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圆锥曲线的另一分类标准


2 0 1 1年  第 5 0卷  第 8期 

数 学通报 

5 7  

圆锥 曲线 的 另 一 分 类 标 准 
朱 纯 刚 
( 湖 南 省 常德 市第 一 中 学 4 1 5 o o 0 )  

我们 知 道 , 平 面 内 到定 点 F 的距 离 与 到定 直  线z ( 点 F不在 1上 ) 的距 离 的 比为 常 数 e的点 的  轨 迹 为 圆锥 曲线 , 记为 工 1 , 这里 定 点 F为 其 焦 点 ,   定 直线 l 为 与 F对 应 的准 线 , 常数 e 为 其 离 心率 .  

,  

y  

M 

根 据 离心 率  的不 同的 取值 范 围 , 可 以将 r划 分 
一  

为椭圆、 双 曲线 、 抛 物线 三类 : 当O <e < 1时 , r为  椭 圆; 当e > 1时 , r为 双 曲线 ; 当e 一 1时 , r为 抛  物 线. 本 文从 圆锥 曲线 r在 焦 点 弦 端 点 处 的 两切 
线 所成 角 的范 围 出发 , 给 出 圆锥 曲 线 的 另 一个 分  类标 准 .  

。 ( F)  

\ 
t ( 1 一e   ) Y z   —e ‘ P( t y z 十  ) +Y z Y— e   P   ⑨ 

定理

设 圆锥 曲线 J 1 的焦 点 为 F, 对应 准线 

④ ×Y 2 一⑤ ×Y 。 得: z一一户, 代 入 ④得 :  = = = 户 £  
所以 l   , z z的交 点 M 的坐 标 为 ( -p, p t )  

为l , AB 为 过 焦 点 F 的 弦 ,  , z  分 别 为 r 在 点 
A、 B处 的切 线 , 点M 为z   , z 。 的交 点 , 则  ( 1 ) F 为 椭 圆 的 充 要 条 件 是  AMB 恒 为 
锐角;   ( 2 ) r 为 双 曲 线 的充 要 条 件 是  AMB 恒 为 

由 田 』 (   卜P   ) z   一 2 P 。   z + . y 。   P ~ P 得  
I z— t y    。

( £   +1 -e   t  )  。 一2 e   户 £  — P   P 。 一0  

所 以 

z 一 一 

钝角 ;   ( 3 ) r 为 抛 物 线 的充 要 条 件 是  AMB 恒 为 
直角 .  

所以  

? 疏  

一 ( z1 + P, Y 1 一p t ) ?(  2 + P, Y 2 -p t )  

证明

如图 , 作 F K 垂直于直线 z , 且 垂 足 为 

一( t y 1 + P, Y 1 -p t ) ?( t y 2 + P, Y 2 - pt )   一 ( £   +1 )(  1 Y 2 + 。 )  

K, 以 F为 原 点 , 直 线 KF 为 z 轴 建 立 直 角 坐 标 

系, 设『 K F   I —P , 圆锥 曲线 r的 离心 率 为 e , A  
(  1 , Y 1 ) , B( z   , Y 2 ) , 直线 AB 之方 程 为 —t y , 又 

一 ( t 2 +   , ( p 2 一  


)  

设点 P(  , . y ) 为 r上任一点, 则 r 的方 程 为 :  

P 。( £   +1 )  ( 1 一P   )   £   +1 一e 2 t 2  

彳  

化 简 得 ,  
①  ② 

( 1 ) 若 r为 椭 圆 , 则0 <P <1 , 此时 必有 
?

旆 >o , 从 ̄AA MB恒为锐角;  
? 蕊 >0 恒 

( 1 一P   ) z   一2  户 z +  一P   P   ( 1 一P 。 ) z 1 X- -e   P (  1 +  ) + 1  — e   P  

反之, 若 A MB恒为锐角 , 则 

于是 , r在 点 A 处 的 切线 z   的 方 程 为  r在点 B处 的切 线 Z  的方程 为 ( 1 -e   ) z   —  e 2 P( z 2 +z) +  2  =   ③ 

成立 , 即( e   一1 ) ( e   t   -t   一1 ) >0恒成立∞  t  ( P 。 一1 )   >  一 1恒 成 立 甘 0 <P <1 , 从 而 r为 

椭 圆。  

将z 1 =t y 1 , z 2 =t y 2 代 人② 、 ③得 :  
t ( 1 -e   ) x y 1 -e   P( t y 1 +z) + 1  :P 。 P   ④ 

故  为椭 圆的充要条件是XA MB恒为锐角 .  

( 2 ) 若I 1 为 双 曲线 , 则e >1 , 而 AB只 与双 曲 

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数 学通报 

2 0 1 1年  第 5 0卷  第 8期 

点焦距 与焦 半径 的一个关 系式 
李世 臣  
( 河 南 省 周 口市 川 汇 区 教 体 局 教 研 室 4 6 6 0 0 1 )  

引 子  如 图 1 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中, 过 点 

式进 行计 算 .  
证明 如图 2 , 由椭 圆的方程 易知点 

P( m, n ) 作 圆 z。 +y   一R  的切 线 P A、 P B, A、 B  
为 切点 , 设 0 为 圆心 . 则 po 2 =m  +  , A0 ?B 0 
n ,  

P02  

m  1   。  

P( m, n ) 的切 点弦 A B方程 为  +  一1 .  
V 

“ ’ A 0 ?B0  R  。R ‘  

根 据 圆与 圆锥 曲线 的相 关 性 , 可 将 这 一 结 论  拓 展 到一 般 圆锥 曲线 .  
,  

= = 二  
一  





/ 

F》  x  

图2  

1 I       n   + ’b   一1

联 立 方 程 组   l   x 2   T   y Z : 1   , 消 去 Y , 得 方 程  
图 1  

定理 1   由椭 圆外 一 点 P( m,  ) 向椭 圆  + 


2  


1 ( 口 >6 >o ) 引切 线 PA、 PB, A、 B 为 切点 , 设 

(   一 事 ) : (   一  ) ‘ .   整 理 成 关 于   的 方 程 (  +   n 2 ) (   ) ‘ 一  
设 此 方 程 的 两 根 为  、 丝. 由 韦 达 定 理 
a  a 

F 为 椭 圆 的 一 个 焦 点 . 求 证 :  
分析

(   ) ( 詈 ) + (   一   ) 一 0 .   一 芋 +   .   2
x ̄ + x2


利用 点 P( m, , z ) 的切点 弦方 程 和 椭 圆 

方程 求 出切 点 坐标 满 足 的方 程 , 利 用 韦 达 定 理求  出切 点横 坐标 的关 系 , 然 后利 用椭 圆的焦 半径 公 

a 



2 ( 、   口  \ / 1 / (   a ’  D +   。 ) ,   ;  
? 旆 一0  

线的一支相交 , 故t   <击
而 

上 

, 所以P   t   <£   +1 , 从 
? 旆 <0  

硫 一0 , 即  AMB恒 为直 角 ;  

反之 , 若  A MB恒 为直 角, 则翮

? 疏 <O , 即  A』   恒 为钝角 ;  

恒 成立 , 即( e 。 一1 ) ( e   t~ t 。 一1 ) = 0恒 成 立 甘 

反之, 若  A MB恒为钝 角, 则  

( e z -1 )    ̄ - _ e 2 —1 恒成立骨e 一1 , 从而 r为抛物线.  

恒成 立 , 即( e 。 一1 ) ( P   t—t   ~1 ) < 0恒 成立 ∞ 

故I 1为 抛 物 线 的 充 要 条 件 为  AMB 恒 为 
直角 .  
定 理证毕 .  

( e   一1 )   t 。 <e   一l恒 成 立 , 显然必有 e >1 , 从 而 
厂为双 曲线.   故 r为双 曲线 的充要条件是LA MB恒为钝角.  
( 3 ) 若 r为抛 物 线 , 则 P 一1 , 此 时 显 然 MA ?  


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