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【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编:N单元 选修4系列


N 单元 目录

选修 4 系列

N 单元 选修 4 系列 ....................................................................................................................... 1 N1 选修 4-1 几何证明选讲...................................................................................................... 1 N2 选修 4-2 矩阵 ................................................................................................................... 3 N3 选修 4-4 参数与参数方程................................................................................................ 3 N4 选修 4-5 不等式选讲 ......................................................................................................... 17 N5 选修 4-7 优选法与试验设计.............................................................................................. 21

N1

选修 4-1

几何证明选讲
1 1 BC , CE ? CA ,AD, 3 3
A

【文·宁夏银川一中高二期末·2014】22.(本小题满分 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲. 如图,在正 ΔABC 中,点 D、E 分别在边 BC, AC 上,且 BD ? BE 相交于点 P. 求证:(I) 四点 P、D、C、E 共 圆; (II) AP ⊥CP。 B 【知识点】 【答案解析】解析:证明:(I)在 ?ABC 中,由 BD ? E P D C

1 1 BC , CE ? CA, 知: 3 3

?ABD ≌ ?BCE ,
??ADB ? ?BEC 即 ?ADC ? ?BEC ? ? .所以四点 P, D, C, E 共圆;
(II)如图,

连结 DE .在 ?CDE 中, CD ? 2CE , ?ACD ? 60 ,由正弦定理知 ?CED ? 90 由四点 P, D, C , E 共圆知, ?DPC ? ?DEC ,所以 AP ? CP.

【思路点拨】证明四点共圆一般利用定理:若四边形对角互补,则四点共圆进行证明,再利 用同弧所对的圆周角相等证明第二问.21·cn·jy·com
C

【文·广东惠州一中高三一调·2014】15.(几何证明选讲选做题)如图, AB 是圆 O 的直径,
A

D

BC 是圆 O 的切线,切点为 B , OC 平行于弦 AD ,
若 OB ? 3 , OC ? 5 ,则 CD ? .

O

B

【知识点】与 圆 有 关 的 比 例 线 段 . 【答案解析】 4 解析 :解 : 由于 OC //AD , ??BOC ? ?BAD ,而 OD ? OA ,因此 OC //AD , ??COD ? ?ODA , ?ODA ? ?BAD , ??ODA ? ?BOC , ??COD ? ?BOC , OD ? OB , OC ? OC ,??BOC ? ?DOC ,故 CD ? BC , 由于 BC 切圆 O 于点 B ,易知 OB ? BC ,
2 2 2 2 由勾股定理可得 BC ? OC ? OB ? 5 ? 3 ? 4 ,因此 CD ? BC ? 4 .

【思路点拨】利 用 圆 的 切 线 的 性 质 和 勾 股 定 理 可 得 BC ,再 利 用 平 行 线 的 性 质 和 全 等 三 角 形 的 性 质 可 得 CD=CB . 即 可 得 出 . w w w . 2 1 - c n - j y. c o m

【理·重庆一中高二期末·2014】14 .如图,过点 P 作圆 O 的割线 PBA 与切线 PE,

E 为切点,连接 AE,BE,∠APE 的平分线分别与 AE、BE 相交于 C、D,若∠AEB= 40 ? ,则∠PCE 等于 .
D E C A P B

【知识点】弦 切 角 的 性 质 和 应 用 . 【答案解析】 70
0

解析 :解: PE 是 圆 的 切 线 ,





PEB= ∠ PAC , ∵ PC 是 ∠ APE 的 平 分 线 , ∴ ∠ EPC= ∠ APC , 根 据 三 角 形 的 外 角 与 内 角 关 系 有 : ∠ EDC= ∠ PEB+ ∠ EPC ; ∠ ECD= ∠ PAC+ ∠ APC , ∴ ∠ EDC= ∠ ECD , ∴ △ EDC 为 等 腰 三 角 形 , 又 ∠ AEB=40 °, ∴ ∠ EDC= ∠ ECD=75 °, 即 ∠ PCE=70 °, 故 答 案 为 : 70 °. w w w - 2 - 1 - c n j y - c o m 【思路点拨】利 用 弦 切 角 ,以 及 三 角 形 的 外 角 与 内 角 的 关 系 ,结 合 图 形 即 可 解 决 .

【理·吉林长春十一中高二期末·2014】22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:平面几何

选讲 如图所示, AB 是⊙ O 直径,弦 BD, CA 的延长线交于 E , EF 垂直于 BA 的延

长 线于 F . 求证:(1) ?DEA ? ?DFA ; (2) AB 2 ? BE ? BD ? AE ? AC .

【知识点】与 圆 有 关 的 比 例 线 段 ; 四 点 共 圆 的 证 明 方 法 ; 三 角 形 相 似 . 【答案解析】(1) 见解析(2)见解析 解析 :解:(1)连 AD,∵AB 是圆 O 的直径,∴ ?ADB ? 90? 则 A、D、E、 F 四点共圆,∴ ?DEA ? ?DFA 5分

(2)由(1)知 BD ? BE ? BA ? BF ,又 ?ABC ≌ ?AEF ∴ 即 AB ? AF ? AE ? AC

AB AC ? AE AF

∴ BE ? BD ? AE ? AC ? BA ? BF ? AB ? AF ? AB ? ?BF ? AF ? ? AB 2 即 AB 2 ? BD ? BE ? AE ? AC 5分

【思路点拨】( 1 ) 连 接 AD , 利 用 AB 为 圆 的 直 径 结 合 EF 与 AB 的 垂 直 关 系 , 通 过 证 明 A, D, E, F四 点 共 圆 即 可 证 得 结 论 ; ( 2 )由( 1 )知 , BD ? BE ? BA ? BF ,再 利 用 三 角 形 ?ABC ≌ ?AEF 得 到 比 例 式 , 最 后 利 用 线 段 间 的 关 系 即 求 得 AB 2 ? BD ? BE ? AE ? AC .

N2 N3

选修 4-2 选修 4-4

矩阵 参数与参数方程
? x ? ?4 ? cos t , (t为参数) , ? y ? 3 ? sin t

【 浙 江 效 实 中 学 高 一 期 末 · 2014 】 19 . 已 知 曲 线 C1 : ?

? x ? 8cos ? , C2 : ? (? 为参数) . ? y ? 3sin ?
(1)化 C1 , C2 的方程为普通方程; (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ?

?
2

, Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? (t为参数) 距离的最小值. ? y ? ?2 ? t
【知识点】参数方程、点到直线的距离 【答案解析】(1) C1 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 , C2 :

x2 y 2 8 5. ? ? 1 ;(2) 5 64 9

解 析 : 解 : (1) 由 曲 线 C1 : ?

s , ? x ? ?4 ? c o t (t为参数 ) 得 t ? y ? 3? s i n

? x ? 4 ? cos t ,平方相加得 ? ? y ? 3 ? sin t

?x ? cos ? ? x ? 8 cos ? , ? ?8 2 2 ,平方相加得 ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1 ,由 C2 : ? (? 为参数 ) 得 ? y ? y ? 3 sin? ? ? sin ? ? ?3
x2 y 2 ? ?1; 64 9
(2) 由已知得 P 点坐标为 ( - 4 , 4) ,设 Q 点坐标为 (8cos θ , 3sin θ ) ,则 M 点坐标为

4 ? 3sin ? ? ? ?2 ? 4 cos ? , 2 ?


? ? ,又直线的普通方程为 x-2y-7=0,所以 M 到直线的距离 ?

?2 ? 4cos ? ? 4 ? 3sin ? ? 7 5

?

4cos ? ? 3sin ? ? 13 5

?

13 ? 3sin ? ? 4cos ? 13 ? 5 8 5 ? ? 5 5 5

【思路点拨】参数方程化普通方程常见的方法有代入消参和利用正弦和余弦平方和等于 1 消元,当直接利用参数方程不方便时可考虑化成普通方程解答.

【文·宁夏银川一中高二期末·2014】23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数 方程.

1 ? ?x ? 1 ? 2 t, ? x ? cos ? , ? 已知直线 ? : ? (t 为参数), 曲线 C1 : ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ?
(I)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ; (II)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

( ? 为参数).

3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到 2 2

曲线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值. 【知识点】直线与圆、椭圆的参数方程、点到直线距离公式 【答案解析】C 解析:解: (I)? 的普通方程为 y ? 联立方程组 则 | AB |? 1 .

3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1.

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ), ? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1 , ?

1 ? x ? cos ? , ? 1 3 ? 2 (II) C2 的参数方程为 ? sin ? ) , (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos ? , 3 2 2 ?y ? sin ? . ? 2 ? 从而点 P 到直线 ? 的距离是 3 3 | cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 2 d? ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] , 2 4 4 6 ? 由此当 sin(? ? ) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 ( 2 ? 1) . 4 4
【思路点拨】 一般由参数方程研究直线与曲线位置关系不方便时, 可化成普通方程进行解答, 当遇到圆锥曲线上的点到直线的距离问题时可选择用圆锥曲线的参数方程设点求距离.

【文·黑龙江哈六中高二期末考试·2014】21. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐 标方程为 ? ? 2 cos ? (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ?

3 x ? 2 垂直,根据(1)中你得到的

参数方程,确定 D 的坐标。 【知识点】参数方程化成普通方程;利用导数研究曲线上某点切线方程;圆的参数方程.

【答案解析】(1) í

骣 骣 ì x = 1 + cos a 3 3 1 3 ? ,(2) 琪 , 或琪 ,. 琪 琪 2 2 2 2 ? y = sina ? 桫 桫
2

解析 :解:(1)半圆 C 的极坐标方程 ? ? 2 cos ? ,即 r 化为直角坐标方程为 x - 1 令 x - 1 = cosa ? [ ﹣, 1 1], y 故半圆 C 的参数方程为 í

= 2r cosq ,

(

)

2

+ y 2 = 1 ---------------3 分

sina.

ì ? x = 1 + cos a , ---------------3 分 y = sin a ? ?
3 x ? 2 垂直,

(2)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ?

∴直线 C D 和直线 l 平行,故直线 C D 和直线 l 斜率相等. 设点 D 的坐标为( 1 + cos a , sina ),∵ C (1,0),∴

sin a - 0 = 3, (1 + cos a ) - 1

解得 tan a = 3 ,即 a =

p 4p 或 ,故点 D 的坐标为 3 3

骣 骣 3 3 1 3 琪 , 或琪 ,.--------------6 分 琪 琪 2 2 2 2 桫 桫
【思路点拨】(1)半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为 x - 1

(

)

2

+ y 2 = 1 ,令

可得半圆C的参数方程;(2)由题意可得直线CD和直线 l 平行,设点 x - 1 = cosa , y = sina,

D 的坐标为( 1 + cos a ,sina ),根据直线CD和直线 l 的斜率相等求得 tan a 的值,可得 a
的值,从而得到点D的坐标.21教育网

【文·广东惠州一中高三一调·2014】14.(坐标系与参数方程选做题)已知在平面直角坐 标系 xOy 中圆 C 的参数方程为: ?

? x ? 3 ? 3cos ? ? ,( ? 为参数),以 Ox 为极轴建立极坐 ? ? y ? 1 ? 3sin ?

标系,直线极坐标方程为: ? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 0 ,则圆 C 截直线所得弦长为 6?

.

【知识点】参 数 方 程 化 成 普 通 方 程 ; 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 . 【答案解析】 4 2 解析 :解 : 圆 C : ?

? ? x ? 3 ? 3cos ? ( ? 为参数)表示的曲线是以点 ? ? y ? 1 ? 3sin ?

?

?? ? 3,1 为圆心,以 3 为半径的圆,将直线 ? cos ? ? ? ? ? 0 的方程化为直角坐标方程为 6? ?

?

3x ? y ? 0 ,圆心

?

3,1 到直线 3x ? y ? 0 的距离 d ?

?

3 ? 3 ?1

? 3?

2

? 1,

?1

2

故圆 C 截直线所得弦长 2 32 ?12 ? 4 2 . 【思路点拨】首 先 把 参 数 方 程 和 极 坐 标 方 程 化 为 普 通 方 程 , 再 利 用 圆心到直线的距离公式即可求出.

【理·重庆一中高二期末·2014】15、直线 l : ?

?x ? t cos? ? ? ( t 为参数, ? ? ? )与圆 4 3 ?y ?1?t sin?
.

? ??2 2sin( ?? )( ?
4

为参数)相交所得的弦长的取值范围是

【知识点】参 数 方 程 化 成 普 通 方 程 . 极 坐 标 方 程 化 成 普 通 方 程 . 【答案解析】 解析 :解:直线 l : ? [ 5,6 ] 普通方程是

?x ? t cos? ? ? ( t 为参数, ? ? ? )化 为 4 3 ?y ?1?t sin?

y - 1 sin a ? = , 即 y = tana ?x 1; 圆 ??2 2sin( ?? )( ? 为参数)化 为 普 x cos a 4 p ? ? 2 2 通 方 程 是 ( x - 1) + ( y - 1) = 2 ,因为当 ? ? ? 时,弦长减小,故当 a = 时,直线 4 4 3
为 y = x +1, 此时弦心距时 d =

1 - 1 +1 2

=

2 6 ,由勾股定理得半弦长为 ,故此时弦长为 2 2

6 ,同理当 a =

p 时,可求得弦长为 5 .21cnjy.com 3

故答案为: [ 5,6 ] 【思路点拨】把 直 线 与 圆 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 , 画 出 图 形 , 结 合 图 形 , 求 出 直 线 被 圆 截 得 的 弦 长 的 最 大 值 与 最 小 值 即 可 . 21·世 纪 *教 育 网

【理·宁夏银川一中高二期末·2014】19. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程分别为 ? ? 4sin ? , ? cos(? ? (1)求 C1 与 C2 的交点的极坐标; (2)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 的交点连线的中点,已知直线 PQ 的参数方程为

?
4

) ? 2 2.

? x ? t 3 ? a, ? ? b 3 (t ? R为参数). 求 a , b 的值。 ? y ? t ?1 ? 2
【知识点】参数方程与极坐标 【 答 案 解 析 】 (1) (4,

?

), (2 2, ) ;(2) a ? ?1, b ? 2. 解 析 : 解 : (?) 由 2 4

?

? ? x 2 ? y 2 , ? cos ? ? x, ? sin ? ? y 得,
圆 C1 的直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 直线 C2 的直角坐标方程分别为 x ? y ? 4 ? 0 由?

? x 2 ? ( y ? 2)2 ? 4, ? x1 ? 0, 解得 ? ? y1 ? 4, ? x ? y ? 4 ? 0.

? x2 ? 2, ? ? y2 ? 2,

所以圆 C1 ,直线 C2 的交点直角坐标为 (0, 4),(2, 2) 再 由 ??

x 2 ? y 2 , ? cos ? ? x, ? sin ? ? y , 将 交 点 的 直 角 坐 标 化 为 极 坐 标

(4, ), (2 2, ) 所以 C1 与 C2 的交点的极坐标 (4, ), (2 2, ) 2 4 2 4
(?? ) 由 (?) 知,点 P , Q 的直角坐标为 (0, 2), (1,3)
故直线 PQ 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 由于直线 PQ 的参数方程为 ①

?

?

?

?

? x ? t 3 ? a, ? ? b 3 (t ? R为参数). ? y ? t ?1 ? 2
消去参数 y ?

b ab x? ?1 2 2



?b ? 2 ? 1, 对照①②可得 ? ? ?? ab ? 1 ? 2. ? ? 2
解得 a ? ?1, b ? 2. 【思路点拨】 一般遇到曲线的参数方程与极坐标方程时, 若直接解答不方便可转化为普通方 程或直角坐标方程进行解答.【出处:21 教育名师】

【理·宁夏银川一中高二期末·2014】8.曲线 C: ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t为参数 )上两点 A、B 所

对应的参数是 t1, t2, 且 t1+t2=0, 则|AB|等于( A.|2p(t1-t2)| ) B. 2p(t1-t2) C. 2p(t12+t22) D. 2p(t1-t2)2

【知识点】抛物线的参数方程
2 2 【答案解析】A 解析:解:由已知得 A、B 的坐标分别为 2 pt1 , 2 pt1 , 2 pt2 , 2 pt2 ,则

?

??

?

AB ?

? 2 pt

2 1

? 2 pt22 ? ? ? 2 pt1 ? 2 pt2 ? ?
2 2

? 2 p ?t

1

? t2 ??t1 ? t2 ? ? ? ? 2 pt1 ? 2 pt2 ? ? 2 p ?t1 ? t2 ?
2 2

,则选 A. 【思路点拨】利用抛物线的参数方程对点 A、B 对应的参数可写出其对应的坐标,再利用两 点间距离公式即可解答.21 教育名师原创作品

【理·宁夏银川一中高二期末·2014】7.若点 P(x,y)在椭圆 x+y 的最大值为( ) B. 5+ 5 C. 5

( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 上,则 4

A. 3+ 5 错误!未找到引用源。 【知识点】椭圆的参数方程的应用

D. 6

【 答 案 解 析 】 A 解 析 : 解 : 椭 圆 的 参 数 方 程 为 ? x+y= 2cos? ? sin ? ? 3 ? 3 ? 5 ,所以选 A.

? x ? 2 ? 2cos ? , 则 ? y ? 1 ? sin ?

【思路点拨】利用椭圆的参数方程转化为三角求最值问题,再利用 asinx+bcosx 的最大值为

a2 ? b2 解答即可.21*cnjy*com

【理·宁夏银川一中高二期末·2014】6.若直线的参数方程为 ? 引用源。为参数),则直线的斜率为( A. ) B. ?

? x ? 1 ? 2t (t 错误!未找到 ? y ? 2 ? 3t

2 错误!未找到引用源。 3
D. ?

2 3

C.

3 错误!未找到引用源。 2

3 2

【知识点】直线的参数方程 【答案解析】D 解析:解:由直线的参数方程得 y-2= ?

3 3 (x-1),所以直线的斜率为 ? , 2 2

选 D. 【思路点拨】由直线的参数方程求其斜率,可把直线的参数方程化为普通方程再进行判断.

【理·宁夏银川一中高二期末·2014】5.极坐标方程 ρ2cos2θ=1 所表示的曲线是( A.圆 B. 两条相交直线 C. 椭圆 D. 双曲线

)

【知识点】极坐标方程与直角坐标方程的互化 【答案解析】D 解析:解:因为 ? 2 cos 2? ? ? 2 cos2 ? ? ? 2 sin 2 ? ? x2 ? y2 ? 1 ,所以极坐 标方程 ρ2cos2θ=1 所表示的曲线是双曲线,则选 D. 【思路点拨】 在判断极坐标方程表示的曲线形状不方便时, 可利用极坐标方程与直角坐标方 程的互化公式把方程转化为直角坐标方程进行判断.

【理·宁夏银川一中高二期末·2014】3. 在极坐标系中,圆 ? =2cos ? 的垂直于极轴的两 条切线方程分别为( ) B. ? ?

A. ? ? 0( ? ? R) 和 ? cos? ? 2 C. ? ?

?
2

( ? ? R ) 和 ? cos? ? 2

?
2

( ? ? R ) 和 ? cos? ? 1

D. ? ? 0( ? ? R) 和 ? cos? ? 1

【知识点】直线与圆的位置关系、直线与圆的极坐标方程 【答案解析】B 解析:解:因为圆 ? =2cos ? 圆心在极轴上且过极点与点(2,0),则极点与 点 (2, 0)即为直线与圆相切的切点,所以过极点与点 (2, 0)垂直于极轴的方程分别为

??

?
2

( ? ? R ) 和 ? cos? ? 2

【思路点拨】 熟悉常见的圆与直线的极坐标方程是本题解题的关键, 由所给的圆的极坐标方 程即可确定圆心位置, 进而确定圆的切线切点, 再结合切点位置确定切线的极坐标方程.

【理·吉林长春十一中高二期末·2014】23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与

参数方程 已知极坐标系的原点在直角坐标系的原点处,极轴为 x 轴正半轴,直线 l 的 参数
? x ? ?1 ? 3 t ?t为参数 ? ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? 方程为 ? ?y ? t

(1)写出 C 的直角坐标方程,并说明 C 是什么曲线? (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点,求 PQ .

【知识点】参数方程化为普通方程的方法;把极坐标方程化为直角坐标方程的方 法;参数的几何意义. 【答案解析】(1) x 2 ? y 2 ? 4 圆 (2) 7

解析 :解:(Ⅰ)∵ρ=4cosθ,∴ρ2=4ρcosθ,(2 分) 由 ρ2=x2+y2,ρcosθ=x 得:x2+y2=4x, 所以曲线 C 的直角坐标方程为(x﹣2)2+y2=4,…(4 分) 它是以(2,0)为圆心,半径为 2 的圆.…(5 分) (Ⅱ)把 代入 x2+y2=4x 整理得 ,…(7 分)

设其两根分别为 t1、t2,则 ∴

,…(8 分) .…(10分)

【思路点拨】 (Ⅰ)由 ρ=4cosθ 可得 ρ2=4ρcosθ,故曲线 C 的直角坐标方程为(x ﹣2)2+y2=4,它是以(2,0)为圆心,半径为 2 的圆.【来源:21cnj*y.co*m】 (Ⅱ)把参数方程代入x2+y2=4x整理得 得 结果. ,根据 ,利用根与系数的关系求 求得

4 ? x ? 1? t ? ? 5 ?t为参数? 被 曲 线 【 理 · 吉 林 长 春 十 一 中 高 二 期 末 · 2014 】 14. 直 线 ? 3 ? y ? ?1 ? t ? 5 ?

? ? 2 cos?? ?

? ?

??

? 所截得的弦长为______. 4?

【知识点】直 线 的 参 数 方 程 ;直 线 与 圆 相 交 的 性 质 ;简 单 曲 线 的 极 坐 标 方程. 【答案解析】

7 ?? ? 解析 :解:曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ? ? 2 cos?? ? ? , 直 角 5 4? ?
2

骣 1 坐标方程是: 琪 琪 x桫 2

骣 1 琪 +琪 y+ 桫 2

2

1 = , 2

直 线 的 普 通 方 程 是 : 3x + 4y + 1= 0 ,

3 - 2 +1 1 2 = , ∴圆心到直线的距离为 5 10

则直线被曲线截得的弦长为 2 故答案为:
7 . 5

1 1 7 = . 2 100 5

【思路点拨】先 将 极 坐 标 方 程 两 边 同 乘 以 r 后 化 成 直 角 坐 标 方 程 , 将 直 线 l的 参 数 方 程 化 成 普 通 方 程 , 再 求 直 线 l被 曲 线 C截 得 的 弦 长 .

【理·黑龙江哈六中高二期末·2014】19.在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系 , 已知曲线 C : ? sin
2

? ? 2a cos ? (a ? 0) ,已知过点 P(?2, ?4) 的直线 l

? ? x ? ?2 ? ? 的参数方程为: ? ? y ? ?4 ? ? ?
交于 M , N 两点.

2 t 2 ( t 错误!未找到引用源。为参数),直线 l 与曲线 C 分别 2 t 2

(1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若 PM , MN , PN 成等比数列,求 a 的值. 【知识点】 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 公 式 ;方 程 思 想 ;直 线 L的 参 数 方 程 中 的 参 数 的 几何意义. 【答案解析】(1) y = x - 2 (2) a = 1 解析 :解: (1)由 r sin q = 2a cosq (a > 0) 得 曲 线 C: y = 2ax(a > 0) 消去参数 t 可求得直线 l 的普通方程为 y = x - 2 ?(4 分)
2 2

? ? x ? ?2 ? ? (2) 将 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ? ? y ? ?4 ? ? ? 2 y = 2 a x中 得

2 t 2 ( t 错误!未找到引用源。为参数), 代 入 2 t 2

t 2 - 2 2 ( 4 + a) t +8( 4 + a) = 0 设 M 、 N 两 点 对 应 的 参 数 分 别 为 t1, t2
则 有 t1 +t2 = 2 2 4 + a , t1t2 = 8 4 + a ? ( 6 分 ) ∵ PM ? PN

(

)

(

)

MN ∴ ( t1 - t2 ) = ( t1 + t2 ) - 4t1t2 = t1t2 解 得 : a = 1 ? ( 8 分 )

2

2

2

【思路点拨】(1)利 用 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 公 式 即 可 把 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 化 为直角坐标方程,利用消去参数 t 即可得到直线 l 的直角坐标方程; (2) 将 直 线 l 的 参 数 方 程 , 代 入 曲 线 C 的 方 程 , 利 用 参 数 的 几 何 意 义 即 可 得 出 , 从 而 建 立 关 于 a 的 方 程 , 求 解 即 可 . 【 来 源 : 21·世 纪 ·教 育 ·网 】 PM× PN

【理· 黑龙江哈六中高二期末· 2014】 9. 在极坐标系中,直线 ? cos ? ? 相交于 A, B 两点, O 为极点,则 ?AOB 的大小为 ( )

1 与曲线 ? ? 2 cos ? 2

A.

?? 3

B.

?? 6

C.

? 2

D.

? 3

【知识点】极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 的 方 法 ; 直 线 和 圆 的 位 置 关 系 . 【答案解析】 A 解析 : 解: 直 线 ? cos ? ? 即 x- 1

1 1 即x= , 曲 线 ? ? 2 cos ? 即 r 2 = 2r cosq , 2 2

(

)

2

+ y2 =1,

表 示 以 C 1,0 为 圆 心 , 以 1 为 半 径 的 圆 . 如 图 .

( )

CD 1 p = ,∴ ? ACO , AC 2 3 p 2p 在 △ AOC 中 , A C = O C, ∴ ? A O C , ∴ ? A O B 2? A O C , 3 3
Rt △ ADC 中 , ∵ c o s? ACO 故 选 C. 【思路点拨】把 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 , 求 出 AC , DC 的 值 , 可 得 ?AOC 的 值,从而得到 ? AOB 2 AOC 的值.

【理·黑龙江哈六中高二期末·2014】4.若直线的参数方程为 ? 直线的斜率为( )

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则 ? y ? 2 ? 4t

A.

1 2

B. ?

1 2

C. 2

D. ?2

【知识点】参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 ; 根 据 直 线 的 方 程 求 直 线 的 斜 率 . 【答案解析】D 解析 :解:∵ 直 线 的 参 数 方 程 为 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) , 消 去 参 数 化 ? y ? 2 ? 4t

为 普 通 方 程 可 得 y = - 2x + 4 . 故 直 线 的 斜 率 等 于 - 2 . 故 选 : D. 【思路点拨】把 直 线 的 参 数 方 程 消 去 参 数 化 为 普 通 方 程 , 从 而 得 到 直 线 的 斜 率 .

【理· 广东惠州一中高三一调· 2014】 14. (坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中,A,B 分别是直线 ? cos? ? ? sin ? ? 5 ? 0 和 圆 ? ? 2 sin ? 上的动点,则 A,B 两点之间距离的最小值是 【知识点】极坐标方程与普通方程的互化;点到直线的距离. O .

【 答 案 解 析 】 2 2 ? 1 解 析 : 解 : 由 题 意 , 直 线 l : x ? y ? 5 ? 0, 圆 的 标 准 方 程

x2 ? ( y ?1)2 ? 1 , 则 圆 心 (0,1) 到 直 线 l 的 距 离 为 2 2 , A 且圆半径 r ? B P故 1,

A Bm i n? d ? r ?2 2 ?1
. 【思路点拨】 先把直线与圆的极坐标方程转化为普通方程, 再利用点到直线的距离公式即可.

【理·甘肃兰州一中高二期末·2014】16. (本小题满分 6 分)在直角坐标系 xOy 中,已知 点 P(0, 3) ,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 cos ? (? 为参数).以原点为极点, x 轴的正半 ? ? y ? 3sin ?

轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? ?

3

2 cos(? ? ) 6

?

.

(Ⅰ)判断点 P 与直线 l 的位置关系,说明理由; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 的两个交点为 A 、 B ,求 | PA | ? | PB | 的值. 【知识点】参数方程、极坐标方程转化为普通方程;参数方程的几何意义. 【答案解析】(Ⅰ)点 P 在直线 l 上(Ⅱ) | PA | ? | PB |? 4. 解析 :解: (Ⅰ)直线 l 的方程可化为 2 ? cos(? ?

?
6

) ? 3 ,即 3?cos ? ??sin ? ? 3

化为直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ,将点 P(0, 3) 代人上式满足, 故点 P 在直线 l 上. ???????2 分

1 ? x?? t ? 2 ? (t 为参数), ???????3 分 (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 3 ? 3 t ? ? 2
曲线 C 的直角坐标方程为

x2 y 2 ? ? 1, 3 9

将直线 l 的参数方程代人曲线 C 的方程并整理得 t 2 ? 2t ? 4 ? 0 , 所以 | PA | ? | PB |? 4. ??????????6 分

【思路点拨】 (Ⅰ)把直线 l 的极坐标方程方程化为普通方程后代入点 P(0, 3) 检验即可判 断;(Ⅱ)直线 l 的参数方程化为普通方程后利用 t 的几何意义可得结果.

【理·甘肃兰州一中高二期末· 2014 】 14. 如图,以过原点的直线的倾斜角 ? 为参数,则圆

x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的参数方程为

.

P

【知识点】圆 的 参 数 方 程 ; 圆 的 标 准 方 程 ; 锐 角 三 角 函 数 定 义 ; 解 直 角 三 角 形 . 【答案解析】 ?

? x ? sin 2?
2 ? y ? 2sin ?

(? 为参数)

解析 :解 : 设过原点的直线与圆的另外一个交点为 P x, y ,圆 x ? y ? 2 y ? 0 可以转
2 2 2 2 化为 x + ( y - 1) = 1, r = 1, \ OP = 2r ?cos(

(

)

p q ) = 2sin q , 2

所以 x = OP ?cosq
2 2

2sin q cosq = sin 2q , y = OP?sin q

2sin 2 q ,

故圆 x ? y ? 2 y ? 0 的参数方程为 ?

? x ? sin 2?
2 ? y ? 2sin ?

(? 为参数).

故答案为: ?

? x ? sin 2?
2 ? y ? 2sin ?

(? 为参数).

【思路点拨】将 圆 的 方 程 化 为 标 准 方 程 , 找 出 圆 心 与 半 径 , 利 用 三 角 函 数 定 义 表 示 出 OP , 进 而 表 示 出 x 与 y , 即 为 圆 的 参数方程.

【理·甘肃兰州一中高二期末·2014】 8.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为?

? ?x=t, ? ?y=4+t

(t 为参数).以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ π =4 2·sin?θ+ 4 ?,则直线 l 和曲线 C 的公共点有 ( ) ? ?

D .无数个 【知识点】 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 ;极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 ;点 到 直 线 的 距 离 公 式 ;直 线 和 圆 的 位 置 关 系 的 判 定 .
?x=t, ? 【答案解析】B 解析 :解:把 直 线 l 的 参 数 方 程 ? (t 为参数),消去参数 ?y=4+t ?

A .0 个

B .1 个

C .2 个

化 为 直 角 坐 标 方 程 为 x - y +4 = 0 , 表 示 一 条 直 线 . π? 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 ρ=4 2· sin? ?θ+4?,即 x - 2

(

) +( y - 2)

2

2

= 8 ,表 示 以 ( 2, 2) 为

圆心,以 r = 2 2 为半径的圆. 圆心到直线的距离等于 d =

2 - 2 +4 2

=2 2 =r ,故直线和圆相切,故直线 l 和曲

线 C 的 公 共 点 的 个 数 为 1, 故 选 B. 【思路点拨】把 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 ,得 到 方 程 表 示 一 条 直 线 .把 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 ,表 示 一 个 圆 .圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 半 径 ,可 得 直 线 和圆相切,从而得到结论.

【理·甘肃兰州一中高二期末·2014】6.在极坐标系中,圆 ? ? 4 cos ? 的垂直于极轴的两条切 线方程分别为 ( )

A. ? ? 0( ? ? R) 和 ? cos ? ? 4 C. ? ? 0( ? ? R) 和 ? cos ? ? 2

B. ? ? D. ? ?

? ?
2 2

( ? ? R ) 和 ? cos ? ? 4 ( ? ? R ) 和 ? cos ? ? 2

【知识点】圆 的 极 坐 标 方 程 ; 直 线 的 极 坐 标 方 程 .

? 是 以 ( 2, 0) 为 【答案解析】B 解析 :解:如 图 所 示 , 在 极 坐 标 系 中 圆 ? ? 4 c o s
圆 心 , 2 为 半 径 的 圆 ,故 圆 的 两 条 切 线 方 程 分 别 为 ? ?

?
2

( ? ? R ) 和 ? cos ? ? 4 .

故 选 B. 【思路点拨】利 用 圆 的 极 坐 标 方 程 和 直 线 的 极 坐 标 方 程 即 可 得 出 .

【理·甘肃兰州一中高二期末· 2014 】 4 .已知曲线的参数方程为 ? 数),则曲线的普通方程为( )

? x ? cos ? ? sin ? (? 为参 ? y ? sin 2?

A. x2 ? y ? 1(? 2 ? x ? 2) C. x2 ? 1 ? y(? 2 ? x ? 2) 【知识点】参 数 方 程 化 成 普 通 方 程 .

B. x2 ? y ? 1(?1 ? x ? 1) D. x2 ? 1 ? y(?1 ? x ? 1)

【答案解析】A解析 :解: x ? cos ? ? sin ? 的两边平方可得 x2 ? 1 ? sin 2? , y ? sin 2? , 联立可得 x ? 1 ? y ,而 x ? cos ? ? sin ? ?
2

?? ? ,故选A. 2 sin ?? ? ? ? ? ? 2, 2 ? ? 4? ? ?

【思路点拨】把两式化简代入,再求出x的范围即可.

N4

选修 4-5 不等式选讲

【文·宁夏银川一中高二期末·2014】24.(本小题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? a . (I)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值; (II)在(I)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值范围. 【知识点】绝对值不等式的解法 【答案解析】 解析: 解: (Ⅰ) 由 2x ? a ? a ? 6 得 2x ? a ? 6 ? a , ∴ a ? 6 ? 2x ? a ? 6 ? a , 即a ?3? x ? 3, ∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 2x ?1 ? 1 ,令 ? ? n ? ? f ? n ? ? f ? ?n ? ,

?

?

1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? ? ?n? 则, ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ?
∴ ? ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ? 4, ?? ? 。

【思路点拨】解绝对值不等式的常用方法有:一、利用绝对值不等式性质直接进行转 化,二、零点分段讨论去绝对值解不等式,三、利用函数的图象解不等式;对于不等式恒成 立及不等式有解问题通常转化为函数的最值问题.

【文·宁夏银川一中高二期末· 2014 】 12 .设偶函数 f(x) 满足 f(x)=2x-4 (x ? 0 ),则

?x f ? x ? 2? ? 0? =
A. C.

? x x ? ?2或x ? 4?

B. D.

? x x ? 0或x ? 4? ? x x ? ?2或x ? 2?
? x ? 2 ? ? 2 x ? 2 ? 4 ? 0 ,解得 x<0 或 x>4,

? x x ? 0或x ? 6?

【知识点】偶函数的性质、绝对值不等式 【答案解析】B 解析:解: f ? x ? 2 ? ? f

所以选 B. 【 思 路 点 拨 】 因 为 知 道 x ≥ 0 时 函 数 f(x) 的 解 析 式 , 利 用 偶 函 数 的 性 质 可 进 行

f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 2 ? 转化,再代入已知解析式解不等式.

【 文 · 广 东 惠 州 一 中 高 三 一 调 · 2014 】 10 . 已 知 函 数
2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 f ( x) ? ? 2 ,若f (?a) ? f (a) ? 2 f (1), 则实数 a 的取值范围是 ? ? x ? 2 x, x ? 0

A. ? ?1,0?

B. ?0,1?

C. ??1,1?

D. ? ?2, 2?

【知识点】函数的奇偶性;函数的单调性;绝对值不等式的解法. 【答案解析】C 解析 :解:由偶函数定义可得 f ( x) 是偶函数,故 f (?a) ? f (a) ,原不等 式等价于 f (a) ? f (1) , 又根据偶函数定义, f (a) ? f ( a ) ? f (1) , 函数 f ( x) 在 (0, ??) 单 调递增, a ? 1 , a ?[?1,1] .或利用图象求 a 范围.选 C.2-1-c-n-j-y 【思路点拨】由函数 f ( x) 是偶函数可得 f | a | ? 1 ,进而解 a ? 1 即可.

( )

【理·宁夏银川一中高二期末·2014】14.若关于实数 x 的不等式 x ? 5 ? x ? 3 ? a 无解, 则实数 a 的取值范围是 【知识点】绝对值不等式 【 答 案 解 析 】 a ≤ 8 解 析 : 解 : 因 为 x ?5 ? x ?3 ? 5? x ? x ?3 ? 8 , 所 以 若 .

x ? 5 ? x ? 3 ? a ,则 a≤8.
【思路点拨】一般遇到不等式恒成立问题及不等式无解等问题,通常转化为最值问题求解, 本题中若不等式无解,只需 a 小于等于左边的最小值.

【理·吉林长春十一中高二期末·2014】24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选

讲 设函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 4 (1)解不等式 f ? x ? ? 2 ; (2)求函数 f ? x ? 的最小值. 【知识点】绝对值不等式的解法;函数单调性的性质.

9 ?5 ? 【答案解析】(1) ?? ? ,?7 ? ? ? ,?? ? (2) ? 2 ?3 ?

解析 :解: f(x)=

(1)① 由

,解得 x<﹣7;



,解得 <x≤4;



,解得 x>4;

综上可知不等式的解集为{x|x<﹣7 或 x> }. (2)如图可知 f(x)min=﹣ .

【思路点拨】根据绝对值的代数意义,去掉函数f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|中的绝对 值符号,求解不等式 f(x)>2,画出函数函数f(x)的图象,根据图象求得函 数f(x)的最小值.21世纪教育网版权所有

【理· 甘肃兰州一中高二期末· 2014】 17. (本小题满分 8 分) 设函数 f ( x) ?| 3x ? 1| ?ax ? 3. (Ⅰ)若 a ? 1 ,解不等式 f ( x) ? 4 ; (Ⅱ)若函数 f ( x) 有最小值,求 a 的取值范围. 【知识点】绝对值不等式的解法;函数的最小值. 【答案解析】(Ⅰ) { x | 0 ? x ? }. (Ⅱ) ?3 ? a ? 3. 解析 :解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ?| 3x ? 1| ? x ? 3.

1 2

1 1 1 ?x? ; 时, f ( x) ? 4 可化为 3 x ? 1 ? x ? 3 ? 4 ,解得 3 3 2 1 1 当 x ? 时, f ( x) ? 4 可化为 ?3 x ? 1 ? x ? 3 ? 4 ,解得 0 ? x ? . 3 3 1 综上可得,原不等式的解集为 { x | 0 ? x ? }. ??????????4 分 2
当x?

1 ? (3 ? a) x ? 2, x ? , ? ? 3 (Ⅱ) f ( x) ?| 3 x ? 1| ? ax ? 3 ? ? ?(a ? 3) x ? 4, x ? 1 . ? 3 ?
函数 f ( x) 有最小值的充要条件为 ?

??????6 分

?a ? 3 ? 0, 即 ?3 ? a ? 3. ??????8 分 ?a ? 3 ? 0,

【思路点拨】(Ⅰ)当 a ? 1 时,可得到 f ( x) 的解析式,然后利用绝对值的意义去绝对值, 再转化为不等式组,解之即可;(Ⅱ)把函数 f ( x) 去绝对值,利用函数 f ( x) 有最小值的 充要条件解出 a 的取值范围.2· 1· c· n· j· y

【理·甘肃兰州一中高二期末·2014】5. 若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数

a 的取值范围是(

) C. ? 2 ? a ? 4 D. ? 2 ? a ? 4

A. ?1 ? a ? 3 B. ?1 ? a ? 3 【知识点】绝 对 值 不 等 式 的 解 法 .

【答案解析】D解析 :解:存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,即 不 等 式

3? x a + x - 1 有 解 , ∴ 只 需 3? (x a + x - 1 ) m i n即 可 .
∵ x - a + x - 1 ? | x a - x - 1 |=| a - 1| , 当 且 仅 当 x - a 号 , ∴ 3 ? |a

(

) (

)

(

)( x - 1)

0 时 , 取 “ =”

1, | 得 ? 2 ? a ? 4 . 故 选 : D.

2 1 * c n j y* c o m

【思路点拨】要 使 不 等 式 | x ? a | ? | x ? 1 |? 3 有 解 ,只 需 3 ? ( x a + x - 1)min ,先 用 a 表 示 x - a + x -1 的 最 小 值 , 再 解 关 于 a 的 绝 对 值 不 等 式 即 可 .

N5

选修 4-7 优选法与试验设计

【理·广东惠州一中高三一调·2014】11.用数字 1,2,3,4 可以排成没有重复数字的四位偶 数,共有____________个.【版权所有:21 教育】 【知识点】有限制条件的排列问题;优限法. 【答案解析】12 解析 :解:由题意,没有重复数字的偶数,则末位是 2 或 4,
3 当末位是 2 时,前三位将 1 , 3 , 4 三个数字任意排列,则有 A3 ? 6 种排法,末位为 4 时一 3 3 样有 A3 ? 6 种,两类共有: 2 A3 ? 12 种,故共有没有重复数字的偶数 12 个.

【思路点拨】 本题为有限制条件的排列问题, 一定要先按排限制位即个位, 个位有两种情况, 再分类分别求个数,最后求和即可.


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