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高一数学《2.3.2平面与平面垂直的判定》


2.3.2平面与平面 垂直的判定
云阳中学高一数学组

复习回顾
两直线所成角的取值范围: 直线和平面所成角的取值范围: 平面的斜线和平面 所成的角的取值范围:
?1
O

?

A

B

复习回顾
两直线所成角的取值范围:[

0o, 90o ]. 直线和平面所成角的取值范围:[ 0o, 90o ]. 平面的斜线和平面 所成的角的取值范围: (0o, 90o).
?1
O

?

A

B

讲授新课
1.半平面的定义

半 平 面

半 平 面

讲授新课
1.半平面的定义 平面内的一条直线把平面分为两部
分,其中的每一部分都叫做半平面. 半 平 面 半 平 面

2.二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组

成的图形叫做二面角

l

?

?

2.二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组

成的图形叫做二面角,这条直线叫做二
面角的棱 l

?

?

2.二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组

成的图形叫做二面角,这条直线叫做二
面角的棱,每个半平

面叫做二面角的面.
l

?

?

2.二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组

成的图形叫做二面角,这条直线叫做二
面角的棱,每个半平

面叫做二面角的面. 棱为l,两个面分
别为?、?的二面角记 l

?

为 ?-l-? .

?

3.画二面角

3.画二面角 ⑴ 平卧式:

?
l

A

?

B

3.画二面角 ⑴ 平卧式:

?
l

?
A

A l

?

?

B B

3.画二面角 ⑴ 平卧式:

?
l

?
A

A l

?

?
⑵ 直立式:

B B A
l B

?

?

4.二面角的大小 怎样度量二面角的大小?能否转化 为两相交直线所成的角? l

? ?

4.二面角的大小 怎样度量二面角的大小?能否转化 为两相交直线所成的角? 在二面角?-l-?的 棱l上任取一点O,如 图,在半平面 ? 和 ? 内,从点 O 分别作垂 直于棱 l 的射线OA、 l O B A

? ?

OB,射线OA、OB组成∠AOB.

4.二面角的大小 怎样度量二面角的大小?能否转化 为两相交直线所成的角? 在二面角?-l-?的 棱l上任取一点O,如 图,在半平面 ? 和 ? O1 内,从点 O 分别作垂 直于棱 l 的射线OA、 l O B A A1 B1

?

?

OB,射线OA、OB组成∠AOB.

4.二面角的大小

∠AOB的大小一定. 一个平面垂直于二 l 面角 ?-l-? 的棱 l,且与 O 两个半平面的交线分别 是射线 OA、OB,O 为 O1 垂足,则 ∠AOB 叫做 二面角 ?-l-? 的平面角.
B A A1 B1

?

?

4.二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来 度量.即二面角的平面角是多少度,就

说这个二面角是多少度.

4.二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来 度量.即二面角的平面角是多少度,就

说这个二面角是多少度. ① 二面角的两个面重合: 0 ;
o

4.二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来 度量.即二面角的平面角是多少度,就

说这个二面角是多少度. ① 二面角的两个面重合: 0 ;
o

② 二面角的两个面合成一个平面:180o;

4.二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来 度量.即二面角的平面角是多少度,就

说这个二面角是多少度. ① 二面角的两个面重合: 0 ;
o

② 二面角的两个面合成一个平面:180o;

二面角的范围:[ 0 , 180 ].
o o

③ 平面角是直角的二面角叫直二面角.

5. 二面角的平面角的作法

5. 二面角的平面角的作法 (1)定义法 根据定义作出来
A

?
l
O B l ? O

?

(2)垂面法 作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到
(3)
D

?

? A
A ? l

B

O ?

6. 平面与平面垂直 两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角,就说这两个平面互相 垂直. 平面?与?垂直,记作?⊥?.

6. 平面与平面垂直 两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角,就说这两个平面互相 垂直. 平面?与?垂直,记作?⊥?.

?

? ? ?

例1 如图,AB是⊙O的直径, PA垂直于
⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A, B 的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC. P

C
A O

B

例1 如图,AB是⊙O的直径, PA垂直于
⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A, B 的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC. 线线垂直 P

→线面垂直
→面面垂直 A

C
O

B

练习1:教材P.69探究 (1) 四个面的形状怎样? (2) 有哪些直线与平面垂直? (3) 任意两个平面所成的二面角的平面角 如何确定? A

B
C

D

例2 已知空间四边形ABCD的四条边和对
角线都相等,求平面ACD和平面BCD所

成二面角的大小.

练习2:如图,已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等,且AB=AC= 3 , BC=2,求以BC为棱,以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小? D

A B

C

练习2:如图,已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等,且AB=AC= 3 , BC=2,求以BC为棱,以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小? D

A B E

C

练习2:如图,已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等,且AB=AC= 3 , BC=2,求以BC为棱,以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小? D

A B E

C

练习3: ABCD是正方形,O是正方形的
中心,PO⊥平面ABCD , E是PC的中点,
ABCD
是正方形,

求证:(1) PC⊥平面BDE;
(2)平面PAC⊥BDE. P E D A O B C

课堂小结
1. 二面角的定义、二面角的平面角; 2. 二面角平面角的求法;

3. 平面与平面垂直的判定.

课后作业
1. 复习本节课内容,理清脉络;
2. 《习案》第十五课时.


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