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导数及应用(学案)


导数及其应用(一)
一、填空题 1.若函数 f ( x) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1

2.若曲线 f ? x ? ? ax 2 ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是

.

3.函数 f ( x) ? x 3 ? 15 x

2 ? 33x ? 6 的单调减区间为.

4(2009 江苏卷)在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ? x 3 ? 10 x ? 3 上,且在第二 象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为.

5 若曲线 f ( x) ? ax3 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 取值范围是_____________.

6 设曲线 y ? x n ?1 (n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令 an ? lg xn , 则 a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为 .

7 曲线 y ? xe x ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为。

二.解答题 8.已知函数 f ( x) ? x 3 ? (1 ? a ) x 2 ? a (a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a, b 的值; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ...

9.设函数 f ( x) ? xe kx (k ? 0) (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围.

10 已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

(1)当 a, b 满足什么条件时, f (x) 取得极值? (2)已知 a ? 0 ,且 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.

11 设函数 f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 3

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。

12、已知函数 (Ⅰ)讨论 的单调性; 在区间{1,

,a>0,

(Ⅱ)设 a=3,求

}上值域。期中 e=2.71828…是自然对数的底数。

13、设函数 f ( x) ? x3 ?

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

14、设函数 f ( x) ?

ex x

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (1)若 k ? 0 ,求不等式 f ' ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ? 0 的解集.

15 设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中m ? 0 3

1 1 处的切线斜率 (Ⅰ)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点( ,f( ))
(Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 f (x) 有三个互不相同的零点 0, x1 , x 2 ,且 x1 ? x2 。若对任意的

x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。


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