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高一数学教案:苏教版高一数学斜线在平面内的射影2


第 20 课时 斜线在平面内的射影习题课
教学目标:
使学生正确区分各个概念,并能结合线面平行和垂直的有关知识解决具体问题,进 一步培养学生的空间想象能力和分析问题的能力。

教学重点、难点:
问题的分析、论证。

教学过程:
复习定义、定理。 例 1:已知直角三角形 ABC 的斜边 BC 在平面α 内,两直角边 AB、AC 与α 都斜交,点 A 在平面α 内的射影是点 A′,求证:∠BA′C 是钝角三角形。 证明:过 A 作 AD⊥BC 于 D,连结 A′D ∵A A′⊥α ,BC ? α ∴A A′⊥BC ∴BC⊥ A′D BD BD ∵tan∠BAD= <tan∠BA′D= AD A′D CD CD tan∠CAD= <tan∠CA′D= AD A′D ∴∠BAD<∠BA′D,∠CAD<∠CA′D ∴∠BAC<∠BA′C, 即∠BA′C 是钝角。 推广: (1)图中,若∠ABC、∠ACB 均为钝角,则射影角较大。 (2)若∠ABC、∠ACB 中有一钝角,则射影角较小。 (3)锐角的一边与面平行或者在面内,另一边是面的斜线时,射影角较小。 (4)角的两边都是面的斜线,顶点在面上时,大小关系不确定。 例 2:如图,直角三角形 ABC 在平面α 上的射影是正三角形 A1B1C1,且 A A1=5,B B1 =4,C C1=3,求 Rt△ABC 中,斜边 BC 的长。 解:过 C 作 CD∥B1C1,CF∥A1C1,过 B 作 BE∥A1B1 则△BCD、△ABE、△ACF 均为 Rt△,且 CD=CF=BE 设为 a, ∴BC2=a 2+4,AC2=a 2+1,AB2=a 2+1 得:a 2=2 ∴BC= a 2+4 = 6 例 3:如图,四面体 A-BCD 的棱长都相等,Q 是 AD 的中点,求 CQ 与平面 DBC 所成 的角的正切值。 解:过 A 作 AO⊥面 BCD,连结 OD、OB、OC,则可证 O 是△BCD 的中心 作 QP⊥OD ∵QP∥AO ∴QP⊥面 BCD 连结 CP,则∠QCP 即为所求的角

设四面体的棱长为 a,则: 正△ACD 中,Q 是 AD 的中点 ∵QP∥AO,Q 是 AD 的中点 1 1 ∴QP= AO= 2 2 a 2-( 3 2 1 6 6 a) = a= a 3 2 3 6 ∴CQ= 3 a 2

QP 2 得:sin∠QCP= = CQ 3 练习题: 如图,线段 AB 的两端在平面α 的同侧,斜线段 AM、BN 所在的直线分别与平面α 成 300、600 的角,且 AM⊥AB,BN⊥AB,AM=6,BN=2 2 ,AB=6 (1)求证:AB∥α ; (2)求 MN 的长。 (1)证明:作 A、B 在 平面α 上的射影 A′、B′ 连结 MA′、NB′、 A′B′。 (1) 在 Rt△AMA′中,AM=6,∠AMA′=300,AA′⊥A′M 1 3 ∴AA′= AM=3,同理:BB′= BN=3 2 2 ∴AA′=BB′且 AA′∥BB′ ∴四边形 AA′B′B 为平行四边形 ∵AB∥A′B′,且 AB ? \ α ∴AB∥α (2)解:∵AM⊥AB,AB∥A′B′ ∴A′B′⊥AM 又:A′B′⊥AA′,AM∩AA′=A ∴A′B′⊥面 AMA′ ∴A′B′⊥A′M 同理:A′B′⊥B′N ∴MA′∥NB′ 又:MA′=AM·cos300=3 3 NB′=BN·cos600= 3 由(1)知,A′B′=AB=6 如图(1) ,则 MN= (MA′-NB′)2+A′B′2 =4 3 如图(2) ,则 MN= (MA′+NB′)2+A′B′2 =2 21 课堂小结: 注意空间想象和空间问题转化为平面问题的方法,并紧密联系有关的定义、定理等。 课后作业: (2)


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