 h( x) min ? h( x2 ) ? h ? 0 ? ? 0 , 所以,当 x ? 0 时,命题不成立. 综上,非负实数 a 的取值范围为 [0,1] . …………………………..13 分

(19)(本小题满分 13 分)

? c 3 , ?e ? ? a 2 ? 1 ?3 解:(I)由题意得 ? 2 ? 2 ? 1, 4b ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? ?
所以椭圆 C 的方程为

解得 a ? 4, b ? 1 .
2 2

x2 ? y 2 ? 1. 4

…………………………..5 分

(Ⅱ)四边形 OAPB 能为平行四边形. 法一: (1)当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为 x ? 1 满足题意; (2)当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l : y ? kx ? m ,显然 k ? 0, m ? 0 .

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) .
将 y ? kx ? m 代入

x2 ? y 2 ? 1. 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 , 4

? ? (8km) 2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m 2 ? 4) ? 0, x1 ? x2 ?

?8km . 4k 2 ? 1

故 xM ?

x1 ? x2 4km ?? 2 , 2 4k ? 1

yM ? kxM ? m ?

1 m y 1 .于是直线 OM 的斜率 kOM ? M ? ? ,即 kOM ? k ? ? . 2 4 4k ? 1 xM 4k
4k (k ? 1) . 4k 2 ? 1

由直线 l : y ? kx ? m (k ? 0, m ? 0) ,过点 (1,1) ,得 m ? 1 ? k ,因此 xM ?

OM 的方程为 y ? ?

1 x .设点 P 的横坐标为 xP . 4k

1 ? y ? ? x, ? 16k 2 ?4k ? 4k 由? 2 得 xP 2 ? ,即 xP ? . 2 4k ? 1 4k 2 ? 1 ? x ? y 2 ? 1, ? ?4
四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP ? 2 xM .于是

?4k 4k 2 ? 1

? 2?

3 5 4k (k ? 1) .由 k ? 0 ,得 k ? , m ? . 满足 ? ? 0. 2 8 8 4k ? 1

所以直线 l 的方程为 y ?

3 5 x ? 时,四边形 OAPB 为平行四边形. 8 8 3 5 综上所述:直线 l 的方程为 y ? x ? 或 x ? 1 . ………………………….13 分 8 8

法二: (1)当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为 x ? 1 满足题意; (2)当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l : y ? kx ? m ,显然 k ? 0, m ? 0 , A( x1 , y1 ) ,

B( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) .
将 y ? kx ? m 代入

x2 ? y 2 ? 1. 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 , 4

? ? (8km) 2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m 2 ? 4) ? 0, x1 ? x2 ?
故 xM ?

?8km . 4k 2 ? 1

x1 ? x2 4km ?? 2 , 2 4k ? 1 m yM ? kxM ? m ? 2 . 4k ? 1

四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 ?

? xP ? 2 xM , . ? yP ? 2 yM .

(?


8km 2 ) 4k 2 ? 1 ? ( 2m )2 ? 1 . 4 4k 2 ? 1

由直线 l : y ? kx ? m (k ? 0, m ? 0) ,过点 (1,1) ,得 m ? 1 ? k .



(16k 2 ? 4)(1 ? k )2 ?1, (4k 2 ? 1)2
2

则 (4k ? 1)(8k ? 3) ? 0 .

3 5 , m ? . 满足 ? ? 0. 8 8 3 5 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 时,四边形 OAPB 为平行四边形. 8 8 3 5 综上所述:直线 l 的方程为 y ? x ? 或 x ? 1 . …………………………..13 分 8 8
则k ?

(20)(本小题满分 14 分)

?. (Ⅰ) 解:集合 P 3, P 5 中的元素个数分别为 9,23, P 3 不具有性质

……………..6 分

( Ⅱ ) 证 明 : 假 设 存 在 A, B 具 有 性 质 ? , 且 A ? B ? ? , 使 E15 ? A ? B . 其 中

E15 ? {1, 2,3, ???,15} .
2 因为 1? E15 ,所以 1 ? A ? B ,不妨设 1 ? A .因为 1 ? 3 ? 2 ,所以 3 ? A , 3 ? B .同

理 6 ? A , 10 ? B , 15 ? A .因为 1 ? 15 ? 4 ,这与 A 具有性质 ? 矛盾.
2

所以假设不成立,即不存在 A, B 具有性质 ? ,且 A ? B ? ? ,使 E15 ? A ? B .…..10 分 (Ⅲ) 因为当 n ? 15 时,E15 ? P 由 (Ⅱ) 知, 不存在 A, B 具有性质 ? , 且 A? B ? ?, n, 使P n ? A? B. 若 n ? 14, 当 b ? 1 时 , ? x x?

? ?

? a , a ? 1E 4? ? 1 ?

1 , 2 , 4 , 6 , 9 ,?1, 1, 1 3 E 1 ?? 1, 4 取 A

B1 ? ?3,5,7,8,10,12,14? ,则 A1 , B1 具有性质 ? ,且 A1 ? B1 ? ? ,使 E14 ? A1 ? B1 .
当 b ? 4 时 , 集 合 ?x x ?

? ?

? a , a ? E14 ? 中 除 整 数 外 , 其 余 的 数 组 成 集 合 为 4 ?

1 3 5 13 1 { , , , ? ??, } ,令 A2 ? { , 2 2 2 2 2 1 3 质 ? ,且 A2 ? B2 ? ? ,使 { , , 2 2
当 b ? 9 时,集 ? x x ?

5 9 11 3 7 13 , , } , B2 ? { , , } ,则 A2 , B2 具有性 2 2 2 2 2 2 5 13 , ???, } ? A2 ? B2 . 2 2

? ?

? a , a ? E14 ? 中除整数外,其余的数组成集合 9 ?

1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 1 4 5 10 13 { , , , , , , , , , } ,令 A3 ? { , , , , }, 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 7 8 11 14 B3 ? { , , , , } .则 A3 , B3 具有性质 ? ,且 A3 ? B3 ? ? ,使 3 3 3 3 3 1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 { , , , , , , , , , } ? A3 ? B3 . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
集合 C ? ? x x ?

? ?

? a , a ? E14 , b ? E14 , b ? 1, 4,9 ? 中的数均为无理数,它与 P 14 中的任何 b ?

其他数之和都不是整数,因此,令 A ? A 1 ? A2 ? A 3 ?C , B ? B 1 ? B2 ? B3 , 则

A ? B ? ? ,且 P 14 ? A ? B .
综上,所求 n 的最大值为 14. ……………..14 分


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